第二章 波斯棋盘

世界上没有一个比数学还要更简单、更普遍、少错误，及更明确的语言，能用来描述自然界中万物间的永恒关系。数学似乎是一种人类头脑后天的机能，注定了来弥补人类生命的短促，以及人类感官上的天生缺陷。

约瑟夫·傅里叶(Jean Fourier)[12]

《热学解析理论，初步论述》

(Analytic Theory of Heat， Preliminary Discourse，1822年)

1.85×1019粒麦粒

我第一次听到下面这个故事时，别人告诉我它发生在古代的波斯。可是，这故事也有可能发生在古代印度或者古代中国。不管怎么说，都是很久以前发生过的事了。话说这国家的大维齐尔(Grand Vizier，国王的助手，相当于中国古代的宰相)发明了一种新游戏。玩家按照游戏规则，在一个画了64个红黑交错的方格平盘上，移动各式小块物体。最重要的小块物体代表国王，次重要的代表大维齐尔——这很符合大维齐尔会发明的游戏。游戏的目的是把敌方的国王逮住，因此它的波斯名字是shahmat——shah是波斯国王的称号，mat在波斯文中的意思是死亡。shahmat的意思就是“国王之死”，或简称为“王死”。在俄文中，游戏名还保留了“国王之死”的波斯文原意，叫作“shakhmat”。即使在英文中，这游戏仍然带有一些原名的余响——下棋最后胜利的一步，即把敌方国王逮住的那一步，叫作“将死”(checkmate)。你们一定猜出了，这个游戏就是西方的国际象棋(chess)。时光流转，棋子、棋步，及游戏规则也与时俱进；例如，现代围棋中已没有“大维齐尔”这枚棋子——大维齐尔变形成“王后”，同时权力大增。

真是想不通，为什么一位国王会对“国王之死”的游戏大感兴趣。可是，照这故事的说法，国王显然龙心大悦，他对大维齐尔说：“你自己说，你要什么奖赏。你说什么，我就给什么。”大维齐尔已经胸有成竹，他告诉国王说，他是谦虚知足的人，只要一个很朴实的奖赏。他指了指他发明的有8排横的8排纵的方格棋盘，说他只要一些麦粒，规则是在第1个方格上放1粒麦子，第2个方格上放2粒麦子，第3个方格上放4粒麦子，以后每经过一个方格，麦粒的数目就加倍，直到所有的方格上都堆满了麦子。国王用责骂的口吻向这位大维齐尔说，不行，对这样重要的发明来说，这种奖赏太少了。他要给大维齐尔珠宝、舞伎、华宫。可是大维齐尔低下头，婉拒了这些奖赏。他只想要一小堆的麦子。国王心中不禁称赞起这位大维齐尔，说他的首席顾问是如此谦逊以及克制物欲，于是他立即同意了大维齐尔这个很“谦卑”的要求。

可是，当皇家麦仓长来数麦粒时，国王遭遇了出乎意料的难堪窘境。麦粒的数目开始时很小：1， 2， 4， 8， 16， 32， 64， 128， 256，512， 1024。可是，快到第64个方格时，麦粒的数目大得惊人。事实上，第64个方格上麦粒的数目是1.85×1019粒。也许是因为这位大维齐尔太爱这种高纤维食物，所以才会要这么多的麦粒。

1.85×1019粒麦粒有多重？如果每颗麦粒的大小是1毫米，那么所有麦粒的总重量是750亿吨，远超这位国王的麦仓可以储存的麦粒总量。事实上，750亿吨的麦粒相当于全球在150年内的小麦现产量总和。我们始终不知道这故事的结局如何。是这位国王感到自惭，无法履行他的允诺，而把王位禅让给这位大维齐尔呢，还是这位大维齐尔参加了一种新游戏——“大维齐尔之死”呢？这我们就不得而知了。

大维齐尔的奖赏

现金价值指数增长(减少)

