2.3 力马达的数学模型与仿真分析
2.3.1 结构与工作原理
本节分析的力马达为永磁动铁式力马达,其通常作为直动式电液伺服阀电-机转换器,其外观和结构分别如图2-22和图2-23所示。
图2-22 永磁动铁式力马达外观
图2-23 永磁动铁式力马达的结构原理图
此力马达是永磁式差动马达,其仍是基于电磁力原理工作的,主要由控制线圈、两个极性相反安装的永磁铁、衔铁组件(包括衔铁、与衔铁相连的输出杆)、对中弹簧、马达壳体、滑动轴承、端盖、左右导磁体等构成。衔铁组件由螺纹连接到对中弹簧上。通过旋转衔铁组件的螺纹,可以调整由衔铁左、右端面和对应的导磁体端面构成的两个工作气隙之间的距离。对中弹簧要求具有足够大的刚度,保证在衔铁偏离中位的额定工作范围内,力马达能稳定可靠地工作,在切断系统信号电流时,弹簧力足以克服滑阀摩擦力,使阀芯回到中位,使其整个阀具有失效对中功能。为减小衔铁组件在运动过程中受到的摩擦力,在衔铁组件左端采用滑动轴承进行支撑。阀芯与马达之间通过连杆相接,一端与阀芯直接连接,另一端通过螺纹固定在马达衔铁组件上,通过拧动连杆螺纹,可以调节滑阀的液压零位。
如图2-24a所示,当输入电流为零时,衔铁位于中位,由于左、右两个工作气隙的距离相等,永磁铁在两个工作气隙处产生的固定磁通也相等,衔铁两端所受磁力相等,方向相反,衔铁所受合外力为零,力马达不输出位移。如图2-24b所示,当控制线圈通电,两个工作气隙处产生控制磁通。控制磁通与固定磁通之间相互作用,使马达产生推动衔铁组件运动的驱动力,该力的大小与所输入电流大小成比例。马达运动是双向的,当马达输入电流为正时,马达产生正向驱动力,推动衔铁组件朝正向运动;当马达输入电流为负时,产生负向驱动力,推动衔铁组件反向运动。
图2-24 永磁动铁式力马达的工作原理图
2.3.2 磁路模型
由图2-24永磁动铁式力马达的工作原理图,可得力马达的磁路简化原理图,如图2-25所示。图2-25中由外壳、左右导磁体、左右气隙磁阻和衔铁构成控制磁通回路;极化磁通回路分左右两个,左边回路由左边永磁铁、左导磁体、衔铁构成;右边回路由右边永磁铁、右导磁体、衔铁构成。若设R1为左导磁体和衔铁间的磁阻,R2为右导磁体和衔铁间之间的磁阻,则依据力马达的磁路简化原理图可得力马达的磁路计算图,如图2-26所示。
图2-25 力马达的磁路简化原理图
图2-26 力马达的磁路计算图
假设永磁铁的磁阻远大于气隙产生的磁阻,控制磁通主要从气隙穿过,则由图2-26得通过气隙磁阻1的磁通
通过气隙磁阻2的磁通
式中,磁阻R1、R2取值见式(2-22)和式(2-23)。
由于衔铁在中位时的极化磁通Φg和控制磁通Φc取值为
将极化磁通和控制磁通代入式(2-26)和式(2-27)可得
2.3.3 力输出的数学模型
1.无磁滞输出模型
由图2-26和图2-24永磁动铁式力马达的工作原理可知,力马达的输出力F为左、右导磁体对衔铁的电磁作用力之差,将式(2-69)和式(2-70)代入式(2-34),可得力马达的输出力
式中,电磁力系数
磁弹簧刚度为
由式(2-72)和式(2-73)中可以看出,Kt和Km不是常数,它们会随着衔铁位移和控制磁通的变化而变化,因此永磁动铁式力马达的输出力与控制电流以及衔铁位移之间的关系是非线性的。
为了采用线性分析方法进行研究,将式(2-72)和式(2-73)可以做进一步的简化,力马达经常工作在零位附近,此时(x/g)2≪1,代入式(2-72)和式(2-73),可得中位电磁力系数和中位磁弹簧刚度
