2.1 矢量分析

聚合物加工成型过程中，存在着动量、质量和能量传递过程，而研究一个系统中的传递现象时，矢量分析和场论的知识是必不可少的。矢量分析是研究其他学科的一个重要的数学工具，也是场论的基础知识。数量场和矢量场的数学性质是研究聚合物加工过程必不可少的基本知识。借助于矢量分析和场论的重要工具，可将描述聚合物加工设备中三维空间传递过程的控制方程写成既简单又有意义的形式。

针对没有接触或学习过这方面知识的读者，本节概括地介绍矢量函数、二阶张量和场论的基础知识，为后面章节的学习打下必要的基础。本节分为两小节，包括矢量函数概念、矢量函数的基本运算。

2.1.1 矢量函数概念

在工程实际中，经常遇到既有大小又有方向的量，例如一个物体运动的速度。数学上用矢量A表示既有大小又有方向的量。为了研究变矢量与某个数量的关系，引入矢量函数。矢量函数是随自变量变化的向量，自变量可以是一个，也可以是多个。

本小节介绍矢量函数的基本概念，包括矢量函数的定义、矢量函数的几何描述两部分。

(1)矢量函数的定义

定义：如果对于数量t在某个范围Ω内的每一个数值，变矢量A都有一个确定的矢量与它对应，则称A为自变量t的矢量函数。记作

并称Ω为函数A(t)的定义域。

矢量函数A(t)的直角坐标表达式为

式中，A_x(t)，A_y(t)和A_z(t)为A(t)在Oxyz坐标系中的三个坐标，i，j，k为沿三个坐标轴正向的单位矢量。

一个矢量函数和三个有序的数量函数构成一一对应的关系。本书介绍的矢量均为自由矢量。当两矢量的模和方向都相同时，就认为两矢量是相等的。

由于一个矢量函数和三个有序的数量函数构成一一对应的关系。由此可知，矢量函数的极限定义与数量函数的极限定义相类似，可将数量函数中的一些极限运算的法则用于矢量函数极限的运算。这里不作详细介绍，仅给出矢量函数连续性的定义。

矢量函数连续性的定义：若矢量函数 A ( t)在点 t₀的某个邻域内有定义，而且有＝A(t₀)，则称A(t)在t＝t₀处连续。若矢量函数A(t)在某个区间内每一点处连续，则称它在该区间内连续。矢量函数A( t)在点t₀处连续的充要条件是它的三个数量函数A_x( t)， A_y( t)和A_z( t)都在t₀处连续。

(2)矢量函数的几何描述

矢量函数的几何描述是用图形来描述矢量函数A(t)的变化状态。把A(t)起点取在坐标原点，当t变化时，矢量A(t)的终点M就描绘出一条曲线l，如图2.1.1所示，这条曲线称为矢量函数A(t)的矢端曲线。式(2.1.2)为此曲线的矢量方程。当t变化时，矢量A(t)实际上就成为其终点M(x，y，z)的矢径。因此，A(t)的三个坐标就对应地等于其终点M的三个坐标x，y，z，即

式(2.1.3)是曲线l以t为参数的参数方程。

由上式可知，A(t)＝xi+yj+zk，矢量A(t)的模为

在矢量代数中，模和方向都保持不变的矢量称为常矢量。零矢量的方向为任意，可作为一个特殊的常矢量。模和方向或其中之一不断变化的矢量称为变矢量。

例题2.1.1 高等数学中给出①图2.1.2 (a)螺旋线圆柱螺旋线的参数方程为 x＝Rcosα， y＝Rsinα， z＝bα和②图2.1.2 (b)摆线的参数方程为x＝R(α－sinα)， y＝R(1－cosα)，分别确定这两条曲线的矢量方程。

解：①设有直角三角形的纸片，它的一锐角为α，将此纸片卷在一正圆柱面上，正圆柱的半径为R，使角α的一边与圆柱的底圆周重合，角α的顶点L在圆柱底圆周上的位置为A，而A为底圆周与x轴的交点，取坐标系如图2.1.2(a)所示。设角的另一边在圆柱面上盘旋上升形成的一条圆柱螺旋空间曲线。圆柱螺旋线的参数方程为x＝Rcosα，y＝Rsinα，z＝bα，则其矢量方程可写为

r＝Rcosαi+Rsinαj+bαk

② 一圆沿定直线滚动时，圆周上一定点所描述的轨迹称为摆线，如图2.1.2(b)所示。摆线的参数方程为x＝R(α－sinα)，y＝R(1－cosα)，则其矢量方程可写为

r＝R(α－sinα)i+R(1－cosα)j

2.1.2 矢量函数的基本运算

由于一个矢量函数和三个有序的数量函数构成一一对应的关系。由此可知，矢量函数导数和积分的定义与数量函数的导数和积分的定义相类似，可将数量函数中的一些导数和积分运算的法则用于矢量函数导数和积分的运算。本小节不详细地讨论，仅给出导数和积分的基本定义、几何意义和常用的运算公式。

本小节介绍矢量函数的基本运算，包括矢量函数的导数和积分、数量和矢量的变换两部分。

2.1.2.1 矢量函数的导数和积分

(1)矢量函数的导数

矢量函数A(t)对数量t导数定义：矢量A(t)在点t的某一邻域内有定义，并设t+Δt也在这邻域内，若A(t)对应于Δt的增量ΔA与Δt之比，在Δt→0时，其极限存在，则称此极限为矢量函数A(t)在点t处的导数，简称导矢量，记作或A′(t)，即

