第二节 土壤水分运动

作为多孔介质的土壤，是由矿物质和有机质构成其固定骨架，水溶液和空气充填其中孔隙的三相体。土壤水是农田水分存在的主要形式。人们对饱和土壤中的水分运动问题的研究历史较长，其理论基础为达西（Darcy）定律，并逐步完善形成地下水动力学。而非饱和土壤中的水分运动问题一直是土壤学研究的重点。19世纪下半叶以来，人们对非饱和土壤水分问题的研究主要采用形态观点，定性描述或分析土壤中水分的保持和运动，即毛管理论。它把土壤看成为一束均匀的或不同管径的毛管，将土壤水运动简化为水在毛管中的运动。毛管理论清楚易懂，20世纪50年代以前应用比较广泛，目前仍有一定的实际意义。20世纪初，出现了土壤水分能态观点，即势能理论，克服了形态理论的缺陷。根据在土壤水势的基础上推导出的扩散方程，研究土壤的水分运动。这种方法的理论比较严谨，可以适用于各种边界条件，特别是随着电子计算机和数值计算的应用，近几十年来利用势能理论研究土壤水分运动已取得很大的进展，其用于研究有关灌溉排水中的土壤水分运动有着广阔的前景。

土壤水也具有不同形式和不同量级的能量。由于土壤中水的流速非常慢，动能一般可以忽略不计；势能是由物体的相对位置及内部状态所决定，它是制约土壤水状态及运动的主要能量。所以今后说到土壤水能态时，是指土壤水的势能，简称土水势。

一、土壤水运动的基本方程

在一般情况下，达西定律同样适用于非饱和土壤水分运动。在水平和垂直方向的渗透速度v_x、v_z可分别写成：

式中 φ——土壤水总势能，φ=h+z（以总水头表示）；

h——压力势（水头），在饱和土壤（地下水）的情况下压力水头为正值，在非饱和土壤中h为毛管势（或基质势）水头，为负值；

z——重力势水头（位置水头），坐标z向上为正时，位置水头取正值，坐标z向下为正时，位置水头取负值；

K——水力传导度（或导水率），为土壤体积含水率θ的函数K（θ）或土壤负压水头h的函数K（h）；

K_s——θ等于θ_s（即饱和含水率）时的水力传导度；

n——经验指数，n=3.5～4；

θ₀——不易移动的土壤含水率，其值可取最大分子持水率。水力传导度与土壤压力水头之间的关系式可写成：

式（1-8）中的a和b和式（1-9）中的c均为经验常数。

设土壤水在垂直平面上发生二维运动，取微小体积Δx·Δz·1（垂直xz平面厚度为1），如图1-7所示，则在x、z方向进入和流出比体积的差值为：

单位时间土壤体积中贮水量的变化率为：

式中 θ——体积含水率。

根据质量守恒的原则，式（1-10）、式（1-11）应相等，从而可得到土壤水流连续方程式为：

将v_x、v_z代入水流连续方程式（1-12）后，可得：

考虑到

代入式（1-13），得：

考虑到

并令

代入式（1-14）得：

式中 D（θ）——称为扩散度，表示单位含水率梯度下通过单位面积的土壤水流量，其值为土壤含水率的函数。

由于土壤含水率与土壤压力水头h之间存在着函数关系，渗透系数K也可写成压力水头h（非饱和土壤中h为负值）的函数，因此，土壤水运动基本方程也可写成另一种以h为变量的形式。

土壤水在x、z方向的渗透速度为：

将以上各式代入水流连续方程式（1-12），得：

考虑到

将式（1-17）代入式（1-16），得：

式中——表示压力水头减小一个单位时，自单位体积土壤中所能释放出来的水体积，其量纲是［L^-1］，C（h）称为土壤的容水度。

在初始条件和边界条件已知的情况下，可根据这些定解条件求解式（1-14）或式（1-18），求得各点土壤含水率或土壤负压和土壤水流量的计算公式，或用数值计算法直接计算各点土壤含水率（或负压）和土壤水的流量。

