3.2 斯密模型中的模式和角点解

例3.1 一个简单的具有内生比较优势的斯密模型。第8章中的例8.10将证明，如果消费者-生产者的个数是有限的，那么在瓦尔拉斯均衡状态下分工不可能发生。在第8章里，我们将考察纳什协议如何消除由瓦尔拉斯机制的整数问题引起的内生交易成本。在这一章里，我们假设消费者-生产者集是一个测度为M的连续统，这意味着经济中的人口规模很大。因此，我们将不会遇到导致具有分工均衡不存在的不同专家数量的整数问题。每个消费者-生产者有下列效用函数：

这里，x和y分别表示商品x和y的自给自足数量，x^d和y^d分别表示两种商品的市场购买量，1-k是交易成本系数，或k是外生的交易效率系数，它代表了影响交易的条件。k的值与基础设施条件、城市化程度、运输条件和一般的体制环境有关。

每个消费者-生产者的生产函数和禀赋约束是

这里，x^p和y^p分别表示两种商品的产量，x^s和y^s分别表示两种商品的售卖量，l_i是个人用于生产商品i的劳动量，因此代表了他生产商品i的专业化水平。这里，我们假设所有个人事前是相同的，他们有相同的生产函数和相同的工作时间禀赋。这意味着不存在外生比较优势。

x^p_i为个人i的商品x的产量，y^p_i为个人i的商品y的产量，l_ij为个人i的生产商品j的专业化水平。如果个人生产某种商品的生产率随着他生产该商品的专业化水平的提高而提高，我们就说个人生产该商品具有专业化经济。由于a＞1，很容易看出每个人生产每种商品都存在专业化经济。考虑两个人的转换曲线，基于式（3.2），我们可解出个人i的转换曲线：

y^p_i=（1-（x^p_i）^1/a）^a x^p_i，y^p_i∈［0，1］

y^p_i关于x^p_i的一阶和二阶导数的符号意味着该转换曲线是向下倾斜和向下凸的，正如图3-1所示。

图3-1 基于内生绝对优势和比较优势的分工经济

这个转换曲线具有递减的边际机会成本和递增的边际转换率。它说明每多生产一个单位的x，必须减少的y越来越少，或同样单位的y能转换成越来越多的x。

现在让我们看看在两个人的经济中对应于不同生产结构的总合转换曲线。由于所有个人事前是相同的，如果他们每个人的每种商品都自给自足，那么他们一定有相同的劳动配置。在这个模型里，自给自足状态下由式（3.2）和l_1x=l_2x，l_1y=l_2y确定的总合转换曲线由图3-1中的ECG曲线表示。如果一个人专业生产y，而另一个人选择任何x和y的组合，那么此时的总合转换曲线由图3-1中的曲线EF表示。相似的，曲线FG代表了一个人专业生产x，而另一个人选择任何x和y的组合时的总合转换曲线。因此，分工的总合转换曲线是曲线EFG。曲线EFG和曲线ECG之间的差距就是分工经济，由图3-1中的阴影部分表示。

图3-1为定义内生绝对优势和比较优势提供了一个基础。在这个模型里，所有人事前都是相同的，所以没有事前的生产率差别或禀赋差别，即不存在外生比较优势。如果两个人都选择自给自足，则他们的生产结构相同，他们之间不会有生产率差别。但是，如果他们选择专于不同的行业（图3-1中的点F），比如，第一个人专于生产x，第二个人专于生产y，那么x^p₁=1，y^p₁=0，x^p₂=0，y^p₂=1。这说明x专家生产x的劳动生产率高于y专家生产x的劳动生产率，y专家生产y的劳动生产率高于x专家生产y的劳动生产率。这种由于选择不同专业方向的决策造成的事后生产率差别，就是内生比较优势。在这个特殊的例子里，内生比较优势也是内生绝对优势。