在直角坐标系中，若矢量函数A(t)＝A_x(t)i+A_y(t)j+A_z(t)k，且函数A_x(t)，A_y(t)和A_z(t)在点t可导，则求矢量函数的导数归结为求三个数量函数的导数，即有

或写为

导矢量的模为

如图2.1.3所示，曲线l为矢量函数A ( t)的矢端曲线，是在l的割线上的一个矢量。当Δt>0时，其指向与ΔA一致，指向对应t值增大的一方；当Δt<0，其指向与ΔA相反，指向对应t值减少的一方。在Δt→0时，割线MN绕点M转动，割线上的矢量的极限位置是在以点M处的切线上。

导矢量A′(t)不为零时，导矢量的几何意义是在点M处矢端曲线的有向切线，其方向恒指向对应t值增大的一方，如图2.1.3所示。

如果导矢量A′(t)可导，再求它的导数，便得到矢量函数A(t)的二阶导数。可以推广到高阶。对于二阶以上的高阶导数，也有类似于式(2.1.7)的公式。例如

若在t的某个范围内，矢量函数A＝A(t)，B＝B(t)和数量函数u＝u(t)可导，可用类似于微分中数量函数证明方法和矢量的基本运算来证明下列公式成立。

① (C为常数)，特例(C为常数矢量)

②

③

④ ，特例，式中，A2＝A·A

⑤

⑥ 若A＝A(u)，u＝u(t)，则

用矢量函数A(t)的导数A′(t)，可确定矢量函数A(t)在t处的微分dA也是矢量，而且和导矢量A′(t)一样，也在点M处与A(t)的矢端曲线l相切。当dt>0，dA与A′(t)方向一致；当dt <0，dA与A′(t)方向相反，如图2.1.4所示。

微分dA的表达式为

微分dA模为

直角坐标表达式为

矢量函数A(t)看作其终点M(x，y，z)的矢径函数x＝A_x(t)，y＝A_y(t)，z＝A_z(t)

r＝x(t)i+y(t)j+z(t)k

其微分为

dr＝dxi+dyj+dzk

其模为

在规定了正向的曲线l上，取定一点M₀作为计算弧长s的起点，将l的正向取作s增大的方向，在l上任一点M处，弧长的微分是

例题2.1.2 确定的几何意义[3]。

解：以点M为界，当ds位于s增大一方时取正号；反之取负号，如图2.1.5所示。

|dr |＝|ds|

就是说，矢径函数r微分的模等于其矢端曲线弧微分的绝对值，因此有

整理上式，即得

由上式可知导矢量的几何意义，即矢径函数对其矢端曲线弧长s的导数在几何上为一切向单位矢量，恒指向s增大的一方。

例题2.1.3 说明导矢量的物理意义[3]。

假定质点在时刻t＝0时位于点M₀处，经过时间t后到达点M，其间质点在曲线l上所经过的路程为s。图2.1.6给出质点M的运动轨迹。点M(x，y，z)的矢径r显然是路径s的函数，而s又是时间的函数，矢径r(s)＝r[s(t)]是t的复合函数。

由复合函数求导公式可得

式中，的几何意义是点M处一个切向矢量，指向s增大的一方；，是路程s对时间t的变化率u，即表示在点M处质点运动的速度大小，u为质点M运动的速度矢量。

矢径的二阶导矢量a＝r″＝u′是质点M运动的加速度矢量。

(2)矢量函数的积分

数量函数积分的基本性质和运算法则对矢量函数仍成立。矢量积分时，分别对矢量的每个分量积分。本小节不作详细介绍，仅分别给出矢量函数的定积分和不定积分的基本运算公式

2.1.2.2 数量和矢量的变换

数量是在空间没有取向的物理量。它的基本特征是，只需要一个数表示，当坐标系转动时，这个数保持不变。例如质量、密度、温度和电荷等当坐标系转动时，它们的数量保持不变。矢量是在空间有一定取向的物理量。它的基本特征是，需要3个数量分量来表示，当坐标系转动时，这3个数量按一定的规律变换。例如压力和速度等矢量，当坐标系转动时，其矢量的3个数量随之变化。但是，任何矢量的模和方向在坐标变换时保持不变。下面介绍矢量变换的规律。

例题2.1.4 如图2.1.7所示， Ox₁x₂x₃为原来的坐标系Σ，为转动后的坐标系Σ′。推导描述矢量变换规律的数学表达式。

解：把直角坐标轴记为x₁，x₂，x₃轴，把矢量的角码记为1，2，3，把单位矢量写为e₁，e₂，e₃。用β_ij表示轴相对于x_j轴的方向余弦，θ_ij表示轴与x_j轴的夹角，则cosθ_ij＝β_ij。

设矢量a在Σ系的分量为a₁，a₂，a₃，在Σ′系的分量为，，则

式中，

同理可得

将上述三个变换式统一写为

如果约定以重复的角码作为求和的标志，可以省去求和符号，简写上式为

式中，是两个坐标系中不同坐标轴夹角的余弦，即方向余弦，称为变换系数，其第一个指标表示新坐标，第二个指标表示旧坐标。即i为自由标，j为哑标。

运用空间解析几何知识可以证明式(2.1.15)的变换系数β_ij满足如下的条件

式中

δ_ij称为克罗内克符号，即δ符号。

如果假设Σ′系为原来的坐标系，Σ系为转动后的坐标系，可得类似的推理

式(2.1.18)称为变换式(2.1.16)的反变换。事实上，变换与反变换是相对的。

式(2.1.18)也可以写成矩阵形式

式(2.1.19)称为三维笛卡尔基的旋转矩阵，它描述了从一个笛卡尔基变换到另一个笛卡尔基的结果。