1.5 大自然中的分形

归纳以上所述，分形是具有如下几个特征的图形：

（1）分形具有自相似性。从上面两个例子可以看出：分形自身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成。

（2）分形具有无穷多的层次。无论在分形的哪个层次，总能看到有更精细的、下一个层次存在。分形图形有无限细节，可以不断放大，永远都有结构。

（3）分形的维数可以是一个分数。

（4）分形通常可以由一个简单的递归、迭代的方法产生出来。

因为分形可以由一个简单的迭代法产生出来，计算机的发展为分形的研究提供了最佳环境。比如说，如果给定了不同的初始图形，不同的生成元，即迭代方法，利用计算机进行多次变换，就能很方便地产生出各种二维的分形来（图1.5.1）。

图1.5.1 计算机产生的树叶形分形图（彩图附后）

“等一等！”这次是王二在叫。他打断了正在向他们解释分形程序的张三，从书包里翻出一张照片给两个朋友看，兴奋地说：

“这是我去年暑假到峨眉山上拍的蕨类植物照片。你们看，右边图中的蕨类植物叶子，太像张三刚才用计算机迭代法画出来的分形了！”

三人比较了一下，王二的照片（图1.5.2）和张三生成的图形的确很像。

图1.5.2 蕨类植物

“再等等！再等等！”王二又从书包里翻出更多的照片。说：

“让你们看看更多大自然的鬼斧神工！其实，美丽的分形图案在自然界到处都存在。我从小就喜欢自然之美，经常在动物植物的构造中发现些令人惊叹的图形，过去几年拍了不少有趣的照片。原来只觉得大自然太神奇了，现在才知道这就是分形……”

图1.5.3是王二的部分照片。其中有我们常见的花菜、天空中的闪电、贝壳的图案式结构，还有老树枯枝……

图1.5.3 大自然中的分形

王二很高兴今天在三人聚会中唱了主角，更高兴把分形的概念与他的生物专业联系起来了。他告诉朋友们，这几天，他研究这些照片和学到的分形知识后发现：就比较传统的欧几里得几何中所描述的平滑的曲线、曲面而言，分形几何更能反映大自然中存在的许多景象的复杂性。现在，当我们了解了分形几何后，看待周围一切的眼光都和过去不一样了。当我们仔细观察周围世界时，会发现许许多多类似分形的事物。比如连绵起伏的群山，天空中忽聚忽散的白云，小至各种植物的结构及形态，遍布人体全身纵横交错的血管，它们都或多或少表现出分形的特征。比如，山在我们眼中不再只是锥形；云在我们眼中不再只是简单的椭球形状。在它们貌似简单的外表下，有着复杂的、自相似的层次结构。如果说，欧氏几何是用抽象的数学模型对大自然作了一个最粗略的近似，而分形几何则对自然作了更精细的描述。分形是大自然的基本存在形式，无处不在，随处可见。

“我有一个问题”张三插嘴说：“不是说自相似性是分形的特点吗？我这儿有几个计算机产生出来的图形的确是严格自相似的。还有你们看过的科赫曲线、谢尔宾斯基三角形，这些简单分形显然都符合自相似的条件。但是，王二给我们看的这些大自然的杰作，自相似性就不是那么严格了，这是怎么回事呢……”

李四笑了：“唉，张三不愧是学机械工程的，思考问题总是追求严格，可是，大自然并不是谁造出来的机器啊，其中的偶然因素太多了……”

“你们听过分形的老祖宗曼德勃罗的故事吧……”李四指着王二照片中有海岸线的那张，说起了更多有关分形的历史。

“尽管早在19世纪，许多经典数学家已对按逐次迭代产生的图形（如科赫曲线等）颇感兴趣，并有所研究。但有关分形几何概念的创立及发展，却是近二三十年以内的事。1973年，美国IBM公司的科学家曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的构想，并继而创造分形（fractal）一词。当时，曼德勃罗就是用海岸线作例子，提出一个听起来好像没有什么意思的问题：英国的海岸线有多长？

英国的海岸线到底有多长呢？人们可能会不假思索地回答：只要测量得足够精确，总是能得到一个数值吧。答案当然取决于测量的方法及用这些方法测量的结果。但问题在于，如果用不同大小的度量标准来测量，每次会得出完全不同的结果。度量标准的尺度越小，测量出来的海岸线的长度会越长！这显然不是一般光滑曲线应有的特性，倒是有些像我们在前面章节中所画的科赫曲线。你们来测量一下科赫曲线的长度吧！看看图1.2.1，如果把图（a）中曲线的长度定为1的话，图（b）、图（c）、图（d）中曲线的长度分别为：4/3、16/9和64/27，长度越来越长了，以至于无穷。这与用不同的标准来测量海岸线的情况类似。也就是说，用以测量海岸线的尺越小，测量出的长度就会越大，并不会趋向收敛于一个有限固定的结果。”

张三也表示明白了：“啊，原来海岸线的长度随着测量尺度的减小而趋于无穷！”

李四接着说，“张三刚才说的也没错，海岸线的确不同于我们上面所举的线性分形……”

不过事实上，海岸线与科赫曲线很相似。科学家们应用我们叙述过的估算分形维数的方法，以及逐次测量英国的海岸线所得的结果，居然算出了英国海岸线的分形维数，它大约等于1.25。这个数字与科赫曲线的分形维数很接近。因此，英国海岸线是一个分形，任何一段的长度都是无穷。没想到吧，这真是一个令人吃惊的答案。

再一次的聚会中，李四又更深入地解释了张三那天提出的问题。他说，我们在前面几节中所讨论的分形例子，都是由线性迭代产生的。它们所具有的自相似性叫做线性自相似性。也就是说，将原来的图形，经过缩小、旋转、反射等线性变换之后，能再组合成原来的图形。除了这种由简单的线性迭代法生成的分形之外，还有另外两种重要的生成分形的方法：第一种与随机过程有关，即线性迭代与随机过程相结合；第二种是用非线性的迭代法。

自然界中常见的分形，诸如海岸线、山峰、云彩等，更接近于由随机过程生成的分形。有一种很重要的与随机过程有关的分形就是如图1.5.4所示的分形，叫做扩散置限凝聚（diffusion-limited aggregation）。这种分形模型常用来解释人们常见的闪电的形成及石头上的裂纹形态等现象。

图1.5.4 扩散置限凝聚图

要估算随机过程生成的分形维数，或者非线性迭代分形的维数，就不像计算线性分形维数那么简单了。