基于黎曼曲面的参数化设计与建造研究
Study of Riemann Surface-Based ParametricDesign and Construction

蒲阳 Pu Yang 尹继鸣 Yin Jiming

摘要：黎曼曲面作为数学界一种特殊的几何曲面，其自身的科学规律受到数学界极大的关注。由于现代数字技术的发展，黎曼曲面也逐渐受到设计师的青睐。设计师使用参数平台和数字化建筑技术，以其独特的自然规律和复杂的艺术节奏形式，将黎曼曲面引入设计艺术领域。本文在理论研究的基础上，以黎曼曲面为研究对象，对它的基本原理和算法进行了阐述；并以黎曼曲面设计和建造为主题，从现场分析、概念确定、形态生产、图解分析、实体建造和成果表达等方面进行设计实践。

关键词：黎曼曲面；参数化设计；设计与建造

Abstract: The Riemann surface, a unique geometric curved surface in the mathematical circle, has attracted tremendous attention in the community of mathematics due to its scientific law. With the progress of the modern digital technologies, the Riemann surface gradually wins the favor of the designer.The designer, by means of the parametric platform and digital architecture technologies, introduces the Riemann surface along with its unique natural law and complicated art rhythm and form into the field of design arts. The paper conducts a theoretical study, based on which the disser tation takes the Riemann surface as the study object and elaborates on its underlying principles and algorithms. The paper is also themed with the design and construction of the Riemann surface, and carries on the design practice from the perspectives of the on-site analysis, conceptual confirmation, form production, graphic analysis, physical construction, and achievement presentation.

Keywords: Riemann surface; parametric design; design and construction

一、黎曼曲面的原理与算法

黎曼空间（Riemannian Spaces）就是黎曼几何（Riemannian Geometry）能够成立的空间。德国数学家格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（G. F. B. Riemann）是黎曼几何学创始人，1854年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何学。

在数学中，特别是在复分析中，黎曼曲面是黎曼为了给多值解析函数构想一个单值的定义域而提出的一种曲面（图1）。换一句话说，一个黎曼曲面是一个一维复流形。在每一点局部看来，它们就像一片复平面，但整体的拓扑几何有所不同。因此，它们可以看起来像球或是环，或者两个面粘在一起。在Wolfram Alpha中，我们可以很容易地观察任意函数的黎曼曲面，同时我们也可以通过Mathematica这种数学应用软件来对任意函数的黎曼曲面进行绘制，并使用更好的颜色方案来绘制这些曲线图，以便读者可以看到分支的连接（图2）。黎曼还设想所有自然存在的光滑二维曲面都可以描述为黎曼曲面。此定理对当今社会多维空间的发展产生了极大的影响。本文主要以曲面的空间呈现形态为主要研究方面。而在测地学中，黎曼曲面从狭义来看，它就是两点间的最短线—是平直空间的直线段概念的推广。有一个简单的类比，就是不管怎么变换坐标，一个函数f（x）的图像极值点都是确定的，它就像是一个实体的存在。

黎曼曲面又与极小曲面存在相关性。极小曲面是指平均曲率为零的曲面（图3）。在一条封闭曲线上的具有最小面积的曲面就是极小曲面。如物理学中，用肥皂液吹出的肥皂泡就可以由最小化面积得到极小曲面。由于极小曲面的数学算法过于复杂，这里主要以基于grasshopper的算法为主要切入点进行探讨和研究。根据不同的计算机程序工具，所形成的算法也会有所不同，在计算拓扑几何中，这种几何空间的表达方式可以用Mathematica这种数学应用软件来进行表达。然而在参数化设计中，可以通过将拓扑几何领域中的知识转化为计算机的算法语言并将其编入软件程序中进行空间的形态生成。极小曲面其实是一种较为特殊的几何形态，它更类似一种解，是求某一种具有固定形态的边界中生成曲面，得到曲面的面积最小的那种形式，所以在自然界中有常见的案例如肥皂泡膜，它们都是在弹性张拉下找到了一种面积最小的方式。黎曼曲面是某种复杂曲面，但不一定是极小曲面，但是它的轮廓可以得到极小曲面的解，同样，极小曲面也不一定是黎曼曲面。通过资料收集及探究，笔者认为极小曲面与黎曼曲面最大的相同之处就是它们的空间形态都具有连续性，设计师们会将此种特性运用到设计中去，但在使用此类型曲面时也会遇到一些问题，那就是尽管曲面是相互连续的，但是在没有辅助工具的连接下，人很难从一个点到达与曲面空间相邻的另一个点。在极小曲面中，我们这样可将它们这种空间形态用一种可抵达的方式连接起来，达到一种重复连续性，通过叠加原理的方式来实现任何形态的螺旋面，并把它们组合成一个连续的曲面。