二、入渗条件下土壤水分运动

入渗是指水分从土壤表面进入土壤的过程，正是因为入渗，降雨和灌水才被转化为土壤水而被作物吸收利用的。所以，降雨和灌水是补给农田水分的主要来源。影响入渗过程的因素有两方面：一方面是供水强度，另一方面是土壤的入渗能力。当供水强度大于入渗能力时，入渗由土壤入渗能力所控制，称为充分供水入渗；当供水强度小于土壤入渗能力时，入渗由供水强度控制，称为充分供水入渗。某时段内通过单位面积的土壤表面所入渗的水量，称为入渗总量（I）。入渗速度、总量和入渗后剖面上土壤含水率的分布，对拟定农田水分状况的调节措施有重要意义。

下面以地下水埋深较大、剖面土壤含水率均匀分布、地表形成薄水层这一简单的情况为例，说明入渗速度和土壤含水率的计算方法。在大面积的灌溉淋洗、蒸发条件下，完全可以忽略水平方向的水力梯度，割取其中一个垂向单元体进行独立的一维研究。在垂直入渗的情况下，坐标轴z=0取在地表，取z向下为正，位置水头z为负值，一维土壤水运动的基本方程可写成：

如降雨或灌水前剖面上各点初始含水率为θ₀，则初始条件为：

在地表有薄水层时，表层含水率等于饱和含水率θ_s，在z相当大（z→∞）时，含水率不变，即θ=θ₀，则边界条件为：

式（1-21）为非线性方程，求解比较困难。为了简化计算，近似地以平均扩散度代替D（θ），由于，以代替，则式（1-21）变为常系数的线性方程，即：

采用拉氏变换求解。经变换后θ的象函数为：

对式（1-22）中采用拉氏变换，即：

采用分部积分法，设，e^-pt=v，u=θ，dv=-pe^-ptdt

对式（1-22）右侧进行变换，得：

式（1-22）经变换后，由于仅包含象函数对z的导数，可写成常微分形式：

式（1-21）经变换后，得：

式（1-22′）的通解为：

式（1-21′）由于在z→∞时，为有限值，为使C₁e^∞为有限值，C₁必须为0，则式（1-21′）为：

代入式（1-23），得象函数的解为：

由拉氏变换逆变换表：

经逆变换后，得：

式中——补余误差函数。

剖面含水率分布可从式（1-23′）求得，如图1-8所示。

地表入渗速度的计算式为：

由于在有水层入渗时，地表处含水率达到饱和，K（θ）=K_s等于土壤饱和时的水力传导度。D（θ）仍采用平均值，可自象函数推求，自式（1-23）有：

在入渗初期时，根据拉氏变换原理，相当于p≫，则有：

查逆变换表：

代入式（1-24），得：

在入渗时间较久时，，相当于，，此时，，i=K_s，因此可将式（1-25）作为入渗速度的近似计算式。

在时间t内入渗的总水量I为：

菲利普根据严格的数学推导求得了非线性方程式（1-21）的无穷级数解。其入渗速度（有时称为渗吸速度）的近似式为：

在时间t内的入渗总量（以水层厚度表示）的计算式为：

S、i_f均为土壤特性常数。S的大小与土壤初始含水率有关，一般称为吸水率。i_f为稳定入渗速度，相当于土壤饱和时的水力传导度K_s（即渗透系数）。入渗初期，入渗速度很大，i_f远较为小，可忽略不计。随着时间的增大，入渗速度迅速减小。当入渗时间很久时，即t→∞，则式（1-26）中第一项趋近于0，i=i_f，即稳定入渗速度。入渗速度在时间上的变化如图1-9（a）所示。

入渗速度理论公式中的常数需要通过试验确定。例如，S值可通过初始入渗总量I确定，即

在生产中，常直接采用经验公式计算入渗速度i和入渗量I。在农田水利工作中常用考斯加可夫经验公式：

式中 α——经验指数，其值根据土壤性质和初始含水率而定，变化于0.3～0.8之间，轻质土壤α值较小，重质土壤α值较大；初始含水率越大，α值越小，一般土壤多取α=0.5；

i₁——在第一个单位时间末的入渗速度。

在时间t内入渗总量I（以水层深度表示）为：

应当指出，无论根据线性化方程求得的近似理论公式（1-24），还是根据非线性方程求得的精确解式（1-26），都是在初始剖面含水率均匀分布的基础上求得的。在实际情况下，土壤剖面含水率分布是不均匀的，其值常随深度而变化，即θ（z，0）=θ（z），如图1-4和图1-5所示。

