1.2 现有塑性理论及其应用研究
1.2.1 宏观塑性理论的发展和研究现状
1.2.1.1 塑性理论的主要研究内容
人们对塑性变形的认识最早源于实验，在单轴拉伸过程中材料的应力与应变之间不再是单一的对应关系，呈现出非线性特征。物体在除去外力后存在永久变形，在给定的外力下，物体的变形不随时间而改变，这种残留变形称为塑性变形。塑性理论主要研究物体在塑性变形阶段的应力和变形的规律。塑性变形现象发现较早，然而塑性理论的研究是从18世纪70年代，Coulomb土壤压力理论的提出开始的。随后塑性理论经Tresca、St.Venant和Levy等学者的不断努力，到20世纪50年代得到了充分的发展。
工程结构或其构件在破坏之前往往经历较大的变形，弹性力学的描述已经不能满足应用的需要，对塑性变形的研究成了结构分析的关键。塑性力学的主要研究内容包含了用作描述和预测萌生塑性变形的屈服准则，以及可以确立塑性变形后应力-应变关系的塑性理论。多数材料特别是金属材料可认为是初始各向同性的，即当材料未经受塑性变形之前，材料的宏观力学性质与取向无关，因此宏观塑性理论的研究大都建立在材料初始各向同性假设的基础上，主要包括以下几个方面的内容：
（1）屈服条件。
在外载作用下，材料初始弹性状态的界限称为屈服条件，材料点处的应力需满足屈服条件才会产生塑性变形。这个条件的函数表达式称为屈服函数，可以用式f（σij）=0表达，此方程在以应力分量为坐标的应力空间中表示一个包围原点的曲面，称为屈服曲面。当应力σij位于此曲面之内材料处于弹性状态，当应力σij位于此曲面之上时，材料开始屈服而进入塑性状态。
最早的屈服准则是1864年法国工程师Tresca根据Coulomb对土力学的研究结果，并从自己做的金属挤压试验中提出的假设［1］，当最大切应力达到某一极限k时，材料发生屈服，即τmax=k。用主应力表示时，则有τmax=（σ1-σ3）/2=k，其中主应力顺序为σ1≥σ2≥σ3。在主应力空间中，Tresca屈服准则是一个正六棱柱；在π平面上，Tresca屈服条件是一正六边形。
Tresca屈服准则不考虑中间主应力的影响，另外，当应力处在两个屈服面的交线上时，数学处理很不方便；在主应力未知时，Tresca准则计算十分复杂。因此，Von Mises在1913年指出在π平面上Tresca六边形的顶点有实验得到，但连接顶点的直线是假设的［1］，他建议用J2=C来拟合实验点，即当J2=C时材料就进入屈服，其中C为常数，由实验来确定。在主应力空间中，Von Mises屈服准则为一圆柱柱面；在π平面上，Von Mises屈服准则为一个圆。
将Tresca屈服条件与Mises屈服条件作一简单比较，假定简单拉伸时两种屈服准相重合，则Tresca六边形内接于Mises圆（图1-1）。
图1-1 Tresca与Mises屈服条件
最大偏应力屈服条件的概念最早由R.Scmidt在1932年提出。后来，俞茂宏于1961年用双剪应力的概念对其屈服条件进行了说明，故又称为双剪应力屈服条件。对于大多数金属来说，静水压力对屈服条件没有显著影响，所以可以采用最大偏应力来作为材料开始产生塑性变形的准则，可写为
，其中k为常数，可由简单拉伸实验确定，
。在π平面上，它是一个外切Mises圆的正六边形[2]。
（2）加载条件。
屈服条件是指当材料未经受任何塑性变形时的弹性响应的界限。然而当材料经历了一定的塑性变形后，材料内部的微观结构就会产生变化。经历过塑性变形后的弹性响应的界限，我们称之为加载条件。它在应力空间中的几何描述称为后继屈服面，或加载曲面，其表达式为
式中：ξβ为记录材料塑性变形历史的参数。
假定不考虑应变率效应，应力状态将始终不能位于加载面之外，当应力位于加载面之内时，应力的变化将不引起变量ξβ的变化，材料不产生新的塑性变形。当应力位于加载面之上并继续加载时，应力的变化就会引起ξβ的改变，从而使材料产生新的塑性变形。此时的加载面将变为