一方面，一个人生产某种商品的专业化经济与他活动范围的减少正相关；另一方面，如果一个工厂内所有人的专业化水平、不同专家的种类数、不同专业的种类数同时增多，那么这个工厂的生产范围会扩大，其成员的专业化水平会同时提高。由于专业化和专业活动的多样化是分工的两个侧面，一个工厂内所有人的专业化水平提高和不同专业的种类数同时增多能被看成工厂内部的分工水平提高。因此，如果与一个工厂内较高的专业化水平（使得个人的活动范围变小）和较多种类的不同专业（使得工厂的活动范围变大）相关联的较高分工水平导致了较高的生产率，我们就说这里存在分工经济。

个人的预算约束是

这里，p_i是商品i的价格。因此，式（3.3）的左边是收入，右边是花费。由于允许角点解，我们有如下的非负约束：

这一约束把这个非线性规划问题同古典的数学规划区别开来。每个消费者-生产者选择x，x^s，x^d，y，y^s，y^d，l_x，l_y，最大化式（3.1）中的效用函数，同时满足生产条件约束式（3.2），预算约束式（3.3）和非负约束式（3.4）。由于l_x和l_y并不独立于其他变量，所以只有6个变量可以互相独立地在零和正数之间取值。而一个变量取零值时，角点解就出现了。表3-1给出了若干个可能的6个决策变量在零和正值之间取值的组合。所有可能的这类组合的数量是2⁶=64。由于决策变量最优值在不同的组合之间是非连续的，所以并没有一种方法能一步找到最优决策。一般解这类非线性规划的程序是，首先利用库恩-塔克定理和其他最优决策的条件排除一些组合，然后对剩下的每个组合用边际分析求解，然后再比较各组合之间的局部最大目标函数值，找出整体最优解，这就是超边际分析。

表3-1 六个决策变量在零和正值之间的组合

我们先做这三步的第一步，第一步是证明定理3.1。

定理3.1 最优决策从不同时买和卖同种产品，从不同时买和生产同种产品，最多卖一种产品。

此定理被称为文定理，杨小凯最先对一些特殊模型证明了这一定理，文玫（Wen，1996）在其博士论文中用非常一般的函数形式证明了此定理。此后，我们会再三利用文定理。

命题一：不同时买和卖同种产品。

利用预算约束式（3.3）消掉式（3.2a）中的x^s，再利用式（3.2a）消掉式（3.1）中的x，则式（3.1）变为

u={l^a_x-［x^d+p_y（y^d-y^s）/p_x］+kx^d}（y+ky^d）

将此式对x^d求导数，得：

这意味着，当x与x^s大于0时，最优x^d取最小值0，所以x^s和x^d不能同时为正；同理可证明y^s和y^d不能同时为正。命题一得证。

命题二：不买和自给同种产品。

假设x^d＞0，由命题一知，x^s=0，从预算约束可知，若x^s=0，则y^s＞0。再利用命题一，当y^s＞0时，y^d=0。而正效用要求y＞0，利用预算约束和产品y的生产函数，则约束最大化问题可转化为下列无约束最大化问题：

将u对x求二次导数，得：

这意味着x的内点解是极小而不是极大的。因为无约束最大化问题的内点解要求，所以最优x是角点解，x=0或x=l^a_x=1。但x=1与正y值不相容，所以最优x=0。命题二得证。

命题三：最多卖一种产品。

用反证法假设决策者卖两种商品，即x^s＞0，y^s＞0，按照命题一，这意味着x^d=y^d=0，所以预算约束不可能成立。因此，x^s＞0，y^s＞0不可能。

由命题一、命题二、命题三，定理1.1得证，证毕。

定理3.1的直观意义是十分清楚的，如果有交易成本，则自己生产某种产品或卖此种产品时，买这种产品是不合算的，因为产生了不必要的交易成本。而卖两种产品使专业化经济不能充分利用，所以也不会是最优的。

定理3.1加上预算约束及正效用要求，使得必须考虑的零与非零变量组合从64个骤降到3个。如表3-1中的第一个组合代表唯一的内点解，即所有决策变量都为正数。这意味着同时买和卖同种产品，违反了文定理。这意味着在斯密模型里内点解不是最优的，因此求内点解的边际分析法不适用。第二、第三、第四组合也违反文定理中的命题一，而第五、第六组合违反预算约束，因为它只卖不买，且违反正效用约束，y的消费量为零，产生零效用。

