1.5 线性电路暂态分析
电路从一种稳定状态（稳态）变化到另一种稳定状态的中间过程称为电路过渡过程或暂态过程，简称暂态。
过渡过程在自然界普遍存在，例如车辆的起动和制动，需要有个过程，最后达到稳速或停止运行。在电路中，电容、电感的充、放电也存在上述物理现象。
引起电路过渡过程原因如下。
（1）外因：电路换路。例如电路的接通或断开、电源的变化、电路参数的变化、电路结构的改变等。
（2）内因：电路中含有储能元件。储能元件即电容C和电感L，纯电阻电路不存在过渡过程。
1.5.1 换路定律
换路定律是描述电路换路的瞬间，储能元件电压或电流的变化规律。
1.换路定律数学表达式
其中，uC（0+）、iL（0+）分别为换路后瞬间零时刻电容两端电压和电感中的电流；uC（0-）、iL（0-）分别为换路前瞬间零时刻电容两端电压和电感中的电流。
需要说明的是（0+）、（0-）均为0。从数学意义上说，（0-）是在时间坐标0时刻负向无限趋近于0；（0+）是在时间坐标0时刻正向无限趋近于0。
2.换路定律文字表述
式（1-33）的文字表述：在换路瞬间，电容两端电压不能跃变。
式（1-34）的文字表述：在换路瞬间，电感中的电流不能跃变。
3.产生换路定律结论的原因和条件
产生换路定律结论的原因是激励电源的功率不可能为∞。电容储能为
，电感储能为
。在激励电源功率为有限值前提下，换路时电容储能和电感储能不能跃变，电容两端电压uC（t）和电感中的电流iL（t）必定为时间t的连续函数，即uC（t）和iL（t）不能跃变。
因此，产生换路定律结论的原因也是条件：激励电源的功率不可能为∞。实际上，这个条件总是满足的。
4.换路定律推论
（1）从式（1-33）中可以推出：若电路换路前，电容两端电压为0[未储能，即uC（0-）=0]，则换路瞬间，电容相当于短路[即uC（0+）=uC（0-）=0]。
需要说明的是，在1.2.2节中，曾得出“电容对直流相当于开路”，这两种表述有矛盾吗？回答是：没有矛盾。“电容对直流相当于开路”是指电路达到稳态后，此时电容已充放电完毕；而“电容两端电压为0，换路瞬间相当于短路”是在暂态过程初始瞬间，即仅在（0+）时刻相当于短路，而且条件是电容未储能。
（2）从式（1-34）中可以推出：若电路换路前，电感中电流为0[未储能，即iL（0-）=0]，则换路瞬间，电感相当于开路[即iL（0+）=iL（0-）=0]。
需要说明的是，在1.2.3节中，曾得出“电感对直流相当于短路”是指电路达到稳态后；而上述推论是指暂态初始瞬间，即仅在（0+）时刻相当于开路，而且条件是电感未储能。
5.注意事项
除uC（0+）=uC（0-）、iL（0+）=iL（0-）外，电路中其余电流电压参数均不存在f（0+）=f（0-）。
6.电压和电流初始值计算
求解电路暂态过程的钥匙是换路定律，而应用换路定律的关键是求出uC（0-）和iL（0-）。
uC（0-）和iL（0-）是电路换路前uC和iL的数值，此时电路保持原始稳定状态（稳态），可按照和应用欧姆定律、KCL、KVL和其他已经学过的电路定律或解题方法求解。
【例1-26】 已知电路如图1-43a所示，R1=10Ω，R2=20Ω，US=10V，且换路前电路已达稳态，试求：（1）t=0时刻，S开关从位置1合到位置2，求uC（0+）、iC（0+）；（2）设S开关换路前合在位置2，且已达到稳态。t=0 时刻，S开关从位置2合到位置1，再求uC（0+）、iC（0+）。
解：（1）换路前，S在位置1且已达到稳态时，电容已充电完毕，如图1-43b所示，此时电容充电电流iC（0-）=0。
uC（0-）=US-iC（0-）R1=US=10V
换路后，如图1-43c所示，按换路定律：uC（0+）=uC（0-）=US=10V，
（2）换路前，S在位置2上且已达到稳态时，电容已放电完毕，如图1-43c所示，此时iC（0-）=0，uC（0-）=0。
换路后，如图1-43b所示，按换路定律：uC（0+）=uC（0-）=0，电容相当于短路。
图1-43 例1-26电路
【例1-27】 已知电路如图1-44a所示，R1=10Ω，R2=20Ω，US=10V，且换路前，电路已达稳态，试求：（1）t=0时刻，S开关从位置1合到位置2，求iL（0+）和uL（0+）；（2）设S开关换路前合在位置2，且以达到稳态。t=0时刻，S开关从位置2合到位置1，再求iL（0+）和uL（0+）。