二、黎曼曲面在设计领域中的应用与分析

（一）黎曼曲面在建筑设计领域的应用

在当今科技快速发展的社会，受部分先锋设计师的影响，建筑的设计形态发生了巨大的改变，而这些超前的设计大部分都是基于参数化设计而完成的，从理念到实践，从设计到实体建造，都打破了传统的建筑几何形态的局限，出现了大量的特殊存在形式的建筑造型，他们对流动、连续、一体化、空洞、光滑、复杂、重复、动态、不定性、漂浮等意识形态进行探讨与设计。在未来的建筑设计领域中，各个学科的知识和技术将会与之相结合，像物理学、几何学以及复杂性科学，以此作为灵感来试图解决设计方面的问题。黎曼曲面就是在这种背景下应运而生的。但是黎曼曲面是作为一种特殊的几何形体而存在，它的运用还未受到大众的关注，与之相关的应用主要体现在与它相关的几何形体上，也就是极小曲面。德国建筑设计师弗雷·奥托（Frei Otto）就是膜结构技术的先驱者，肥皂膜是极小曲面的物理模型，弗雷·奥托采用了力学实验法，用肥皂膜比拟膜结构。水立方的结构也是根据细胞排列的形式和肥皂泡天然的结构设计而成的，也从多方面体现了极小曲面。通过这些建筑表面和空间的表达，可以看出较小曲面的算法已经渗透到了建筑领域，并对建筑设计应用与建造产生了一定的影响。那么，通过类比手法的推断，黎曼曲面的算法也将被应用到设计领域并为之产生影响。

伊东丰雄的台中大剧院

台中大剧院是由日本著名建筑师伊东丰雄设计，以人类最原始的“树屋”“洞窟”为概念进行的设计。（图4）内部除了大小剧场外还拥有全台湾首座双层舞台，可以运用藏在舞台下的升降平台变化成主舞台、前舞台、乐池、观众席、道具搬运平台等各种型式。剧院采用的是类似于螺旋面也就是极小曲面进行的造型。屋面采用的是一种调和曲面。这种曲面有许多优点与极小曲面相同。极小曲面的出现，缩短了层级之间的流线，空间更加灵活，使得建筑与城市、景观的搭配显得更加自然和前卫。从台中大剧院的设计中，伊东以声音涵洞的基本设计概念，用有机形状的格子组成涵洞，从涵洞筑构出流畅的过道、会场、剧院、工作坊空间来。在这样有机的空间里光线、声音与空气都能自由的进行穿透，而这些涵洞空间又是人流穿行的通道，因此这个建筑内部有独特的流动的活力。

伊东丰雄在他的建筑中已不再执着于原有线性或曲面建筑，而是超越原来几何学的模式，将机械美学转化为电子美学形式；大量采用很轻的铝合金，玻璃等建筑构件材料，来突出表现建筑的透明、穿越、轻盈感；大量的使用自然的采光、自然通风来体现建筑的空灵。台中大剧院完全抛弃了传统梁板柱的建筑体系，呈现一种多孔的海绵状，这种海绵的多孔结构，完全消除了传统建筑体系，模糊了墙、地板、天花板的界限，使得空间划分变得模糊，使得人在建筑中再也无法定义哪里是墙，哪里是天花板，哪里是地板，地板往上生长慢慢变成了天花板，天花板慢慢凝结汇聚成了地板，这种三度空间曲面形成了一种迷宫般的连续空间。

（二）黎曼曲面在装置设计领域的应用

参数化设计在装置设计领域中的应用是最为广泛的，也是基于装置设计的灵活性和艺术性给目前参数化设计带来了无限的发展空间。从设计、尺寸、建造、选材、实施等方面而言，装置设计中的体现也更能体现参数化设计在空间中特色存在性，并提供给体验者全新的视觉感受和空间体验。室内空间是依附于建筑而存在的，而室内的存在离不开单体的存在，陈设品、艺术装置等等，因此此种运算方式所产生的设计手法也将为室内设计带来质的改变。最具代表性的设计师则是扎哈·哈迪德以及她的团队所呈现出来的设计作品。

