2.3 动态计算的基本公式
由于资金具有时间价值，所有不同时点发生的现金流量就不能直接相加或相减，需将不同时间的资金值，转换为同一时间的等效资金值，才能进行经济计算。转换公式通常采用复利法计算。
以下将计算中采用的几个基本符号予以说明：
P——资金现值，一般指年初或折算到年初的本金（present value）；
F——资金终值，指本金折算到第n年末的本利和（final value）；
A——等额年金，指从第1年至第n年每年末发生的等额资金流入或等额资金流出系列（annuity）；
G——等差系列的级差值（grade）；
i——银行利率、计算利率或折现率（interest）；
n——计息期数或计算期数，通常以年为单位（number）；
j——等比系列的增长百分比。
按照现金流量序列的特点，我们可以将资金等值计算的公式分为一次收付公式、等额分付公式和等差系列公式等三种类型。
2.3.1 一次收付公式
一次收付公式为整收或整付公式，是指现金流量无论支出还是收入，均在某一时刻仅发生一次，是一次性的活动，典型的现金流量见图2.2。按已知条件不同，可分为一次收付终值公式和一次收付现值公式两种情况。
1.一次收付终值公式
已知现值P，求n年后的终值F。
图2.2 一次收付类型的典型现金流量图
设年利率为i，则各年末的本利和如下：
第1年年末利息为Pi，即本利和为F=P（1+i）；
第2年年末的本利和为F=P（1+i）2；
第3年年末的本利和为F=P（1+i）3；
以此类推，可求出第n年年末的本利和为
F=P(1+i)n
式中 （1+i）n——一次收付终值系数或称终值系数，记为（F/P，i，n）。
因此，一次收付终值公式为
F=P(F/P,i,n)
【例2.3】 某水利工程公司需购买勘测设备，向银行贷款20万元，贷款年利率10%，5年后一次结算归还，5年后应偿还金额（本利和）为多少？
解：根据已知条件，采用一次收付终值公式，P=20万元，i=10%，n=5年，则
F=P（1+i）n=20×（1+10%）5=32.21（万元）
即5年后应偿还32.21万元。
目前在经济评价计算时，广大设计人员通常采用Excel电子表格进行计算，在Excel中可采用内部函数进行计算。一次收付终值计算可采用的函数为Fv，语法表示为Fv（Rate，NPer，Pmt，［Pv］，［Type］），其中Fv函数语法具有下列参数：
Rate——各期利率；
NPer——总期数（计算时段为年、月等，与利率计算周期相同）；
Pmt——各期所应支付的金额，其数值在整个年金期间保持不变，在一次收付终值计算中该值为0；
Pv——现值，或一系列未来付款的当前值的累积和；
Type——可选数字0或1，用以指定各期的付款时间是在期初还是期末，其中0为期初、1为期末，如果省略type则假设其值为0。
按例题中的数据，在Excel中输入 “=Fv（10%，5，0，20，）”，可得到计算结果为（32.21）。
2.一次收付现值公式 （贴现公式）
已知n年后的终值为F，折现率为i，求现值P的计算公式为
P=F/(1+i)n
一次收付现值公式是一次收付终值公式的逆运算。
式中 1/（1+i）n——一次收付现值系数，记为 （P/F，i，n）。
因此，一次收付终值公式为
P=F(P/F,i,n)
【例2.4】 若5年后某项目可获利10000元，折现率为12%，则与其等值的现值为多少？
解：P=F/（1+i）n=10000/（1+12%）5元=5674（元）
即现在的5674元与5年后的10000元等值。
采用Excel内部函数计算时，一次收付现值计算可采用的函数为Pv，语法表示为Pv （Rate，NPer，Pmt，[Fv]，[Type]），式中Pv函数语法具有下列参数：
Rate——各期利率或折现率；
NPer——总期数 （计算时段为年、月等，与利率计算周期相同）；
Pmt——各期所应支付的金额，其数值在整个年金期间保持不变，在一次收付终值计算中该值为0；
Fv——终值，或一系列未来付款的当前值的累积和；
Type——可选数字0或1，用以指定各期的付款时间是在期初还是期末，0为期初、1为期末，如果省略type则假设其值为0。
按例题中的数据，在Excel中输入“=Pv（12%，5，0，10000，）”，可得到计算结果为（5674）。
2.3.2 等额分付公式
等额分付公式包括等额年金收付终值公式、等额偿还基金公式、等额年金收付现值公式、资金回收公式等。
1.等额年金收付终值公式（年值变终值）
