3.2　相关系数

相关系数记作r，是测量两个变量之间的直线度或线性关系的量值。相关系数的取值范围是-1到+1。下面这些要点用于解释相关系数：

1）0表示不存在线性关系。

2）+1表示完美的正线性关系：一个变量的值增加时，另一个变量的值按照一个准确的线性法则同时增加。

3）-1表示完美的负线性关系：一个变量的值增加时，另一个变量的值按照一个准确的线性法则减少。

4）取值在0～0.3（-0.3～0）之间表示存在微弱的正（负）线性关系。

5）取值在0.3～0.7（-0.7～0.3）之间表示存在中等程度的正（负）线性关系。

6）取值在0.7～1.0（-1.0～-0.7）之间表示存在明显的正（负）线性关系。

7）r2是一个变量的变化能够被另一个变量解释的百分比，即这两个变量共同拥有的变化百分比。

8）线性假设：相关系数要求所考虑的两个变量之间存在线性关系。如果已知它们具有线性关系，或者两个变量表现出的模式看上去是线性的，则相关系数可以提供这种线性关系强弱的一个可靠度量指标；如果知道这种关系是非线性的，或者观察到的现象似乎不是线性的，则这个相关系数没有用，或者至少是有疑问的。

两个变量X和Y的相关系数的计算简单明了。令zX和zY分别为经过标准化处理之后的X和Y，也就是说，zX和zY的均值（mean）都等于0，标准差（std）等于1。

这个标准化处理过程见公式3.1和公式3.2：

相关系数是标准化值对（zX_i，zY_i）的乘积的平均值，如公式3.3：

其中n为样本量。

表3.1用5个观察值简单演示了相关系数的计算过程。列zX和zY分别是X和Y经过标准化处理后的值。最后一列是这两个值的乘积。这些乘积之和为1.83，其平均值（除以n-1而不是n）等于0.46。所以r_X，_Y=0.46。

表3.1　相关系数的计算