永磁动铁式力马达负载可以等效为由惯量-弹簧-阻尼和外负载构成的二阶系统,因此其动态平衡方程为
进一步可得动态输出位移的传递函数
式中,ma为衔铁组件的等效质量;Ba为衔铁组件的等效阻尼;Ka为衔铁组件的综合刚度;FL为作用在衔铁上的外负载。
2.磁滞输出模型
由于铁磁体磁化是磁滞非线性的,因此基于电磁吸力原理工作的力马达输出也是磁滞非线性的。为方便建模,认为磁化过程满足如下两条假设:①控制磁通和极化磁通满足线性叠加性;②磁路中所有磁性元件,磁化参数和磁化过程是一样的。
由力马达的结构可知,控制磁场在衔铁中产生的磁感应强度近似等于气隙中的控制磁感应强度,因此气隙中的控制磁通
式中,Bc为控制磁场在衔铁中产生的磁感应强度,其值由式(2-7)求出。
因此,永磁动铁式力马达的输出力可表示为
零位附近,取(x/g)2≪1,则式(2-79)可简化为
由式(2-80)可知,同力矩马达的特性,如果没有外力的干涉下,只要衔铁略为偏离中位,就算没有输入电流,衔铁也会受电磁力作用而移动。移动位移越大则力越大,力越大则越移动,直到衔铁碰上导磁体为止。为了使衔铁有确定的移动位移,就必须设计一个机械弹簧与衔铁连接在一起,使衔铁时刻受到与其位移正比,运动方向相反的弹簧力。当衔铁运动到弹簧力与电磁力平衡的位置时,衔铁停止运动,这样就保证了衔铁位移与电磁力成正比。
将式(2-77)中Ktic用2ΦgBc/μ0替换,可得计磁滞影响时,永磁动铁式力马达的动态输出位移的传递函数
2.3.4 仿真分析
1.无磁滞影响的模型仿真
由式(2-77)可得力马达的空载静态输出位移
由上式可知,x关于i的函数不易写成显式形式,将上式转换为如下函数
将表2-2中参数代入式(2-83),取x的范围为-0.5~0.5mm,然后将所得结果坐标轴互换,可得永磁动铁式力马达的空载位移特性曲线,如图2-27所示。
图2-27 永磁动铁式力马达的空载位移特性曲线
由图2-27可知,在表2-2参数下,力马达控制电流在-1~1A内变化时,力马达输出位移和控制电流的关系曲线接近线性,超过范围非线性明显。因此为提高力马达输出曲线的线性性能,控制电流不应设计的过大,应使力马达工作在线性度较好的区域。因此力马达输出位移在一定范围内,力马达的输出位移和电流的关系曲线可认为是线性的,在此范围内驱动下,力马达输出位移可以写成控制电流的比例形式。
由式(2-82)可得,在零位附近时力马达的空载静态输出位移
由式(2-71)可知,在输出位移为零时,力马达的最大静态输出力
将表2-2中参数代入式(2-84)和式(2-85)可得,在零位附近,不计磁滞影响的力马达空载静态位移和最大静态力输出特性曲线,如图2-28所示。与图2-27对比可知,在控制电流为-1~1A时,由式(2-84)和由式(2-83)绘制的力马达空载静态特性曲线十分接近,因此力马达输出位移不大时,可用式(2-84)表示力马达空载静态特性。
表2-2 某型DDV的力马达仿真参数
图2-28 无磁滞影响的力马达静态特性曲线
图2-29 力马达的单位阶跃响应曲线
由图2-28可知,在表2-2参数下,力马达控制电流在-1~1A变化时,输出位移范围为-0.3~0.3mm,输出力范围-60~60N。