这个波斯棋盘的故事也许只是一个传说。不过古波斯人和古印度人确实都是数学界极为出色的先驱，他们知道当你把数字不断加倍之后，会得出惊人的数字。如果发明棋盘的人不用8×8的棋盘，而把棋盘加大到10×10的话，照每个棋盘加倍麦粒的算法，第100个棋格上的麦粒总重将和地球一样。如果有一数字序列(sequence)，每位数字是前一位数字的固定倍数，这个数字序列就叫作几何级数。数字按几何级数增值的过程就叫作指数增长(exponential increase)。

不管我们熟不熟悉它，指数经常出现在我们重要的日常生活领域中。复利就是一个绝佳的例子。假设在200年前，或美国独立战争后不久，你的一位祖先在银行中替你存了10美元，以年息5％计息。以复利计算，累计至今，本息已达10×(1.05)200或172 925.81美元。可是，很少有如此深谋远虑的祖先会挂念这些后代子孙的福利，何况在当年，10美元也是一笔不小的数目。如果当年那位祖先有办法拿到6％的年息，你现在就有百万财产。如果是7％，你就有750万以上的财富。如果年息是近乎高利贷的10％，现在你已跻身亿万富豪之列，坐拥19亿美元了。

这看来很好。不过通货膨胀也会导致同样的后果。如果每年的通货膨胀率是5％，今年的1美元到明年只值0.95美元，2年后，只值0.91(0.952)元，10年后只值0.61美元，而在20年后只值0.37美元，以此类推。这样的贬值，对那些不按通货膨胀率调整，只领取固定退休年金的退休者而言，的确是个残酷的现实问题。

如何计算发明棋盘的大维齐尔向国王要求的麦粒总数

不要怕!这项计算真的很简单。我们现在要计算波斯棋盘上所放麦粒的总数。一个简洁优雅的计算方法如下：指数告诉我们要把一个数字乘自己几次，22=2×2=4，24=2×2×2×2=16， 210=1024，等等。第1格上的麦粒是1，第2格是2，第3格是22，第4格是23，第64格是263，如果用S代表棋盘上的所有麦粒的总数，那么：

S=1+2+22+23+……+262+263

我们把上式乘以2，得到：

2S=2+22+23+……+262+263+264

注意，2S比S多一个264，少一个1。如果用2S的方程减掉S的方程，所有其他项都消掉了，只剩下两项，就是我们的答案：

2S-S=S=264-1

这就是正确答案。

如果用我们熟悉的十进制来表达264，是多少呢？当然，可以用计算机来算，不过还有一个更简单的方法。注意，210=1024，因此210约为1000=103(准确度，24%)， 220=2(10×2)=(210)2≈(103)2=106，约为100万。因此260=(210)6≈(103)6=1018，所以264=24×260≈16×1018，或16后面跟了18个0。用计算机算出的正确答案是1.85×1019。

天然障碍阻止指数增长

最常见的指数增长现象是生物界的生殖过程。我们现在来看一下简单的细菌生殖问题。细菌的生殖方法是二分裂。过了某个时间，1个单细胞细菌就会一分为二，成为2个第二代细胞。再过一段时间，这两个第二代细胞又会各自一分为二，产生4个细胞。只要有充分的食物，且环境中无毒素，这一细胞群的数目将以指数方式增殖。若环境适宜，细菌可能每15分钟就繁殖1次，1小时内就繁殖4次，一天繁殖96次。虽然每个单细胞细菌的重量只有一万亿分之一克，经过一天的无限制无性生殖后，细胞群的全部重量相当于一座山；一天半后，其总重将为半个地球；两天后，其总重将超过太阳，要不了多少时间，全宇宙中都将弥漫这种细菌。这后果当然是不堪设想的。很幸运的是，这个假想的后果永不会发生。为什么？因为像这样的指数增长总会遇到一些天然的障碍。这些小生物不久就没食物可吃了；或者它们消化食物后排泄出的废料成为毒死自己的毒素；或因为空间太拥挤了，没有隐私，它们开始对生殖感到害羞；等等。指数增长不可能无穷无尽地进行下去，因为不久就会粍尽所有资源。而早在把资源耗尽之前，可能已经遇到一些阻碍指数增长的因素了。因此，指数增长的曲线将趋于平缓(见图示)。