符合文定理及预算约束、正效用约束的决策变量在零和非零值之间的组合被称为决策模式，或简称为模式。模式这个概念与职业模式相关，我们能够从职业名称字典中查看职业的数量。在1939年版本的职业名称字典中，它包含了17500个职业名称；在1977年的版本中，有2100个职业名称被加进；在1996年的版本中，又有840个职业名称被加进。当人口按照职业模式分类时，整个社会就形成了一个确定的分工结构。

每个决策模式有一个角点解。我们将用边际分析解出所有角点解。每个角点解在给定决策模式下解出局部最优资源分配。然后，我们再通过总收益-成本分析找出最优决策模式。

找最优模式的过程是选择专业方向和专业化程度的过程，是做与不做某件事的决策；而对每个决策模式进行边际分析是已决定做某些事和不做其他事后，决定资源在要做的各种事之间的分配，是做多做少的决策。随着生活阅历增多，你将看到你的同学和朋友由于他们所选择的职业不同而导致其很不一样的生活方式。选择一个职业以及这个职业的专业化水平（它与一个人所不从事的活动数量有关）实际就是选择一个模式。对一个人未来生活的影响而言，模式的选择常常比在一个给定职业下的工作努力程度选择更重要。为了理解职业模式和分工结构之间的差别，你可以考虑你的大学学习生活。你进入大学后不得不做的第一个选择就是选择一个专业方向，如果选择经济学作为专业方向，那么你就不会去听化学和物理学的课，而是去听微观经济学、宏观经济学以及计量经济学的课，这个决策就是选择一个职业模式。我们称这样的决策为超边际决策，由于局部最优决策在不同的职业模式之间是不连续的，它们会随着你专业方向的改变而不连续地在零和正值之间跳跃。一旦已选择了一个专业，接下来你就要把有限的时间在该专业的不同领域之间分配，这种在给定职业模式下分配资源的决策被称为边际决策，因为标准的边际分析能够被用来分析此种类型的决策。在一所大学里，所有学生关于他们专业的选择构成了在不同专业和领域的学生分工，这就是我们模型里的劳动分工结构。

我们所要考虑的决策模式有三个。自给自足是一个决策模式，用字母A表示，或简称模式A。模式A意味着x＞0，y＞0，l_x＞0，l_y＞0，x^s=x^d=y^s=y^d=0，即所有的买卖量为零，而自给量为正值。模式A下的决策问题是

注意最大化符号下的变量都是决策变量，而不是决策变量的其他字母都代表决策人不能选择的参数。这里已经利用式（3.2）中的生产函数约束和工作时间约束。把这些约束代入效用函数，式（3.5a）就变成了下列无约束的最大化问题：

内点解的一阶条件为

得到最优解l_x=1/2。

用通俗的话来说，边际分析的边际条件意味着在生产x的劳动数量配置和生产y的劳动数量配置之间的有效平衡，即增加l_x所带来的边际直接效用等于由y的减少而引起的效用损失测度的间接边际成本。这种边际分析仅仅适用于某个给定的模式，它不能被用来求解最优模式。

把l_x=1/2代入u=l^a_x（1-l_x）^a，就得到了自给自足状态下所能得到的最大效用值，即u（A）=2^-2a，这里u（A）被称为自给自足状态下的人均实际收入。

一阶条件只告诉你l_x=1/2是内点极值点，如果目标函数不是凹的，而是凸的，那么一阶条件给出的是最小化决策而非最大化决策。对于这里的无约束最大化问题，二阶条件要求当l_x=1/2时，有：