图2.3 等额年金收付终值公式
问题：已知一系列每年年末偿付等额年金值A，求n年后的本利和终值F。
资金流程见图2.3所示。其计算公式推导过程如下：
第1年年末偿付A，至第n年年末可得终值为F1=A（1+i）n-1；
第2年年末偿付A，至第n年年末可得终值为F2=A（1+i）n-2；
第n-1年年末偿付A，至第n年年末可得终值为Fn-1=A（1+i）n-（n-1）=A（1+i）；
第n年年末可得终值为Fn=A。
则n年后的终值F为
F=F1+F2+F3+…+Fn=A(1+i)n-1+A(1+i)n-2+…+A(1+i)+A
F=A(1+i)n-1+A(1+i)n-2+…+A(1+i)+A
上式两边同乘以（1+i），得
F(1+i)=A(1+i)n+A(1+i)n-1+A(1+i)n-2…+A(1+i)
两式相减，得
Fi=A(1+i)n-A
即
式中
——分期等付期值因子（uniform series compound amount factor）或称年金终值系数，常以（F/A，i，n）表示。
【例2.5】 某贷款修建的水利工程，采用等额本息还款方式，每年年末需还款100万元，年贷款利率i=10%，问至第10年年末累计还款额为多少？
解：A=100万元，i=10%，n=10，则
采用Excel内部函数计算时，等额年金收付终值计算可采用的函数为Fv，语法表示为Fv（Rate，NPer，Pmt，［Pv］，［Type］）按例题中的数据，在Excel中输入“=Fv（10%，10，100，0，0）”，可得到计算结果为（1593.74）。
2.等额偿还基金公式（基金存储公式）
已知n年后需要偿还一笔资金F，可以通过在n年内每年年末偿还一定的资金A而达到目的。也就是说，在n年内每年年末预先存储一定的基金A，n年后积累的资金能够偿还这笔资金，因而也称基金存储公式。
由
得
式中
——偿还基金因子（sinking fund deposit factor）或称偿债基金系数，常以（A/F，i，n）表示。
【例2.6】 已知15年后要还清银行的贷款F=100万元，年贷款利率i=10%，在这15年内，问每年年末需偿还的资金A为多少？
解：F=100万元，n=15，i=10%，则
采用Excel内部函数计算时，等额偿还基金计算可采用的函数为PMT，语法表示为PMT（Rate，NPer，Pv，［Fv］，［Type］）按例题中的数据，在Excel中输入“=PMT（10%，15，100，0，0）”，可得到计算结果为（3.15）。
3.等额年金收付现值公式
工程项目方案比较中，常需要求一系列等额资金的年效益或年费用的现值，以比较不同方案的优劣，属于折现法的一种。等额年金收付现值公式的经济意义是：在利率为i，复利计息的条件下，求n期内每期末发生的等额支付现金A的现值P。即已知A、i、n，求P。
由等额年金收付终值公式
和一次收付终值公式F=P（1+i）n，联立消去F，于是得
式中
——等额年金收付现值因子（uniform series present worth factor）或称年金现值系数，常以（P/A，i，n）表示。
【例2.7】 有一新建水电站投入运行后，每年发电收入1.2亿元，当水电站运行50年时，采用社会折现率8%，其总效益现值为多少？
解：A=1.2亿元，n=50，i=8%，则
采用Excel内部函数计算时，一次收付现值计算可采用的函数为Pv，语法表示为Pv（Rate，NPer，Pmt，［Fv］，［Type］），式中Pv函数语法具有下列参数：
Rate——各期利率或折现率；
NPer——总期数（计算时段为年、月等，与利率计算周期相同）；
Pmt——各期所应支付的金额，其数值在整个年金期间保持不变，在一次收付终值计算中该值为0；
Fv——终值，或一系列未来付款的当前值的累积和；
Type——可选数字0或1，用以指定各期的付款时间是在期初还是期末，0为期初、1为期末，如果省略Type则假设其值为0。
按例题中的数据，在Excel中输入“=Pv（8%，50，1.2，0，0）”，可得到计算结果为（14.68）。
4.资金回收公式
借入一笔资金P，年利率为i，要求在n年内每年年末等额摊还本息A，保证在n年后清偿全部本金和利息。
第1年年末偿还本息A，相当于现值为
；
第2年年末偿还本息A，相当于现值为
；
第n年年末偿还本息A，相当于现值为
。
即
式（2.1）两边同乘以（1+i）n，得
式（2.2）两边同乘以（1+i），得
式（2.3）减去式（2.2），得