细菌增殖数变化曲线

这种阻止指数增长的特性对于预防艾滋病的流行蔓延十分重要。现在，许多国家的艾滋病感染人数以指数方式激增。目前，每年感染艾滋病的人数加倍成长。如果长此以往，后果将不堪设想。10年内，感染人数将为目前的1000倍；20年后，是100万倍。可是，如果真达到100万倍的话，艾滋病感染人口将超过现在全球人口的总数。如果每年的艾滋病人数持续倍增，且没有任何天然的障碍，也没有治愈艾滋病的新药研发出来(目前真的没有)，那么按此推测，全球人口都将在短期内死于艾滋病。

可是，有些人对艾滋病天生就有免疫能力。而且，按照美国公共卫生署传染病中心(Communicable Disease Center of the U. S. Public Health Service)的调查及研究，美国感染艾滋病的人数每年确实在加倍增长，而且初期罹患艾滋病的病人，几乎只限于某些易受感染的高危险族群，例如男同性恋者、血友病患者(hemophiliacs)，或使用注射式毒品的瘾君子。如果艾滋病真的无药可医，则那些交换针头、使用注射式毒品的瘾君子大部分都会死亡——不是全部，因为有极少数的人，天生就对艾滋病免疫，可是其他患者几乎都将难逃一死。同样，那些经常交换性伴侣，而又不采取安全性措施的男同性恋者，都将死于艾滋病。例外的是能安全地使用保险套，或长期保持单一同性伴侣的男同性恋者，以及一些天生对艾滋病免疫者。自20世纪80年代初以来(艾滋病自20世纪80年代才开始出现)，始终维持长期单一夫妻关系者，或那些具有高度警戒性，且采行安全性措施者，以及不和其他人交换针头的毒品使用者——有许多这种人——基本上都是和艾滋病病源绝缘的。

在人口统计学上，一旦这几类高危险族群的总感染人数的增值曲线趋于平缓(即感染人数不再以指数方式增值后)，其他族群的人——在目前的美国，似乎是年轻的异性恋者(heterosexuals)——就会取而代之。他们对性爱的狂热几乎淹没了他们的理智，常放弃安全的性措施来取乐。他们未来多会死于艾滋病，可是总有些幸运的免疫者或有节制的人可免于一死。等到这一波感染过去后，下一波高危险群体又会出现——也许是下一代的男同性恋者。最后，当大多数高危险族群成员都相继死于艾滋病后，这些以指数曲线激增的总感染人数的曲线将变得平坦，不再以指数增加。因此，死于艾滋病的人数将会远少于全球总人口数(对死于艾滋病及深爱这些死者的人来说，这种安全保证并不会减轻他们心中的悲恸)。

全球人口指数增长

指数式的增值也是世界人口增加危机的核心问题。自人类出现在地球上以来，世界人口总数一直相当稳定，每年出生人口与死亡人口的数目几乎相同。我们称此情形为“稳定态”(steady state)。在人类发明农业后——包括种植和收获小麦，就是那位古代波斯大维齐尔渴望要的那种谷类——地球的人口开始增加，并进入指数增值时代，远离稳定态。目前，人口倍增的时间大约是40年，即每隔40年，人类的数目就要增加1倍。就如1798年，一位英国牧师托马斯·马尔萨斯(Thomas Malthu)所言，人口以指数增值时——马尔萨斯称之为几何级数增值——其粮食需求会超出所有能想象到的粮食增产供应量。没有任何的绿色革命[13]、水植法[14]、化沙漠为良田的方法，能够满足以指数增值的人口需求。

也没有地球外的解决方法(extraterrestrial solution)，即把地球人送到外星去[15]。现在，每天出生的婴儿数比同日的死亡人数多出24万。我们目前的科技水平距离每天传送24万人到地球以外的太空还很远呢!载送人类移民至绕地球轨道上的太空站，或移居月球，或其他星球，对解决地球人口增加的问题帮助十分有限。即使我们发明了能以超光速移民银河系的科技，也无济于事。若维持目前的人口增长率不变，1000年内，所有银河系中可居住的行星将人满为患，除非我们能够控制世界人口的增长。因此，千万不要低估指数增长的能力。