图1-44 例1-27电路
解：（1）换路前，如图1-44b所示，电感已充电完毕，达到稳态，对直流相当于短路，即uL（0-）=0，此时
换路后，如图1-44c所示，按换路定律：iL（0+）=iL（0-）=1A，
uL（0+）=-iL（0+）R2=（-1×20）V=-20V
（2）换路前，如图1-44c所示，电感已放电完毕，iL（0-）=0，uL（0-）=0。换路后，如图1-44b所示，iL（0+）=iL（0-）=0，电感相当于开路。
uL（0+）=-iL（0+）R1+US=（-0×10+10）V=10V
从上述两例中，可以得出，电路达到稳态后，电压电流初始值计算有如下规律：
1）无论有源还是无源，恒有：iC=0（电容对直流相当于开路），uL=0（电感对直流相当于短路）。
2）RC有源电路电容电压uC充至最大值（按iC=0 计算）。例如图1-43b电路中，uC=US。
3）RL有源电路电感电流iL达到最大值（按uL=0计算）。例如图1-44b电路中，
。
另外，求解换路后的初始值：RC电路，应从uC（0+）=uC（0-）入手；RL电路，应从iL（0+）=iL（0-）入手。
【例1-28】 已知电路分别如图1-45a、b所示，电路已达稳态。t=0时，S开关断开。试求uC（0+）和iL（0+）表达式。
解：图1-45a电路：
图1-45 例1-28电路
图1-45b电路：
1.5.2 一阶电路暂态响应
只含有一个动态元件（即储能元件L或C）的电路可用一阶微分方程描述和求解，这种电路称为一阶电路。
据理论分析和数学推导，一阶电路的暂态响应只要求得初始值[用f（0+）表示]、新的稳态值[用f（∞）表示]和时间常数τ，就可以直接写出其全响应表达式，称为一阶电路三要素法。三要素法的一般形式：
1.初始值f（0+）
求解f（0+）应充分利用换路定律，并从换路定律入手。RC电路，先求uC（0-），uC（0+）=uC（0-）；RL电路，先求iL（0-），iL（0+）=iL（0-）。若采用其他方法，虽然也可求解，但易出错，相对麻烦。
2.稳态值f（∞）
电路达到稳态后，充电电路，电容电压和电感电流已达最大值；放电电路，电容电压和电感电流已达最小值。电容相当于开路，电感相当于短路，然后按前几节中直流电路的分析方法求解f（∞）。
3.时间常数τ
时间常数τ反映了电路过渡过程的快慢，即储能元件充、放电速度的快慢。放电电路中，τ表示储能元件储能量从初始值f（0+）按指数曲线放电下降到{f（∞）+0.368[f（0+）-f（∞）]}时所需的时间；充电电路中，τ表示储能元件储能量从初始值f（0+）按指数曲线充电上升到{f（0+）+0.632[f（∞）-f（0+）]}时所需的时间，如图1-46所示。τ越小，放电时下降速率越快；充电时上升速率越快。表1-1为时间常数τ整数倍时充、放电值。从理论上讲，过渡过程要到t→∞时结束。但实际上经过3τ～5τ，就可以认为过渡过程基本上结束了。
τ值计算方法：RC电路，τ=RC；RL电路，
。R的单位为Ω，C的单位为F，L的单位为H，按上述两式计算后τ的单位为s。关键是如何理解和求解上述表达式中的“R”。该“R”应理解为换路后从动态元件（C或L）两端看进去的戴维南电路等效电阻。
图1-46 充、放电指数曲线和时间常数τ的关系
a）放电 b）充电
表1-1 时间常数τ整数倍时的充、放电值
4.零输入响应
一阶电路暂态响应中有两种特殊情况，一种是电路断开电源，不再输入新的能量，依靠储能元件原有储能产生过渡过程，称为零输入响应。这种电路一定是储能元件放电电路，最终放电放光，储能为0，即f（∞）=0。此时，式（1-35）可写为
5.零状态响应
一阶电路暂态响应中另一种特殊情况是电路储能元件初始储能为零，即f（0+）=0。接通电源后，储能元件由零开始充电，最终充至最大值，称为零状态响应。此时，式（1-35）可写为
【例1-29】 已知电路如图1-47a所示，R1=4 kΩ，R2=8 kΩ，US=12V，C=1μF，电路已达稳态。（1）t=0时，S开关断开，试求uC（t）、iC（t），并定性画出其波形。（2）若S开关原断开，且电路已处于稳态。t=0时合上，试再求图中uC（t）、iC（t）和波形。