在理论公式中采用根据野外入渗资料确定的土壤特性常数时，实际上这些公式已具有半经验的性质。

在农田采用畦灌或漫灌时，灌溉水向土壤的入渗属于上述有水层的一维入渗问题。在降雨或利用喷灌进行灌水的情况下，开始时，如降雨和喷灌强度不超过土壤的入渗能力，地表将不形成水层，这种情况下的入渗称为自由入渗。土壤的入渗速度等于降雨强度p，此时的边界条件为：

式（1-24′）表明在形成水层以前，土壤入渗速度的大小决定于降雨和喷灌强度。随着入渗时间的增大，入渗能力逐渐减弱，当降雨或灌水强度超过入渗能力时，田面将形成水层。在这种情况下，土壤的入渗速度将决定于土壤的入渗能力。在一定的土壤质地和初始含水率条件下，降雨或灌水强度不同，入渗过程有一定差异。如将在有水层存在时的入渗强度的变化过程近似地作为土壤的入渗能力，如图1-9（b）中实线所示，在降雨强度很大时，田面很快形成积水，由自由入渗转为有压入渗，入渗过程如图1-9（b）中虚线所示。在降雨强度较小时，经过很长时间，降雨强度才会超过土壤的入渗能力。因此，田面形成水层的时间也较晚，其入渗过程如图1-9（b）中点划线所示。

在采用沟灌和渗灌进行灌水的条件下，水自沟槽和渗水管向土壤沿x、z两个方向入渗，这种情况下的入渗属于二维的入渗问题，需采取数值计算的方法，根据相应的边界条件求解式（1-15）或式（1-18）。在采用滴灌时水分向x，y，z 三个方向扩散，入渗过程属于三维的入渗问题，其水流的基本方程需在式（1-15）和式（1-18）中分别增加和项。

三、蒸发条件下土壤水运动

土壤水的蒸发，发生在土壤的表层，其强度一般取决于两个因素，一为外界蒸发能力，即气象条件所限定的最大可能蒸发强度；二是土壤自下部土层向上的输水能力，其数值随含水率的降低而减小。表土蒸发强度决定于二者的较小值。在土壤的输水能力大于外界蒸发能力时，表土蒸发强度等于外界蒸发能力（常以水面蒸发来表征），在外界蒸发能力大于土壤的输水能力时，表土蒸发强度以土壤的输水能力为限。降雨或灌水后土壤蒸发一般可分为两个阶段。当土壤含水率大于临界含水率θ_c和土壤的输水能力大于外界蒸发能力时，土壤蒸发强度等于水面蒸发ε₀。如外界蒸发能力不变，则蒸发强度保持稳定。这一阶段为稳定蒸发阶段。当θ＜θ_c时，土壤蒸发决定于输水能力，而后者又决定于土壤含水率θ，随着含水率的降低，蒸发强度逐渐减小。这一阶段为蒸发强度递减阶段。根据室内外试验资料，表土蒸发强度ε与水面蒸发ε₀和土壤含水率θ有以下经验关系，如图1-10所示。