世界人口增长曲线

上图显示的是随时间变动的世界人口增长曲线。很明显，我们正处在一个以指数增长的疾速上升阶段。许多国家——例如美国、俄罗斯、中国——已经到达，或许不久就会到达人口增长停止的状态，这表示离稳定态已不远了。这种状态叫作零人口增长态(zero population growth，ZPG)。但是由于指数增长的威力实在太大了，只要世界人口中有少数的社区或国家人口继续以指数增加，世界人口问题依然不会改变——即使许多国家已经处于零人口增长的稳定态。

协力推进人口转变

许多论述周详的文献指出，在世界各处，高生殖率和贫困之间具有相关性。不论大国或小国、资本主义或社会主义国家、天主教或伊斯兰教国家、西方国家或东方国家——几乎在所有国家，一旦贫困消失，人口就不再以指数增长或者会增长减缓。我们称此现象为“人口转变”(demographic transition)[16]。从人类长期利益角度来看，这种人口转变一定会在世界上任何一个角落实现。这就是为什么所有的大国都应当帮助其他国家达到经济自足：这么做不仅基于人道主义，而且对富有国家来说，这样的援助既利人也利己。世界人口危机的核心问题之一就是贫困。

可是有些国家不符上述的人口转变，这些例外现象十分有趣。有些国家虽有较高的平均个人所得，可是出生率仍然居高不下。在这些国家，人们不知道如何避孕，也几乎找不到避孕的用具。也许这和这些国家的妇女缺乏政治力量有关。我们不难理解二者间的关联。

目前世界的人口已经有60亿了。40年后，如果这种人口加倍增长的速度不变，全球人口就会增加到120亿；80年后，240亿；120年后，480亿。没有几个人认为我们的地球资源可以维持这么多人的生计。从经济面来看，鉴于指数增长的威力，现在处理全球的贫困问题要比数十年后再用任何妙计来解决指数增长问题少花许多钱。我们的任务就是使世界各地都能实现这种人口转变，让目前以指数方式上升的总人口曲线变得平缓——消除难挨的贫困，使可靠、安全的避孕方法和用具传播到世界上每一个角落，同时，赋予妇女真正的政治力量(在行政、立法、执法、军事各方面，以及能影响大众意见的机构方面)。如果我们在这方面失败了，其他的自然过程就会替我们解决世界的人口问题，届时我们一点控制力量都没有了。

核裂变

核裂变的原理是在1933年9月，由一位来自匈牙利的移民物理学家利奥·西拉德(Leo Szilard)在伦敦想出的。当时他在想，人类如何能应用那些隐藏在原子核中的巨大能量。他问自己：如果把中子打进原子核，会有什么后果？[17]当他站在伦敦的南安普敦大道(Southhampton Row)上等待交通信号灯从红转绿时，灵光乍现，他想，自然界中必定有一种物质，一种化学元素，如果把一个中子打进该物质的原子核，该原子核会释放出两个中子，而每个放出的中子，又可以引导其他原子核放出两个中子。于是，西拉德的脑海中立刻浮现出链式核反应的景象：以指数增长的中子不断地把这些原子核左一个右一个地摧毁。当夜，在他下榻的斯特兰德宫酒店(Strand Palace)的一间小房间中，西拉德做了一个简单的计算。计算的结果是，如果中子产生的链式核反应控制得宜，仅数磅重的物质所释放出的能量便足以供一座小城用上一年之久……反之，控制不当，就会发生足以把一座城市完全摧毁的爆炸。

西拉德最后辗转到了美国，他开始系统地在所有的化学元素中寻觅吸收中子后可以释放出更多中子的元素。他发现铀元素似乎很有希望。西拉德说服大科学家爱因斯坦写了一封现在极具历史价值的信函给当时的美国总统罗斯福，力劝美国开始制造原子弹(又称核弹)。[18]第一个核反应堆于1942年在美国芝加哥调试的时候，西拉德扮演了重要的角色。这个核反应堆的成功促成了后来原子弹制造的成功。可是，西拉德的余生致力于向世界提出警告，这个他首先想出的、威力强大的武器是危险的。因此从某方面来说，他也发现了指数增长的可怕威力。