Pi(1+i)n=A［(1+i)n-1)］
即
式中
——资金回收因子（capital recovery factor）或称资金回收系数，常以（A/P，i，n）表示。
【例2.8】 某水利工程需建设资金1000万元，全部从银行贷款，年初一次拨付到位，年贷款利率i=10%，规定于贷款当年年末开始等额偿还本息A，要求15年后还清全部本息。问每年年末需偿还的资金A为多少？
解：已知P=1000万元，i=10%，n=15，则
资金回收公式常用于经济评价的等额本息还款，采用Excel内部函数计算时，可采用的函数为PMT，语法表示为PMT（Rate，NPer，Pv，［Fv］，［Type］）按例题中的数据，在Excel中输入“=PMT（10%，15，1000，0，0）”，可得到计算结果为（131.474）。
2.3.3 等差系列公式
水利水电工程的建设往往历时较长，常见的情形是随着工程的进展，机组设备逐年增加，发电效益和年运行费也随之逐年增加，直至全部发电机组安装完毕。这时，现金流量表现为逐年递增的等差序列，下面就对这种等差系列的资金等值计算进行简单描述。
假定有一系列等差现金流量：0，G，2G，…，（n-1）G分别于第1，2，3，…，n年年末发生，求该等差系列第n年年末的现值F、第1年年初的现值P和相当于等额系列的年金值A，假设年利率为i。等差系列类型的典型现金流量如图2.4所示。
图2.4 等差系列类型的现金流量图
一般认为，P发生在第一年年初，F发生在第n年年末，G发生在每一年的年末。需要注意的是，这个等差系列是从0开始，第n年的现金流量为（n-1）G。
等差系列现金流量的计算公式有等差系列终值公式、等差系列现值公式和等差系列年值公式等。
1.等差系列终值公式（已知G、n、i，求F）
两边同乘以（1+i），得
式（2.5）-式（2.4），得
式中
——等差递增系列终值因子（arithmetic series compound amount factor），以符号［F/G，i，n］表示。
图2.5 某水电站现金流量图
【例2.9】 某水电站机组台数较多，投产期长达10年，随着水力发电机组容量的逐年增加，电费收入为一个等差递增系列，G=100万元，i=7%，n=10年，求该水电站在投产期内总效益的现值。
解：已知G=100万元，i=7%，n=10年，A=100万元，则
该水电站在投产期内总效益的现值为5833.7万元。现金流量图如图2.5所示。
2.等差系列现值公式（已知G、n、i，求P）
由等差系列终值公式和P=F/（1+i）n得
式中
——等差递增系列现值因子（arithmetic series present worth factor），以符号（P/G，i，n）表示。
3.等差系列年值公式（已知G、n、i，求P）
将等差系列终值公式带入等额偿还基金公式
，可得
式中
——等差递增系列摊还因子（arithmetic series capital recovery factor），以符号（A/G，i，n）表示。
【例2.10】 某大型灌区改造工程于2000年年初进入试运行期，并开始受益，由于灌区较大，初始运行期长达10年。预计2000年年底效益为500万元，随着灌溉面积的增加，以后每年效益可增加100万元。如果年利率为6%，试问：①该工程在初始运行期的总效益等价于2000年年初的现值为多少？②同2010年年初的等价效益值是多少？③相当于每年获得多少等值效益？
解：根据题意，资金流程图如图2.6（a）所示，图中效益单位为万元，2000年年初标示为0。
由于该等差递增系列与标准等差递增系列模型不同，因此必须把这个等差系列分解为一个分期等付系列和一个标准等差递增系列两部分。其中，分期等付系列的年金值A=500万元、等差递增系列的级差G=100万元、现金流量图分别如图2.6（a）、（b）、（c）所示。
图2.6 某大型灌区现金流量图
（1）求该工程在初始运行期的总效益等价于2000年年初的现值即为求图2.7（a）、（b）效益的现值P1、P2。
图2.7 现金流量图
因此，总效益等价于2000年年初的现值，即
P=P1+P2=3680.05+2960.22=6640.27（万元）
（2）既然已经求出了2000年初的现值P，实际上就相当于求F，即
F=P（1+i）n=6640.27（1+0.06）10=11891.7（万元）
（3）已知现值P，求年值A，则
2.3.4 动态计算基本公式汇总
技术经济评价中常用的基本公式汇总见表2.2。
表2.2 动态计算基本公式