解：（1）S开关原合上，后断开，属于零输入响应。因此：
或
定性画出uC（t）、iC（t）波形图如图1-47b、c所示。
图1-47 例1-29电路和波形
（2）S开关原断开，后合上，属于零状态响应。因此：
或
定性画出uC（t）、iC（t）波形图如图1-47d、e所示。
【例1-30】 已知电路如图1-48a所示，R1=15Ω，R2=R3=10Ω，US=10V，L=16 mH，电路已达稳态。t=0时，S开关闭合。试用三要素法求iL（t），并画出波形图。
解：
图1-48 例1-30电路和波形
画出的iL波形图如图1-48b所示。
1.5.3 微分电路和积分电路
输出和输入电压之间构成微分关系或积分关系的电路称为微分电路或积分电路。微分电路和积分电路在电子技术中有着较为广泛的应用。
1.微分电路
（1）电路形式和输入输出电压波形。微分电路如图1-49所示，RC串联电路，从电阻端输出。uI为输入电压，uO为输出电压，其波形分别如图1-50a、b所示，其中τa是输入电压方波脉冲的宽度，Ua为输入电压方波脉冲的幅度。
图1-49 微分电路
（2）输入和输出电压关系：
（3）微分电路条件：
（4）电路分析：
1）在0+时刻，uI加入方波脉冲，uC（0+）=uC（0-）=0，uO（0+）=-uC（0+）+uI（0+）=uI（0+）=Ua。
2）经过3τ～5τ，电容充电基本完成，uC=uI=Ua，uO=0。由于τ＜＜τa，因此图1-50b中uO的正向尖脉冲时间（即电容充电时间）很短。
3）至τa时刻，uI（τa+）=0，uC（τa+）=uC（τa-）=Ua，uO（τa+）=-uC（τa+）+uI（τa+）=-uC（τa+）=-Ua，在图1-50中出现负向尖脉冲。
4）又由于τ＜＜τa，因此负向脉冲时间（即电容放电时间）很短。
5）以此类推，uO在uI波形的上升沿和下降沿，分别输出正向尖脉冲和负向尖脉冲，且脉冲时间很短。
6）因电容充放电时间很短，在τa大部分时间里，uO≈0，因此，uC≈uI，
，输出电压与输入电压构成微分关系。
需要说明的是，微分电路的必要条件是τ＜＜τa，若不满足该条件，则输入输出电压间将不满足微分关系，图1-50 c、d分别为τ=τa和τ=τa/3时的uO波形。
图1-50 微分电路输入和输出波形
a）uI波形 b）uo波形
c）τ=τad）τ=τa/3
2.积分电路
（1）电路形式、输入和输出波形。积分电路如图1-51a所示，与微分电路不同的是R与C相互交换了位置。其输入和输出波形分别如图1-51b、c所示。
（2）输入和输出电压关系：
图1-51 积分电路、输入和输出波形
（3）积分电路条件：
（4）电路分析：
1）在0～τa时段里，uI=Ua，电容充电，uC按指数规律上升。
2）由于τ＞＞τa，电容上电压尚未充足，方波脉冲已经结束，uI=0，电容转入放电，uC再按指数规律下降。
3）又由于τ＞＞τa，电容上电压尚未放完，又出现方波脉冲，uI=Ua，电容再次转入充电。
4）依此类推，uO输出近似三角波。
5）由于τ＞＞τa，电容上充电和放电均很小，uR＞＞uC，因此，uR≈uI，
，输出电压与输入电压构成积分关系。
需要说明的是，图1-51a所示积分电路输出三角波电压uO的幅度很小，且为指数曲线，线性度很差，实用价值不大。在电子电路里，积分电路与有源放大器件组合，构成有源积分电路，三角波（或锯齿波）幅度很大，且线性度很好，带负载能力增强，在电子扫描电路中得到广泛应用。
【复习思考题】
1.17 引起电路过渡过程的原因是什么？
1.18 什么叫换路定律？产生换路定律结论的原因和条件是什么？
1.19 “电容对直流相当于开路”与“储能为零的电容在换路瞬间相当于短路”是否有矛盾？
1.20 如何理解“电感对直流相当于短路”与“储能为零的电感在换路瞬间相当于开路”？
1.21 时间常数τ的含义是什么？
1.22 为什么说过渡过程经过3τ～5τ就可以认为基本上结束？
1.23 如何求解时间常数τ？表达式中的R应如何理解？
1.24 画出微分电路、输入和输出电压波形，写出输入和输出电压的关系式，指出其条件。
1.25 画出积分电路、输入和输出电压波形，写出输入和输出电压的关系式，指出其条件。