人人都是亲戚

每个人都有双亲，4位祖父母，8位曾祖父母，16位曾曾祖父母等。每向前追溯一代，直系祖先就增加1倍。你可以看出，这种追溯的形式很像我们在本章开头提到的波斯棋盘故事。如果一代以25年计算，那么，在64代以前，或64×25 = 1600年前，或者在罗马帝国刚衰败之前，即公元400年左右的时候，每个人的直系祖先数目高达1.85×1019，这还没算和祖先们同辈的亲戚呢!从数学上看来是如此巨大，可是，这数目远远超出全世界现有的人口数，甚至比有史以来的总人口数都还要多。因此，我们的计算方法一定有误。错在哪里？错误在于，我们假设我们的直系祖先都是不同的人。可是事实上，这个假设是不对的。同一位祖先可以通过许多不同的途径和我们存在血统上的关联。我们不断地通过不同的途径重复计算与我们有血缘关系的亲戚——祖代越远，重复得越多。

对全人类来说，我们也可以计算这种血缘关系。如果我们追溯的祖先代够远，世界上任何两个人都可能在某时有共同的祖先。每当选出一位新的美国总统时，一定会有某人——通常在英国——发现，这位新总统和某时代的王后或国王有血缘关系。这种关联往往用来加强英语系人民之间的团结。如果两个人是来自同一国家，或者同一文化，或同一个世界上的小角落，而他们又有记录详细的家谱的话，很可能就会发现他们有共同的祖先。不过无论有没有记录，可以确定的是，血缘关系一定存在。因此我们可以说，在全人类之间，即世界上的任何两个人之间都有表亲关系。

半衰期

另一个经常听到的与指数有关的概念就是“半衰期”(half-life)，放射性元素——例如镨(plutonium)或镭(radium)——会衰变成一种比较稳定的“子”元素。这种衰变不是一次完成的，而是按统计方式进行的。经过一段时间后，一半的原子核衰变了，而另一半则没有。这个时间就叫作半衰期。再过一个半衰期的时间，剩下的原子核中又有一半衰变了，剩下来的一半则没有，以此类推。具体来说：如果半衰期是1年，那么在第1年一半的原子核会衰变，在第2年剩下来的原子核的一半会衰变，未衰变的原子核只有四分之一了，再过1年，未衰变的原子核只有八分之一，10年后，原来的未衰变的原子核则只剩下原有的千分之一，以此类推。不同的化学元素有不同的半衰期。在处理核反应堆的辐射性很高的废料时，或者在计算核战争所产生的原子核尘埃时，半衰期的概念是极为重要的。它代表的是指数衰减——指数衰减和以波斯棋盘为例的指数增长类同，一个以指数增长，一个以指数减少。

测定放射性元素的衰变是考古学中鉴定古代时间的主要方法。如果我们可以测量出一个样品中源放射性化学元素，及其“子”元素的成分，就可以确定样品的存在时间。用这一方法，我们发现被天主教视为耶稣圣物的都灵裹尸布(Shroud of Turin)[19]，实际上是在14世纪制作的伪品(事实上，当时的天主教会就力斥此裹尸布为伪品)；在数百万年前，人类的祖先就会用火；最古老的生物化石年龄超过35亿年；地球的年龄是46亿年；宇宙的年龄又要比地球大上数十亿年。如果你了解指数的奥妙，你就掌握了了解许多宇宙奥秘的关键。

如果你对一件事不求甚解，那你就只知其大概而不知其详。如果你开始对此事物有定量的了解——有些数值上的认知，而不是自千万种的可能中胡乱猜测——你就开始对它有深入的了解了。你开始了解这事物的美妙，你开始知道它的威力，理解它的规则。对数字怀有恐惧，就等于剥夺了你自己的权利：放弃了理解以及改造世界的最强而有力的工具。