把l_x=1/2代入上式可看出，此不等式得到满足。如果效用曲线不是凹的，而是凸的，那么最大化决策的解是l_x=0或l_x=1，而一阶条件给出的是最小值点而非最大值点。这意味着如果二阶条件不满足，则并没有真正的两难冲突，最优决策是走极端，把所有的资源用来生产x或y。在现实生活中，有很多看似两难冲突的现象，实际上并没有真正的两难冲突，即最优化问题的二阶条件不满足。在这种情形下，中庸之道可能就是非最优而过于保守的方法。即使局部最大值点的二阶条件得到满足，局部最大值点也可能不是整体最大值点。例如，如果一个人选择专业化l_x=0或l_x=1，他可能具有较高的生产率和效用水平。因此，接下来我们考虑两个专业化模式。

第一个专业化模式是（x/y），专业生产x，卖x，买y。它满足x＞0，x^s＞0，y^d＞0，l_x＞0，x^d=y^s=y=l_y=0。把这些约束条件代入式（3.1）～式（3.4），我们可以把这个模式的决策问题写为

利用约束条件消掉l_x及u中的x和y^d，则约束最大化问题可转化为下列无约束最大化问题：

从上式可以看出，这个问题具有与模式A中不同的两难冲突。当x^s增大时，即增加卖给市场的产品量时，自给的消费量就会减少，这会使效用减少。但增加售卖量也会增加收入，因此增加商品y的购买量，使y的消费和效用增加。最优决策就是在这两难冲突中权衡，找到效用最大化的最优折中。边际分析的一阶条件du/dx^s=0，给出了模式（x/y）的如下最优决策：

很容易证明这个最优化问题的二阶条件得到满足，即d²u/d（x^s）²＜0在最优点处成立。

这里，需求量是所买商品价格的减函数，是所卖商品价格的增函数。同时，需求是供给的增函数。需求和供给的这个特征被杨格（Young，1928）称为倒数需求律，它蕴含着需求和供给是分工的两个侧面。如果个人选择自给自足，此时既无市场需求也无市场供给，因为自我需求就是自我供给。如果一个人选择专业生产x，那么他需求商品y而供给商品x。按照杨格的观点，把个人的需求和供给分析同他们选择专业化水平的决策分开是片面的，同一般均衡概念不一致，因而是误导人的。

同求解模式（x/y）的角点解的过程一样，我们可求出模式（y/x）的角点解：

从两个专业模式的角点解可看出，生产某种商品的专家的效用是这种商品价格的增函数，是他所购买的商品价格的减函数，这被称为专业化律。

个人的需求和供给函数最终由他对最优角点解的决策所确定。由于所有决策变量的最优值在各个模式之间是不连续的，个人必须比较所有局部最大效用值才能决定最优角点解。表3-2总结了三个角点解的信息。

表3-2 三个角点解

基于这个信息，个人将比较不同模式之间的效用水平。如果

u_x≥u_A和u_x≥u_y

或

kp_x/p_y≥2^2（1-a）和p_x/p_y≥1

他将选择模式（x/y），即专业生产x。如果

u_y≥u_A和u_y≥u_x

或

kp_y/p_x≥2^2（1-a）和p_y/p_x≥1

他将选择模式（y/x），即专业生产y。如果

那么上面两个条件同时成立。

由于分工只有在两个专业都有人选择时才可能实现，所以专业化的网络效应只有在式（3.6）成立的条件下，个人才会选择专业化。当相对价格满足这个条件时，个人选择这两个专业模式是无差异的，因为他们所得到的效用相等。在均衡时，由于个人事前是相同的，不同专业的效用必须相等。如果

u_x＜u_A和u_y＜u_A

或

个人将选择模式A，即自给自足。

而仅当

k＜k₀≡2^2（1-a）

条件（3.7）才成立。换句话说，如果k＜k₀≡2^2（1-a），不存在确保两个专业都有人选择的相对价格。因此，最优角点解是自给自足，此时不存在市场。如果交易效率系数k大于临界值k₀，并且p_y/p_x=1，那么最优角点解是专业生产x或y，此时市场由于专业化而出现。这个结果蕴含古典主流经济学的核心是关于在什么条件下市场会由于分工而出现，市场是怎样利用分工的网络效应来协调个人的专业化决策的。随着古典主流经济学的核心被形式化，我们不再认为主流经济学不适用于市场不完善的发展中国家。主流经济学的主要目的就是解释为什么在一定的条件下市场不存在，以及在其他条件下市场是怎样随着分工的发展而出现。

