2.4　积分方案

扩展有限元中的单元类型可以划分为不含裂纹的单元、裂纹贯穿单元和裂尖单元。不含裂纹的单元的积分是连续函数的积分，积分方案和常规有限元法一样。对于裂纹贯穿单元和裂尖单元的积分是不连续函数的积分，需要采用特殊的积分方案。本文采用子区域积分法[134]，即将这些含裂纹单元划分为若干个子单元（平面问题划分为三角形子单元，空间问题划分为四面体子单元），每个子单元内部被积函数都是连续的，单元积分转化为这些子单元上的积分。

本文对裂纹贯穿单元和裂尖单元的子单元划分方法如下：对裂纹贯穿单元，以单元4个结点和裂纹与单元边界相交点形成Delaunay三角形，将单元划分为4个三角形子单元，如图2.7（a）所示。对裂尖单元，以单元的4个结点，裂尖和裂纹延长线与单元边界的相交点形成Delaunay三角形，将单元划为6个三角形子单元，如图2.7（b）所示。

图2.7　积分子单元的形成

为了保证计算精度，本文采用以下的积分方案计算劲度矩阵：

（1）不含加强结点的单元，采用2×2个高斯积分点，如图2.8（a）所示。

（2）不含裂纹但含有广义的Heaviside函数加强结点的单元，采用2×2个高斯积分点，如图2.8（a）所示。

（3）不含裂纹但含裂尖函数加强结点的单元，采用4×4个高斯积分点，如图2.8（b）所示。

（4）裂纹贯穿单元，每个子单元采用3个高斯积分点，如图2.8（c）所示。

（5）裂尖单元，每个子单元采用13个高斯积分点，如图2.8（d）所示。

图2.8　积分方案