4.18　数据科学入门：离中趋势度量

在前面的章节对描述性统计的讨论中，我们考虑了对表示集中趋势的均值、中值和众数的度量。这些度量可以帮助我们对一组值中的典型值进行分类，例如学生的平均身高或某个国家的居民最常购买的汽车品牌（众数）等。

当讨论一个群体时，这个群体被称为种群。有时种群相当庞大，例如，在下一次美国总统选举中可能参加投票的选民，这个数字可能会超过100,000,000人。美国民意调查组织试图预测谁将成为下一任总统，但从现实情况考虑，需要在精心挑选的种群子集（称为样本）上开展工作。在2016年的美国大选中，许多民意调查样本的规模大约为1000人。

本节将继续讨论基本的描述性统计数据，并引入离中趋势度量（也称为变异性度量）帮助人们了解值的分布情况。例如，在一个班的学生中，可能多数学生的身高接近平均水平，但少数学生明显偏矮或偏高。

为了说明这个问题，我们将使用以下10个六面骰子的点数构成种群，分别通过手动方式和使用statistics模块中的函数来计算每种离中趋势度量：

    1, 3, 4, 2, 6, 5, 3, 4, 5, 2

方差

为了确定方差[1]，我们从这些值的均值3.5开始计算。可以通过用点数之和35除以投掷次数10来得到此结果。接下来，从每个骰子点数中减去平均值（这样会产生一些负数结果），结果如下：

    -2.5, -0.5, 0.5, -1.5, 2.5, 1.5, -0.5, 0.5, 1.5, -1.5

然后，计算每一个数值的平方（结果全部为正数），结果如下：

    6.25, 0.25, 0.25, 2.25, 6.25, 2.25, 0.25, 0.25, 2.25, 2.25

最后，计算这些平方的平均值，即2.25（22.5 / 10），这个值称为总体方差。计算每个骰子的点数与平均值之差的平方是为了强调异常值，即距离均值最远的值。随着我们对数据分析的深入了解，有时我们会特别注意异常值，而有时我们又会忽略它们。以下代码使用statistics模块的pvariance函数来检验手工计算的结果：

标准偏差

标准偏差是方差的平方根（在这个例子中为1.5），它降低了异常值的影响。方差和标准偏差越小，数据值越接近均值，值和均值之间的总体偏差就越小。下面的代码使用statistics模块的pstdev函数计算总体标准偏差，检查手动计算的结果：

将pvariance函数的结果传递给math模块的sqrt函数来验证输出结果1.5：

标准偏差相对于方差的优点

假设已经记录了我们所在地区3月份的华氏温度，可能包含31个数字，例如19、32、28和35等，这些数字的单位是“度”。当对温度求平方以计算总体方差时，总体方差的单位变为“平方度”。而采用总体方差的平方根来计算总体标准偏差时，单位再次变为“度”，这与温度的单位相同。

---

[1] 为了简单起见，我们计算的是总体方差。总体方差和样本方差之间存在着微小的差异。样本方差除以n–1，而不是除以n（示例中的投掷次数）。对于小样本，这种差异非常明显，但随着样本量的增加而变得越来越微不足道。statistics模块提供了分别计算总体方差和样本方差的函数pvariance和variance。同样，statistics模块也提供了pstdev和stdev函数，用于分别计算相对标准偏差和样本标准偏差。