由上述分析可知,可用线性模型式(2-77),分析力马达的动态性能。将表2-2中参数代入式(2-77),可得力马达输出位移的空载动态性能曲线如图2-29和图2-30所示。在1A阶跃电流输入下,所给力马达为过阻尼系统,上升时间约为3ms,稳态时间小于4.5ms,稳态位移0.3mm;幅频宽接近175Hz,相频宽接近504Hz。
图2-30 力马达频率响应曲线
2.计磁滞影响的模型仿真
由于铁磁体磁化是磁滞非线性的,因此基于电磁吸力原理工作的力马达输出也是磁滞非线性的,由式(2-81)可知,计磁滞影响时,在零位附近力马达空载静态输出位移为
由式(2-80)可知,在输出位移为零时,计磁滞影响的力马达最大静态输出力为
将表2-2中参数代入式(2-86)和式(2-87)并结合图2-12所建的仿真图,可得在零位附近,计磁滞影响的力马达空载静态位移和静态输出力特性曲线,如图2-31所示。
图2-31 计磁滞影响的力马达静态特性曲线
由图2-31可知,在表2-2参数下,力马达的静态输出位移和输出力在计磁滞影响时,显然线性变差。在-1~1A控制电流下,输出位移-0.31~0.31mm,输出力-64.6~64.6N。对比图2-28可知,力马达的静态特性曲线线性度变差且存在非线性磁滞滞环。
2.3.5 优化与设计准则
由式(2-72)和式(2-73)可知,电磁力系数Kt和磁弹簧刚度Km随力马达相对位移x/g(即力马达位移与中位气隙长度的比值)的变化而变化。为分析这种变化规律,又得到比较通用性的结果,将电磁力系数和磁弹簧刚度也无因次化处理。
由式(2-72)与式(2-74)可知,电磁力系数与零位电磁力系数的比值为
由式(2-73)与式(2-75)可知,磁弹簧刚度与零位磁弹簧刚度的比值为
由式(2-88)和式(2-89),可得Kt和Km的无因次量与位移的无因次量x/g的关系曲线,如图2-32和图2-33所示。
图2-32 无因次电磁力系数与相对位移的关系曲线
图2-33 无因次磁弹簧刚度与相对位移的关系曲线
由图2-32和图2-33可知,力马达的电磁力系数Kt和磁弹簧刚度Km均是随着力马达相对位移x/g的增大而增大的。但在x/g<0.3时,Kt和Km的无因次量均小于1.1,因此在力马达输出位移小于0.3倍中位气隙长度时,可以认为电磁力系数和磁弹簧刚度为定值,可采用线性模型对力马达特性进行分析。
为得到力马达的设计准则,需要分析其非线性模型。在空载时,力马达输出稳态力F=Kax,联立式(2-71)可以转化为如下的无因次方程
化简可得,无因次磁通和无因次位移的关系满足
取Ka/Km0的比值分别为1、5、10,由式(2-90)可得无因次控制磁通与无因次位移的关系曲线,如图2-34和图2-35所示。
由图2-34可知,控制磁通和输出位移的关系是非线性的。在某些区间段,输出位移和控制磁场还是反相关的。但由图2-35可知,相对位移取-0.3~0.3时,可以明显提高控制磁通和输出位移的线性度。Ka/Km的比值越大,位移对磁通的增益越大,相同磁场产生的位移较大。
力马达的动态输出位移的传递函数式(2-77),在空载情况下可转成如下标准二阶系统
图2-34 无因次控制磁通与相对位移的关系曲线
图2-35 低位移下,无因次控制磁通与相对位移的关系曲线
式中,ωm为衔铁组件的固有频率,其取值为
由式(2-91)可知,力马达的传递函数由比例、二阶振荡环节组成,主要性能参数为位移放大系数,衔铁组件的固有频率和衔铁组件的等效阻尼。提高ωm将能够提高力马达的响应速度和频宽。式(2-92)表明,若提高衔铁固有频率,应尽量减小衔铁组件的质量ma,增加衔铁组件综合刚度Ka。