1.2 纤维增强复合薄板振动特性的理论研究现状

1.2.1 纤维增强复合薄板振动分析的基本理论与方法

对于纤维增强复合薄板的振动问题，国内外学者在研究过程中，发展了大量成熟的建模理论与方法，主要包括二维等效单层板理论、锯齿理论、分层理论和三维弹性理论。目前，以等效单层板理论应用最多，主要包括经典层合板理论（Kirch- hoff理论）、一阶剪切变形层合板理论（Reissner-Mindlin板理论）和高阶剪切变形层合板理论。其中，经典层合板理论基于Kirchhoff假设，认为层合板变形前的中面法线在变形后仍然保持为直线且垂直于中面，即忽略了板厚度方向的剪切变形。该理论具有位移便于表达、未知量少、求解容易等优点，适用于复合材料薄板的振动问题分析，但当面内弹性模量之比或层合板厚度较大时，该建模理论的分析精度就无法保证。为了考虑厚度方向的剪切变形，Reissner和Mindlin提出了一阶剪切变形理论，该理论认为板变形后横向法线仍然保持为直线但不再垂直于板的中面。为了寻求更加精确的层合板建模方法，部分学者还将层合板的面内位移，采用高阶位移分布形函数进行展开，进而又发展出了高阶剪切变形理论。以最具代表性的Reddy高阶剪切变形理论为例，该理论假设板的横向切应变沿板厚呈抛物状分布，且满足层合板上下表面横向切应力为零的条件。

另外，对于复合材料层合板的振动求解问题，目前主要通过以下几种近似解法进行求解。

（1）瑞利-里茨法 该方法以最小势能原理为理论基础，通过选择试函数来逼近问题的精确解。该方法需要将试函数代入复合薄板分析模型的泛函中，然后对泛函求驻值，以确定试函数中的待定参数，从而获得其振动问题的近似解。

（2）微分求积法 由于该方法通过域内很少的节点即可获得精度较高的数值结果，求解效率和精度较高，目前已被成功应用于各种材料结构的稳定性分析中，尤其是静力分析、自由振动及屈曲问题分析。利用微分求积法求解时，需按照一定的规则在正则化区间选取节点，运用拉格朗日插值法在全域上对所有节点的函数值进行加权求和。然后，得到给定节点处函数的导数值，并对空间域的复杂方程进行离散，最后将其转化成一系列线性方程后进行求解。

（3）有限差分法 该方法在数学上常用于求解微分方程和偏微分方程，用差商代替方程及边界条件中的微商，达到离散化的目的，它被广泛用于各种复合材料梁和板的解析求解中。

（4）有限元法 在当前的所有数值计算方法中，有限元法的通用性最好，目前在工程中应用最为广泛。对于纤维增强薄板的振动问题，有限元法先将板分割为一系列小单元，然后对每个单元的位移函数，通过低阶分片多项式用节点广义位移来表示，而全板的位移场就可以用单元位移函数逐段来表示。由于整个离散化方程是通过许多小单元运算矩阵集合而成，因此可针对不同尺寸、材料、载荷、边界参数的复合材料板件的振动求解。

（5）无网格法 该方法是一种只需要节点信息，不需要将节点连成单元的数值计算方法。与传统的有限元相比，它克服了有限元法需要划分单元及单元重构的缺点，减少了工作量，提高了计算精度。无网格法的基本思想是在问题域内布置一系列的节点，然后采用一种与权函数（或核函数）有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上任何一点的力学特性，进而求得问题的解。