扎哈·哈迪德的伦敦科学博物馆

伊拉克裔英国著名女建筑师扎哈·哈迪德（Zaha Hadid）的数学展廊在伦敦科学博物馆拉开帷幕。（图5）她应伦敦科学博物馆之邀，带领另外两位建筑师共同设计并完成了“世界上最伟大最重要”的数学画廊任务。在这个数学画廊主要展出的是从17世纪一直到现在的著名数学家们的传奇一生以及他们为人类科学与社会发展所做出的伟大贡献。

设计师从Handley Page飞机中汲取灵感，根据航空工程中的气流公式画出了这架历史飞机飞行时机身周围的空气流线，用形成的旋涡流线的形式来设计数学画廊的内部结构。因此，可以说是数学帮助了扎哈·哈迪德建筑事务所设计完成了这个充满灵气的展廊空间。该项目的建造标准十分苛刻，它的墙体通过石膏精细铸模制造，空中悬浮的豆荚结构经过精确的设计，预制的混凝土长凳和新的地板也都做了精心的打磨。

（三）黎曼曲面在艺术领域的应用与分析

摩里茨·科奈里斯·埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）是世界最著名的视错觉画家，他是独一无二的荷兰版画艺术家，埃舍尔的画展示了一种动态平衡，他一生进行了大量的探究及创作，为绘画开辟了新的发展道路—使得艺术步入数学领域。尽管埃舍尔没有经过系统的数学训练，他对数学的理解几乎都是凭视觉和直觉的，但埃舍尔的作品中却有强烈的数学元素，并利用这种元素为我们带来了前所未有的艺术美感。

埃舍尔的《画廊》

埃舍尔的《画廊》是最能体现黎曼曲面空间存在形式的独特性。（图6）在《画廊》的右下角，可以看到入口，进入画廊之后然后左转，会遇到一个青年，站在那看墙面上的画。在这幅画中，可以看到一艘船，再往上点，还能看到沿着码头的一些房子。再往右移动，一直延伸到画面的最右侧，就能看到一位妇人站在窗口眺望，随着她的视线下移，就会发现角落里有一所房子，房子的底部有一个画廊的入口，画廊里正在举办一场画展……那位年轻人其实正站在他所观看的那幅作品之中。此时此刻观赏者会感到幻想与现实、逻辑与混乱、愉悦和惊讶会在这一刻同时从脑海里迸发出来。视觉矛盾在空间中的体现也正是黎曼曲面数学奥义的表达。

三、基于黎曼曲面的参数化设计与建造

（一）课题与主题设定

设计主题结合黎曼曲面理论研究与实践，将“黎曼曲面”设计手法与“切片”建造手法相结合，完成一个以“黎曼曲面”衍生曲面的设计方案。在这个设计主题中，黎曼曲面的应用是针对本装置设计而言的，而主题的含义不仅是在装置艺术的层面上，同时也包含了整个空间的氛围营造，以突出本装置设计作品。

（二）概念确定

设计概念的来源是基于算法本身的性质。就黎曼表面的表现和策略而言，它具有多样性和可扩展性，其表现形式可以从二维到三维到N维。它还可以与其他算法或设计技术相结合，以产生更多元化的空间组织形式，并为设计带来创新。如今随着参数化软件的普及，参数化设计在形体的产生、变化、修改大部分是通过参数的变化而实现，以形成不同的设计来表达空间。数字化建设方式也随着时代的变化而变化。数控切割CNC和3D打印等数字切割方法以及机器人手臂和飞行机器人已经日益多样化。这种设计手法和建造技术为黎曼曲面的设计生产提供了很有效的操作平台。无论是在找形还是在生成阶段，都与传统的设计方法不同，传统施工方法也不可能实现。

（三）形态生成

1.形态产生

根据黎曼曲面的原理和性质，以黎曼曲面参数化设计与数字化建造的角度为出发点，借助Rhino软件及其插件Grasshopper，通过Rhino和插件Grasshopper中参数的变化实现黎曼曲面的形态生成，变化和修改过程，多以在形态生成的过程中就应对下一步数字建造进行思考，来维持下一步的形态衍化。（图7）

2.形态衍化

对于“黎曼曲面”装置形体是以上文提到的Mathematica绘制的五个曲面的原型为依据的形态衍化。在Rhinoceros软件中借助T-Splines和Grasshopper插件写程序来实现其曲面造型，但也达不到原型的最佳状态；运用手工建出基本模形，然后运用Grasshopper插件拉杆来优化达到想要的效果。之后再对形态进行T-Splines中变形、混接的调整等形体衍化过程。（图8）

