译者序
ORIGINAL PREFACE

数学是一个高贵的世界，即使身为世俗的君主在这里也毫无特权。与在时间中速朽的物质相比，数学所揭示的世界才是永恒的。

古希腊数学直接脱胎于哲学，它使用各种可能的描述，解析我们的宇宙，使它不至混沌、分离；它建立起物质与精神世界的确定体系，致使渺小如人类也能从中获得些许自信。

被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得，他所著的《几何原本》是哲学意义上的几何，它完全有别于起源并应用于世俗计算的中国数学和古埃及数学。

在本书里，欧几里得建立了人类历史上第一座宏伟的演绎推理大厦，利用很少的自明公理、定义，推演出四百余个命题，将人类的理性之美展现到了极致。欧几里得坚信，物质、宇宙、空间和人的精神之中存在着一种超然于一切的形式之美，他设定“点、线、面、角”为一切存在的始基，因为在他的世界里，脱离空间之物是不存在的。万物的根本关系是数量关系，找到这些数量关系，就找到了从现实世界通往神界的道路。

欧几里得在哲学上信任原子论。以德谟克里特为代表的原子论学派认为，线段、面积和立体是由许多不可再分的原子所构成，计算面积和体积等于将这些原子集合起来。所以根据欧几里得的个人动机，他的《几何原本》与其说是数学叙述，不如说是他寻找宇宙始基的哲学叙述。汉语“几何”为“多少”的数量关系，与“万物之始基”这一意义相去甚远，明代翻译家徐光启将希腊文的Ευκλειδη译成“几何”，这有点舍本逐末，失掉了原汁，或许，译为“宇宙基本元素的数量关系”更为妥帖。

欧几里得把距离、角度转换成任意数维的坐标系，描绘出一幅有限维、实和内积空间的图景，欧氏空间也被理解为线性流形。

赫拉克利特和亚里士多德开启了逻辑理论以后，欧几里得创造了逻辑演绎的标本。多数哲学家几乎都相信，在逻辑里可以看到神的踪迹，柏拉图就直接把有理性思考的精神当成天国制品。一个有理性思考的人，其思考本身是具有神性的。这种理性是指对事物抽象性质进行判断与推理，也指思想、概念、理论、言辞、规律性。它们被黑格尔称为“绝对精神的掌握”，并以此揭示事物的本质。正因如此，《几何原本》从它诞生时起就被视为人类锻炼和培养逻辑理性的最杰出甚至唯一的教本，它也是这个世界所能找到的最美丽的逻辑剧本。

我还想对《几何原本》作以下描述：

它是一部关于事物秩序之书；空间理性的黑夜之书；一部想建立生活秩序的书；一部描述原子形态的书；一部试图找到宇宙“始基”的书；它是物质世界（甚至精神世界——根据柏拉图《理想国》）的表述方式，是对宇宙的终极解释。

我始终没将它作为数学教本来读，却引为歌剧、诗、哲学、宇宙之舞来欣赏。对优雅事物的欣赏，以抵抗单向度的混乱情景是那么必要；物质世界的协调，文化、精神的和谐是那么必要。希腊数学，是伟大的希腊人向宇宙秩序射出的光芒。希腊数学的精神，不同于美索不达米亚文明的数学，也不同于古埃及和中国数学，它对世俗的计算几乎不感兴趣，而是在寻找宇宙的基本构成和数量关系，也因此开创了通过自明的简单公理进行演绎推理得出结论的方法。也正因为如此，其气质华美高贵是其他民族的数学难以媲美的。希腊数学其实是世上最热情洋溢的诗篇。

我们已无法考察欧几里得的身世，只知道他给这个世界留下过一本书和两句话。第一句在本文开头说了，现在转述他的第二句。当欧几里得面对一位青年的质问“你的几何学有何用处”时，他的回答简洁而确定，他对身边的侍从说：“请给这小伙子三个硬币，因为他想从几何学里得到实际利益。”