θ≥θ_c，ε=ε₀

当

式中 θ_c——临界含水率，即土壤输水能力等于外界蒸发能力时的土壤含水率，其值视土壤性质和外界蒸发条件而定；

a、b——经验系数。

在干旱季节的初始含水率较低，且蒸发强烈（ε₀很大）的情况下，有时表土可能很快降低至风干土含水率θ_α，即：

式（1-31）和式（1-32）可作为求解式（1-21）的边界条件。

土壤的蒸发和蒸发条件下土壤水分运动除决定于外界条件和表土含水率外，还与土壤剖面初始含水率分布和地下水埋深有密切关系。兹针对以下几种常见情况研究蒸发过程。

1.地下水埋深较大，表土迅速风干的情况

在土壤水运动基本方程为式（1-21），初始条件为：

边界条件为：

的情况下，采用平均和，根据线性化方程，可以得到含水率的计算式为：

不同时间含水率分布如图1-11所示。在忽略重力项（N=0）的情况下，蒸发强度的计算式为：

在时间t内蒸发总量为：

式中

2.降雨或灌水后在排水作用下地下水位迅速下降的情况

现以降雨或灌水后地下水位接近地表，通过地下排水措施，使地下水位迅速下降至一定深度L的情况为例，研究蒸发过程和土壤水运动。在所研究的土壤剖面深度内，处于地下水位的变动带，采用以水头h为变量的方程式（1-18）来进行土壤水运动的分析计算比较方便。取纵坐标z向下为正时，一维垂直土壤水运动基本方程为：

初始条件：

上边界条件：

z=0

有蒸发时

无蒸发时

下边界条件：z=L（z自地表算起，L为控制的地下水埋深）时

以上方程求解困难，须采用数值法进行计算。在采用隐格式有限差分法时，首先将地表至地下水面之间的土层，划分为N个空间步长Δz，然后再按时间t划分为M个时间步长Δt，最后再将式（1-39）中各项微商近似地用差商代替，即：

代入式（1-41）得任何一时段jΔt～（j+1）Δt内，剖面上围绕任一点i的土壤水运动差分方程为：

式中 i——在剖面上节点的序号，自表层数起，i=1，2，…，N；

j——在时间上节点的序号，j=1，2，…，M；

经整理后式（1-44）可以写成：

式中；

式（1-45）为三对角线方程，在考虑边界条件后，可用追赶法求解。

今以某地区土壤为例，计算在地下水位自地表迅速下降1.5m，并保持在这一水位时的土壤水运动及土壤水出流情况。土壤的水力传导度与土壤压力水头的关系式为：

h≥0，K（h）=7cm/d

h≤0，K（h）=7e^0.0255hcm/d

土壤含水率与负压关系为：

h≥0，θ=θ_s=0.452

h≤-50cm，θ=0.7333-0.090074L_n｜h｜

0＞h＞-50cm，θ=0.452e^0.00342h

容水度与负压关系式为：

h≥0，C（h）=0

h≤-50cm，C（h）=-0.090074/h

0＞h＞-50cm，C（h）=0.00155e^0.00342h

表土蒸发强度，采用h&gt；h_c=-213.917cm，ε=0.65cm/d；h≤-213.917cm，ε=3.25θ-0.1625cm/d。

根据以上参数和边界条件，通过数值计算求得各时间含水率分布如图1-12所示。从图1-12可以看到在地下水位迅速下降后，在蒸发和排水双重作用下，在1.5d内地表以下0.6m土层的平均含水率已下降至0.36（田间持水率），5d内已下降至0.30，15d内下降至0.28。在排水作用下地下水位迅速下降至1.5m时，土层向下的排水流量变化过程如图1-13所示。开始时，土壤水自地表蒸发和向深层排水同时存在，深层排水流量最初达到7cm/d，以后逐渐减少。至t=9d时，向深层排水停止，并开始向上补给，直至达到稳定为止。表土蒸发等于水面蒸发的阶段将持续4.2d，然后蒸发强度随着表土含水率的降低而减弱，直至t=16.2d时达到稳定。自蒸发开始至排水停止这段时间内，无论是蒸发或是排水，全部都是消耗地下水面以上的土壤水。在排水停止至蒸发达到稳定的这段时间蒸发消耗的水分，一部分来自土壤本身，一部分来自地下水的补给，至蒸发达到稳定时全部蒸发量均来自地下水补给。

3.地下水位保持不变时土壤水的稳定流动

在地下水位保持不变时，在长期入渗和蒸发条件下，土壤水的运动均可达到稳定，此时的土壤水流量等于入渗条件下的深层排水量或蒸发条件下的地下水向上补给量。在这些情况下，常可求得在一定入渗或蒸发强度ε时土壤压力水头分布的解析解和在一定表层压力水头条件下的入渗或蒸发量的计算式。