在材料的弹-塑性加载过程中，加载曲面应满足以下条件：
这就是通常所说的一致性条件［2］。
（3）塑性流动理论。
在塑性变形阶段，应力与应变之间一般不再存在一一对应关系，应变不仅与应力状态有关，而且还与变形历史有关，这是塑性变形阶段与弹性阶段材料特性的最大区别。为了考虑变形的历史，需要研究应力与应变增量之间的关系。这种以增量形式表示的塑性本构关系，称为增量理论或流动理论。
材料进入塑性状态后，应变增量可以分解为弹性应变增量和塑性应变增量之和：
其中弹性应变增量
满足广义Hook定律：
其中
式中：G为材料剪切模量；ν为泊松比；E为弹性模量；δij为Kronecker符号，当i=j时δij=1，当i≠j时δij=0。
弹性应变增量的变形规律由Hook定律确定，为了描述材料在塑性阶段的应力-应变关系就必须给出塑性应变增量的变形规律。Drucker根据热力学规律提出了弹塑性介质强化的假定，一般称为Drucker公设。在这个公设的基础上，不但可以导出加载面的外凸性，还可以建立塑性状态下的本构方程，即塑性变形规律。如果加载面在某应力点处是光滑的，则相应的塑性应变增量必指向加载面在该点的外法向：
式中：f为加载函数。
式（1-6）给出了塑性应变增量与加载函数之间的关系，并表示塑性应变增量的方向指向加载面在该点的外法向，此式通常称为正交流动法则。
由式（1-4）～式（1-6）就得到了增量形式的本构关系：
（4）硬化准则。
对于比较复杂的加载历史，实际材料的加载曲面的演化规律十分复杂，很难用实验方法来确定其具体形式，为了便于工程分析，人们通常采用简化的强化条件。
1）等向强化（各向同性强化）模型。
等向强化模型认为加载面就是屈服面在应力空间中的相似扩大，其表达式为
式中：ξ为标量内变量，在工程上常取为等效塑性应变增量或为塑性功增量。
2）随动强化模型。
等向强化模型未考虑包兴格效应，在分析应力反复变化问题时，往往带来较大的误差。基于这种情况，经常采用的另一种简化模型就是随动强化模型。该模型认为，加载面是屈服面随着塑性变形的过程而在应力空间中的刚性移动，屈服面的大小和形状不发生改变，其表达式为
其中内变量αij是表征加载面中心移动的2阶张量，称为背应力。
3）组合强化模型。
将等向强化模型和随动强化模型结合起来，就构成更一般的组合强化模型，其表达式为
其中αij和ψ（ξ）都随塑性加载历史而变化，从图1-2上看，在加载过程中屈服面的位置和大小同时都发生变化。
假定材料满足Mises屈服条件，则在π平面上各硬化模型的关系可用图1-2来描述。
图1-2 Mises屈服条件下各种强化模型
1.2.1.2 循环塑性理论的发展
在工程应用中，很多结构承受的都不是单调荷载，而是循环荷载，大都处在循环加载工作状态中，在这种承载条件下如何估计其使用寿命成了人们关心的问题。疲劳破坏是导致工程结构失效的主要原因，准确地预测这些结构部件的使用寿命，对于确保结构的安全使用、提高结构的性能是至关重要的。合理的本构关系是进行可靠的结构分析的前提和主要制约因素。而对于低循环疲劳，其疲劳寿命与循环情形下材料的真实力学行为密切相关，循环塑性本构关系的可靠性决定着低循环疲劳寿命预测的合理性。种种原因促使循环塑性理论的研究受到国内外学者的广泛关注，关于循环塑性的研究也成为了固体力学研究的一个重要领域。
对于循环问题，若要跟随加载历史进行分析，其模拟计算通常规模较大。这在以往是难以解决的，而计算机技术的快速发展为材料循环过程的计算提供了便利条件，现已有可能进行这类计算量较大的材料变形和破坏的计算。此外，高性能疲劳试验机及其测试系统的发展也为循环塑性理论的研究提供了较好的实验条件。
