3.3 单一参数的交流电路

由于正弦交流电路稳态工作时的电流、电压都是随时间按正弦规律变化的，因此，正弦交流电路的分析计算不仅与电阻元件R有关，而且与电容元件C和电感元件L有关。即在分析计算正弦交流电路时，必须分析R、C、L单一参数特性及正弦响应特点。

3.3.1 电阻元件的正弦响应

1.电压与电流的关系

在交流电路中，通过线性电阻的电流和电压，在任一瞬时都遵守欧姆定律。

如图3.3.1a所示电阻元件R，其电压、电流为关联参考方向，则有

若电流i（t）=I_msinωt，则

式（3.3.2）表明，电阻元件电流及其两端电压都是同频率正弦量。下面分别讨论它们之间的数值及相位关系。

数值关系：由式（3.3.2）可得电压、电流最大值之间关系为

U_m=RI_m

有效值之间关系为

U=RI

相位关系：电压u与电流i同相位。波形图如图3.3.1b所示。

综上所述，可得电阻元件电压、电流之间的相量关系式为

式（3.3.3）同时表示电压与电流之间数值与相位之间的关系，相应相量图如图3.3.1c所示。

2.功率

任意时刻的电压、电流瞬时值的乘积称为瞬时功率，用p表示。电阻上消耗的瞬时功率为

瞬时功率p的波形图如图3.3.1d所示。由于电压u和电流i同相，即同时为正或同时为负，因此瞬时功率p总是正值，说明电阻在每一瞬间都从电源吸收电能，电阻是耗能元件。

瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率，用P表示。有

可见，电阻消耗的平均功率等于电压和电流有效值的乘积。

3.3.2 电感元件的正弦响应

1.电压与电流的关系

如图3.3.2a所示电感元件，其电压、电流采用关联参考方向，已知其伏安关系为

假定通过电感元件的电流是正弦电流，即

i（t）=I_msinωt

则电感元件两端电压为

由此可见，电感元件的电压和电流也是同频率正弦量，下面分别讨论它们之间的数值和相位关系。

数值关系：由式（3.3.5）可得电压、电流最大值以及有效值之间的关系分别为

其中，X_L=ωL=2πfL是电感电压和电流有效值（或最大值）的比值，称为电感的电抗，简称感抗，其单位是欧姆（Ω）。

感抗与电源频率f成正比，它是表征电感元件对交流电流呈现阻力作用的一个物理量。利用电感线圈在高频时感抗大的特点，可做成扼流线圈，以阻止高频电流通过。

对于直流电流，因f=0，其感抗X_L=0，所以在直流稳态时，电感元件相当于短路。

相位关系：电感上电压与电流之间出现相位差，且电压超前电流90°，或者说电感电流滞后电压90°。其波形图如3.3.2b所示。综上所述，电感相量式为

相量图如图3.3.2c所示。

2.功率

纯电感的瞬时功率为

瞬时功率p的波形图如图3.3.2d所示。由于电压u超前电流i相位90°，因此电压u与电流i的瞬时值在第一个和第三个周期内同时为正或同时为负，瞬时功率p为正值；在第二个和第四个周期内不同时为正或不同时为负，瞬时功率p为负值。在一个周期内，瞬时功率p一半为正、一半为负，说明电感从电源吸收的电能和向电源回送电能的量相等，电感是储能元件。显然，纯电感的平均功率为零，即

纯电感负载在交流电路中不消耗能量，只是与电源进行能量互换，其互换能量的规模用无功功率来反映。无功功率等于瞬时功率的幅值，用符号Q表示，单位是乏（var）或千乏（kvar）。即

Q=UI=X_LI²

与无功功率相对应，平均功率一般称为有功功率。

3.3.3 电容元件的正弦响应

1.电压与电流的关系

图3.3.3a所示为电容元件，在电压、电流为关联参考方向时，其伏安关系式为

若电容两端接入正弦电压u（t）=U_msinωt，则通过电容元件的电流为

由式（3.3.9）可见，电容元件的电压和电流是同频率正弦量。它们的数值关系和相位关系如下。

数值关系：由式（3.3.9）可得

用有效值表示为

式中，X_C=是电容电压与电流有效值（或最大值）的比值，称为电容电抗，简称容抗，其单位是欧姆（Ω）。

容抗与电容C、频率f成反比，是表征电容元件对交流电呈现阻力作用的物理量。电容元件对于高频电流呈现的容抗较小，使较高频率电流易于通过。对于直流电流，其频率f=0，所呈现的容抗X_C=∞，可视为开路。因此，电容元件具有隔断直流的作用，这种“隔直作用”在电子电路中经常用到。

相位关系：电容电流超前电压90°，或称电容电压滞后电流90°，波形如图3.3.3b所示。综上所述，可得出如下相量式：

式（3.3.12）表示电容电流与电压有效值之间及相位之间的关系，其相量图如图3.3.3c所示。

2.功率

纯电容的瞬时功率为

瞬时功率p的波形图如图3.3.3d所示。由于电流i超前电压u相位90°，因此电流i与u电压瞬时值在第一个和第三个周期内同时为正或同时为负，瞬时功率p为正值；在第二个和第四个周期内不同时为正或不同时为负，瞬时功率p为负值。在一个周期内，瞬时功率p一半为正、一半为负，说明电容从电源吸收的电能和向电源回送电能的量相等，电容是储能元件。显然，纯电容的平均功率为零，即

纯电容负载在交流电路中不消耗能量，只是与电源进行能量互换，其互换能量的规模用无功功率来反映，即

Q=-UI=-X_CI²

即电容性无功功率取负值，电感性无功功率取正值，以资区别。

例3.3.1 电路如图3.3.4a所示，已知R=3Ω，L=2 H，i_S=sin2t，试求电压u₁、u₂、u及其有效值相量。

解：根据图3.3.4a，可画出图3.3.4b所示相量模型。

已知==1∠0°，则

相应电压的瞬时值表达式为

特别提示

电阻元件上的电压和电流频率相同、相位相同，电压与电流的最大值与有效值之间的关系为U_m=RI_m或U=RI。电感元件上的电压和电流频率相同、电压相位超前电流90°，电压与电流的最大值与有效值之间的关系为U_m=ωLI_m或U=ωLI。电容元件上的电压和电流频率相同、电流相位超前电压90°，电压与电流的最大值与有效值之间的关系为I_m=ωCU_m或I=ωCU。

【练习与思考】

1）在正弦电流电路中，如果选取关联参考方向，则下列u、R、i表达式中哪些正确，哪些错误，并改正。

① i=；② I=；③ i=；④ i=；⑤ I·=

2）在正弦电流电路中，如果选取关联参考方向，则下列u、L、i表达式中哪些正确，哪些错误，并改正。

① i=L；② i=；③ I=；④ I=；⑤；⑥

3）在正弦电流电路中，如果选取关联参考方向，则下列u、C、i表达式中哪些正确，哪些错误，并改正。

① i=；② I=；③ I=ωCU；④；⑤；⑥ i=；⑦ i=