1.2.2 纤维增强复合薄板振动分析研究现状

根据1.2.1节介绍的理论建模与求解方法，国内外学者在研究纤维增强复合薄板的线性振动特性方面，已经取得了大量研究成果，例如，Mohan和Kingsbury采用Galerkin法求解了悬臂状态下硼纤维/树脂复合薄板结构的固有频率。研究结果表明，固有频率在很大程度上受到弹性主轴方向的影响，对于正交各向异性复合薄板的固有特性分析，采用传统的各向同性分析方法无法对其进行准确预测。Nair和Durvasula对复合材料薄板的固有特性也进行了研究，用梁函数表示振型函数，并采用里茨法求出了除悬臂条件以外的不同边界条件下薄板的固有频率近似解。Leis- sa等基于经典层合板理论，采用里茨法获得了不同铺层和不同纤维铺设角度下，玻璃纤维、硼纤维和石墨纤维增强复合薄板在简支边界条件下的固有频率，并讨论了材料、铺层数和纤维角度对固有频率的影响。Qatu在里茨法中采用代数多项式法求解了不同边界条件下玻璃/树脂和石墨/树脂复合薄板的固有频率和模态振型，并研究了固有频率的变化与铺设角度的关系。史冬岩等基于改进傅里叶级数方法（IFSM）对石墨/环氧树脂复合薄板结构的振动特性进行了研究，并采用瑞利-里茨法求解其固有频率，但并未获得悬臂状态下的计算结果。Chow基于Timoshenko梁理论并考虑了横向剪切力及转动惯量的影响建立了正交异向复合板的动力学方程，并求解了其在脉冲激励下的振动响应。Siu和Bert考虑了材料阻尼的影响，基于Mindlin板理论，采用瑞利-里茨法求解获得了谐波激励下复合薄板的频域振动响应，并通过与文献结果对比，验证了分析方法的正确性。Sun和Whitney结合分离变量法及Mindlin-Goodman法研究了均布横向载荷作用下简支纤维增强复合薄板的时域振动响应，研究发现表层为0°铺设的复合薄板具有更大的有效弯曲刚度。Reddy研究了正弦分布载荷作用下，正交铺设和±45°角铺设纤维增强复合薄板在自由和简支两种边界条件下的振动响应问题，并研究了不同宽厚比和铺设角度对振动响应的影响。Khdeir和Reddy在简支边界条件下研究了正弦、三角等载荷作用下复合薄板的瞬态振动响应，分别基于一阶剪切变形理论和经典层合板理论获得了动力学方程，并采用状态变量法对其进行了求解，研究发现复合结构系统振动响应幅值与其铺层数目和各向异性程度的增大成反比。李晖等采用理论与实际相结合的方式，对纤维增强复合薄板振动特性进行了研究，采用双向梁函数法，推导了具有任意纤维角度下该类型复合薄板的最大动能和应变能，明确了利用该方法获取固有频率和模态振型的原理；同时，还考虑了基础激励的影响，建立了该类型复合薄板的响应分析模型，并采用了多层次修正技术，研究了振动响应的准确预测问题。

目前，国内外学者在研究纤维增强复合薄板的非线性振动特性方面也取得了一些进展，但绝大多数文献关注薄板几何大变形引发的非线性振动问题。例如，Rao和Pillai分析了固定边简支复合薄板的大幅振动问题，基于Kirchhoff假设和von Kármán应变-位移关系，并考虑了面内变形和转动惯量，建立了复合薄板的理论模型。Singh等提出了一种数值迭代方法来研究纤维增强复合薄板的几何非线性振动问题，并基于von Kármán应变-位移关系推导获得复合薄板的运动控制微分方程。Ribeiro和Petyt应用分层有限元和谐波平衡法研究了四边固支边界条件下复合薄板的几何非线性振动问题，并采用延续算法（延拓方法）求解了非线性运动方程。Lee和Ng基于有限元法，提出了一种研究复合薄板大振幅振动的时域模型，并且基于von Kármán应变-位移关系，通过模态缩减法求解了其非线性固有频率和振动响应。Harras等基于von Kármán大变形理论建立了复合薄板非线性振动的理论模型，同时，研究了几何非线性对固有频率、模态振型和弯曲应力的影响。Onkar和Yadav研究了随机激励下简支复合薄板的非线性随机振动，基于Kirchhoff-Love板理论和von Kármán非线性应变-位移关系，并采用Hamiltons原理建立了复合薄板的理论模型。Tabiei等提出了一个具有应变率依赖特点的非线性复合材料模型，可以用来进行冲击响应分析和失效分析。同时，以两个典型的复合材料试件为对象，研究了非线性应力-应变响应与纤维铺设角度之间的关系。Stecenko和Stevanovi研究了单向和多向复合材料拉伸和压缩弹性模量的应变依赖性，发现了复合材料的弹性模量在受拉时会增加，受压时则会减小。Singha和Daripa研究了横向谐波激励和面内周期激励作用下复合薄板的大幅值振动问题，基于von Kármán假设建立了面内和弯曲耦合的非线性刚度矩阵模型，并通过Galerkin法获得了系统的非线性运动方程，进而求解了复合薄板的非线性固有频率和强迫振动响应。Shooshtari和Raza-vi基于一阶剪切变形理论研究了复合薄板的非线性振动问题，采用Galerkin法获得了包含非线性惯性和刚度的微分方程，最后，采用多尺度法求解获得了复合薄板的非线性固有频率和横向位移，结果与文献有很好的一致性。

从目前掌握的国内外文献、书籍资料来看，人们在研究纤维增强复合薄板结构的振动问题时，主要基于经典层合板理论、高阶剪切变形理论和有限元法进行理论建模与分析，但绝大部分研究工作针对简支、自由等理想边界条件，并且多数文献得出的固有频率结果都为无量纲频率，较少考虑悬臂边界条件下振动特性的求解。同时，在动态响应问题研究中，多考虑脉冲载荷作用下复合薄板的振动响应，较少数文献考虑了基础激励载荷的影响。另外，对于复合薄板结构的非线性振动问题，绝大多数问题都是考虑von Kármán非线性应变-位移关系的影响，仅研究了薄板几何大变形引发的非线性振动问题。目前，很少有文献考虑纤维增强复合材料本身非线性（即材料非线性）引发的结构非线性振动现象。因此，仍有必要继续对复合薄板的非线性振动特性进行研究，特别是需要将其材料的非线性引入到振动分析模型中，以建立一个准确的数学模型来描述其表现出的具有振幅依赖性的非线性刚度和阻尼现象。