第二节 终值与现值

一、单利终值与现值

在单利（Simple Interest）方式下，本金能带来利息，利息必须在提出以后再以本金形式投入才能生利，否则不能生利。单利的终值FV（Future Value）就是本利和。终值的计算公式为

式中，FV_n为终值；PV为现值；r为利息率；n为计息期数。

例如，100元存入银行，利息率为10%，按单利计算5年后的终值为：FV₅=PV×（1+5r）=100×（1+5×10%）=150（元）。

投资越早，时间越长，回报越多。1626年，印第安人仅以24美元就将曼哈顿岛卖了。如果当时他将这笔钱用于投资，以每年7.2%的收益率成长，到2005年这笔钱将变成6.67万亿美元，买回曼哈顿绰绰有余。时间对于投资结果的改变是惊人的。

——汇丰晋信（基金管理公司）十大投资金律之四

现值PV（Present Value）就是以后年份收到或付出资金的现在价值，可用倒求本金的方法计算。由终值求现值，叫作贴现（Discount）。单利现值的一般计算公式为

例如，某项投资4年后可获得收益40000元。按年利率6%计算，其单利现值应为：PV=FV₄×1/（1+4r）=40000×1/（1+4×6%）=32258（元）。

二、复利终值与现值

1.复利终值

在复利（Compound Interest）方式下，本能生利，利息在下期则列为本金与原来的本金一起计息，也称为“利滚利”。举例说，某人年初在银行存入本金100元，年利率为10%，每年计息一次，则到第一年年底的利息收入为10元，本利之和（第一年底的终值）为110元。若将此笔利息收入并入本金，则第二年的利息收入变为11元，本利和（终值）为121元。这就是复利。复利的终值也是本利之和。终值的计算公式为

式中，（1+r）ⁿ称为复利终值系数（Future Value Interest Factor），简记为FVIF_r，n这样复利终值的计算公式可写成

在实际工作中，为了简化和加速计算表，可编制复利终值系数表，该表见本书附录A。

例如，将1000元存入银行，年利率为10%，10年后的终值按复利计算为：FV₁₀=PV×（1+r）¹⁰=1000×FVIF_10%，10=1000×2.5937=2593.7（元）。

2.复利现值

复利现值是以后年份收到或付出资金的现在价值。可用倒求本金的方法计算，计算时所用的利率叫贴现率。

由FV_n=PV×（1+r）ⁿ得

式中，称为现值系数或贴现系数（Present Value Interest Factor），记为PVIF_r，n。复利现值的计算公式可改写为

显然，。在实际工作中，为了简化计算，也可以编制现值系数表，该表见本书附录B。

例如，你计划在5年以后得到1000元，年利率为8%，现在应存金额可计算如下：。

3.连续复利

到目前为止，我们都假定现金流动按年结清（或贴现），讨论的是年度利息率。这在通常情况下是适当的。但如果按复利支付利息，一年不止一次，比如说半年支付一次，一年支付两次。更一般地，如果r代表年利率，一年中计复利m次，则对于单位货币投资，年实际利率r_c可以通过下列方程计算

例如，对于年利率8.5%，若按半年计算一次复利为：。

按季度记一次复利为：。

随着复利计算期限的不断缩短，计算复利的次数m不断增加，实际利率r_c也会不断增加。当m无限增多时，的极限值不断趋近于e^r，e为自然对数的底。在本例中，e^0.085=1.0887，说明实际年利率为8.87%。e^r代表单位货币投资，1年后按连续复利计息的增值，t年以后的增值为e^rt。

按连续复利率计算，终值公式为

现值公式为

式中，现值系数为。