在土壤水稳定运动的情况下，式（1-6）可写成：

若坐标原点取在地下水面，z向上为正时，式（1-46）中括号内取“+”号，反之为“-”号。±ε取（+）值时为蒸发，取（-）值时为入渗。

在水力传层度K与h用指数函数表示时，有：

K（h）=K_se^ch

令，则有：

式中 蒸发时取正值，入渗时取负值。

根据上例中K（h）=7e^0.0255h，可求出在不同入渗和蒸发强度以及不同地下水埋深时的压力水头h在土壤剖面上的分布，再根据h（θ）关系式即可求出相应含水率的分布。在地下水埋深为0.5m、1m、1.5m时和不同入渗蒸发强度时的土壤剖面含水率分布如图1-14所示，图中“-”表示入渗，“+”表示蒸发，“0”为既无入渗又无蒸发。由图可见，在同一地下水埋深情况下，有入渗时的含水率大于无蒸发无入渗时的含水率，更大于有蒸发时的含水率。

为了满足农作物要求的含水率，在阴雨季节应降低地下水位，在蒸发强烈的干旱季节应抬高地下水位。由于式（1-47）中ε远小于K_s，故在分母中ε可忽略不计，则有：

当h趋近于-∞时，

式（1-48）可用来推求最大可能地下水补给量ε=ε_max。将不同z值代入，可得各种地下水埋深时土壤的最大输水能力，亦即地下水最大补给量，如图1-15所示。由图可见，在地下水埋深为0.5m时，最大输水能力为20mm/d；而地下水埋深为1m时，为5.5mm/d；在地下水埋深为3m时，为0.03mm/d，且可忽略不计。

以上介绍的是均质土壤的蒸发问题。在生产实践中经常遇到非均质土壤的情况。土壤剖面上黏土夹层的存在对土壤水分和盐分运动有重要作用。如图1-16所示表示在无蒸发入渗条件下，不同质地均质土壤在地下水面以上土壤含水率的分布。在层状土的情况下，则连接各层自地下水面画起的水分特征曲线即可得到无蒸发入渗条件下的土壤剖面含水率的分布曲线。图1-16中实线表示在土壤剖面由图1-2所示3种土壤组成（地面以下0～1m为壤土，1～2m为黏土，2～3m为砂土）的情况下，无蒸发入渗时土壤含水率的分布曲线，3条虚线分别表示3种土壤自地下水面画起的水分特征曲线。与均质土壤的情况相似，在有蒸发的情况下土壤剖面含水率分布曲线应在各层水分特征曲线的左侧（即含水率小于水分特征曲线上含水率值），在有入渗情况下，含水率分布曲线应在各层水分特征曲线的右侧，即含水率高于水分特征曲线上的含水率值。在非均质土壤稳定蒸发情况下蒸发强度（地下水的补给量）和土壤含水率分布的计算仍可用与均质土类似的数值方法进行计算，但须考虑在两层土壤交界面上两层土壤的压力水头h相等和水流连续（即上下两层流入和流出的水流通量q应相当）的条件。由于重质土壤的水力传导度远小于轻质土壤，在剖面上有黏土夹层存在时地下水的蒸发量将显著减小，因而具有阻止水分上升防止土壤积盐的作用。黏土夹层抑制蒸发作用的大小视黏土层所在部位、厚度和地下水的埋深而定。现以地表以下土层依次由轻壤、黏土和粉砂等3层土壤（其饱和水力传导度分别为0.006cm/min，0.001cm/min和0.018cm/min）组成，水面蒸发强度为4.25mm/d，地下水埋深为1.5m时为例，根据数值模拟分别求得黏土层所在部位为地表，地面以下40cm，80cm，120cm，厚度为0cm，10cm，20cm，30cm，40cm，50cm时地下水蒸发量，见表1-2。从表1-2可以看到黏土层位置越靠近地表，抑制蒸发的作用越大；在黏土层靠近地下水面时其抑制蒸发的作用减弱。黏土层厚度越大，土壤蒸发越小，但超过30cm后，厚度的增加对进一步减少蒸发的作用将不太显著。