3.形态确定

该装置的参数化形态确定是经过前期调研、概念确定、图解过程、软件操作、系列参数调整，最终形成的该装置的基本形，最后通过形态衍化图纸中的各种比较，确定最后的效果图。此时的形态效果图便是“黎曼曲面”该椅子装置设计与展示的图纸。该装置的设计形态确定，是基于Rhino软件及其插件T-Splines和Grasshopper的辅助下生成的。将基础形单体对称，然后对比对称后的体块的前后形，挑选了一方为椅子前侧，然后再用T-Splines找形，最终形成完整设计形态。（图9）

（四）图解分析

1.概念图解

概念图解主要是对很多信息通过一种快捷的生成方式来提炼精确的信息，所产出的可视化的图形。它不仅是个图解思考的过程，还是一个设计思维的过程。在该装置生成的初期阶段，根据黎曼曲面所找到的一些前期查找资料，对此进行分析，并用不同的平面几何体进行“trim”或“对称”，以此得到不同的四大类空间立体原型，然后绘制了各种草图。将前期资料和设计资料用自己的思维方式记录下来，以获得和更多灵感，最后借助计算机软件初拟草模。（图10）

2.数据图解

数据图解是在本次设计过程中主要用到的是后期模型制作。比如，优化模型的形状；将模型“切片”、编号；或者是形式变化，对于模型形式的变化，最为直接的便是进行数据图解分析和实验。（图11）

（五）实体建造

1.材料选用

材料选用主要是在材料的使用性能方面，看是否符合设计、建造的标准；其次就是材料的工艺性，包括：铸造、焊接、切削加工等性能。对于该装置，设计者从建造角度进行综合考虑，符合该装置的必须要有一定的强度，硬度，且能承重。通过这几点考虑，初步选定密度板和有机片。（表1）

2.结构配置

结构配置是合理的组织、整合材料。在软件Rhino和插件Grasshopper中对三维模型进行拍平、编号；根据编号将数控切割下的切片层层叠加成型。

3.数控加工

数控切割是指数控机床是计算机数字控制机床（Computer Numerical Control，CNC）的简称，它是一个配备程序控制系统的自动化机床。控制系统可以对具有控制代码或其他指令符号规格的程序进行逻辑处理，并将它们解码以移动机床或相关设备和机器部件。数控机床的操作和监控均在CNC单元中完成。它是数控机床的大脑。数控机床具有高精度加工和加工复杂形状零件的能力。（图12、图13）

4.实体组装

在组装实体之前设计者预先用3D打印和数控切割进行了小模的实验，然后对模型进一步修改调整。然后在正式组装之前将其组装步骤列出：（1）选定合适的角度对该装置进行安装，过展前再将各个局部拼装完成。虽然此模型因为安装时的胶没有选用正确，导致进程中无拍照记录；（2）将数控切割的切片成组，先进行局部安装；（3）虽然最终模型不能承重，但作为黎曼曲面的参数化实践的探索，还是具有积极意义的。如果单从3D打印的角度来说，这种建造手段也是需要承担一定的风险和实验精神的。

（六）成果表达

1.设计图

即用来呈现设计方案的图纸。该方案图纸主要是基于的参数化设计理念和数字化建造手段的设计，从前一章的理论研究出发，转向具体的操作上的设计与建造过程。（图14）

2.建造图

施工计划是指施工过程和完工图。在施工过程中，通过拍摄的方式记录了装置的材料，数控加工过程和装配过程，最后给出了最终的模型效果。（图15）

总结

黎曼曲面最初只在数学界应用，而设计因素的介入使自然科学与艺术设计有了沟通的开放性。本次实验设计中的建造环节运用数字化方法设计，并运用传统材料进行手工建造的方式，更接近于在设计方法层面对传统建造思想的批判性延伸；而随着建造操作实体从“手工”向“机械”然后“数控机械”转化，已经不可避免地呼唤着新范式转化的到来。尤其重要的是，“数字化建构”更加倾向于传统建造工具对传统材料的操作，可以视为运用数字化设计方法对传统建造的延续，如果用“半自主”状态来描述它的理论价值应该是比较客观的；而“数字化建造”则发展为数控工具对新材料的操作。这是一种全新的“自主性”设计与建造方法，其理论和建造思路与传统的建构理论完全不同。

参考文献

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蒲阳 尹继鸣/华中师范大学