条件（3.6）和条件（3.7）意味着，如果p_x/p_y=1和k＞k₀，人们将选择专业化，如果k＜k₀，人们将选择自给自足。这里我们忽略了人们之间事前交易条件和生产条件的差别，这些差别导致实际收入不平等。在第5章我们将考虑这一点。然而，效用相等条件比粗看起来要现实些。以一个商人和他的秘书为例，他们之间的名义收入很不一样。每个人都知道商人（如果成功的话）能够赚很多钱，所以都想进入商学院，竞争程度比进入秘书训练学校要强得多，激烈的竞争产生负效用。同时，商学院是极少提供奖学金的，这样会给商人造成较大的经济负担。更重要的是，商人要承担破产的风险，这甚至可能引起自杀（这意味着负无穷大的实际收入）。如果你把所有看得见和看不见的利益和成本都计算在内，商人和他的秘书之间的实际收入差别比表面看起来要小得多。

如果每个行业允许自由进入，效用相等条件将成立。把p_x/p_y=1代入u_x或u_y可得：

这里，u_D是存在分工时的人均实际收入，它依赖于交易效率参数k但不依赖于相对价格。因此，如果k＜k₀，个人的需求和供给函数由模式A的角点解给出，如果k＞k₀，那么它们由模式（x/y）或（y/x）给出。

当k从小于k₀变到大于k₀时，需求和供给会由于分工水平的上升而非连续地从零跳跃到一个大于零的价格函数。这种特点被称为斯密需求律，它与新古典的需求律是有区别的。这种最优决策如何随着参数的变化在不同模式之间不连续变动的分析被称为决策问题的超边际比较静态分析，它与决策问题的边际比较静态分析是有区别的，因为需求和供给的超边际比较静态分析是基于角点解之间的总收益-成本分析。

对于一个给定的模式，边际分析产生了决策问题的边际比较静态分析。例如，对于模式（y/x），我们有

dx^d/d（p_x/p_y）=-0.5（p_x/p_y）^-2＜0

这意味着当相对价格上升时，每个专家的需求会下降，这种特点被称为新古典需求律。这种最优决策如何随着参数的变化在一个给定的模式下连续变化的分析被称为决策问题的边际比较静态分析。决策问题的边际比较静态分析考虑的是在一个给定专业化模式下有效的资源配置是如何随着参数变化而变化的，参数的变化范围是界定该模式的参数子空间。决策问题的超边际比较静态分析考虑的是当参数在界定不同模式的子空间之间变化时，有效的专业化模式是如何变化的。

总之，边际比较静态分析与边际分析、资源分配和在给定专业化模式及给定总需求条件下的需求与供给有关。而超边际比较静态分析与专业化水平的超边际分析有关，这种超边际分析确定了市场容量、分工网络的规模和总需求（下文中我们将给出它的定义）。资源配置问题与在一个给定分工网络规模和相对生产率条件下生产和消费的商品的相对数量和相对价格的边际分析紧密相关。经济发展问题考虑的是均衡的生产率或它的倒数（稀缺程度）是如何通过个人选择其专业化模式的决策和这些决策在市场上的相互作用来确定的。因此，经济发展问题与超边际比较静态分析有关。

新古典经济学把需求和供给分析同个人选择其专业化模式和水平的分析分开。正如前面所讨论的，当马歇尔建立基于边际分析与纯消费者和生产者两分的数学框架来形式化古典经济思想时，人们还不知道处理角点解的数学工具，而角点解对内生个人的专业化水平是必需的。不幸的是，尽管人们已掌握处理角点解的数学工具，但新古典框架对建立数学模型不再是必需的，许多经济学家仍然坚持保留新古典两分和边际分析。这一章的分析表明我们能放弃新古典两分而应用超边际分析来研究个人选择其专业化模式和水平的决策。需求和供给是分工的两个侧面这种古典精神能够在斯密的一般均衡模型的躯体中复活。