目前对材料循环塑性行为描述较好的本构模型主要有三类：一类是以Besseling［3］和Morz［4］等提出的多面模型，Krige［5］、Dafalias和Popov［6］在多面模型的基础上进一步改进提出了双面模型，McDowell［7］及Ohno和Kachiz［8］通过双面模型进行了材料非线性硬化的研究；另一类是以Armstrong和Frederick［9］非线性运动硬化模型基础上发展和改进的模型；第三类是以Valanis［10］提出的内时理论，我国学者范镜泓［11-14］做了大量推广应用工作，彭向和［15-16］等给出了积分型内时本构方程的增量形式，并用内时理论提出了金属材料非比例循环塑性的本构描述。
双面模型由在应力空间定义的两个超曲面组成，即屈服面和界限面。两个曲面在应力空间中随变形历史移动和变形，屈服面用来判断塑性变形的产生，界限面用来约束屈服面。屈服面和界限面可以相接触，但屈服面永远包含在界限面内。图1-3中描述了屈服面和界限面之间的关系，其中s1、s2、s3表示偏主应力。
图1-3 双面模型
双面模型通过屈服面和界限面的演化来描述材料的流动特性和强化特性，通常采用Mises屈服准则，其屈服面和界限面的方程表示为
式中：s和s′为偏应力张量；α和α′分别为屈服面和界限面的中心；R和R′分别为屈服面和界限面的半径。
其流动规律表示为
式中：dεp为塑性应变增量；n为屈服面法向；H为塑性模量，<>为McCauley括号。
在界限面理论的框架下屈服面的运动演化规律通常有以下几种：
Prager方程［17］
Ziegler方程［18］
Morz方程［4］
A-F类运动硬化模型的核心是对运动规律的描述，即背应力的演化方式。其主要的本构方程为
考虑背应力演化的最简单的模型为Prager［17］在1949年提出的线性运动硬化模型，即背应力与塑性应变的演化呈线性关系：
背应力的线性演化规律在小变形的情形下相对较为符合。1966年Armstrong和Frederick［9］针对背应力的演化建议了一个更好的描述。在线性运动硬化规律中引入了动态恢复项，得到了一个非线性运动硬化模型：
式中：C、γ为材料常数；dp为增量塑性应变累积。
Chaboche［19-20］等在A-F模型的基础上增加了不同的恢复项常数，考虑了多个背应力的演化：
由于A-F类修正模型能够比较合理地解释循环载荷作用下出现的低周疲劳和棘轮效应等较为复杂的循环力学行为，目前得到了广泛的应用，但修正后的背应力演化包含的参数太多，如何用简单的方法确定材料参数还很困难，还需要进一步研究。
上述介绍的研究内容主要是关于率无关的问题，而实际上大多数材料，特别是在高温下会表现出率相关的现象。为了描述率相关的问题，大都可以在率无关的数学框架下做适当的修改以描述率相关问题。以A-F本构模型为例，率无关的塑性应变率计算常采用式（1-19）的形式，其中λ称为塑性乘子，可由一致性条件确定，常由累积塑性应变率
代替 [式 （1-25）]：
率相关与率无关的描述，最大的不同在于塑性乘子的计算，对于率相关模型，没有一致性条件的限制，加载点可以落在屈服面之外。黏结力是产生非弹性变形的驱动力，其定义为
式中：σv为黏结力；σy为屈服应力。
塑性乘子与黏结力常用的函数表达式为
式中：K为拉应力常数；n为材料黏性指数。
当黏结力大于零时，材料发生黏塑性变形。
本书用于金属材料研究的晶体塑性模型就是考虑率相关的模型，由于多数金属在常温下率相关及率无关的研究结果差异不大，在模型中常作为近似率无关问题处理。
宏观塑性模型主要是唯象模型，重点是描述循环塑性的现象，虽然不能揭示材料内部的物理变形机制，但对于材料的宏观变形行为能够给出较好的描述，能够反映材料的包兴格效应，循环过程中的棘轮效应和滞回性能，通过与试验相结合可以加深人们对材料低循环变形机理的认识。但是宏观塑性理论由于不考虑材料内部的非均质性和变形的不均匀，对材料屈服和后继屈服的描述通常用J2作为参数，在单调且比例加载的情形下可以给出较为合理的分析结果，然而大多数实际情形材料承受的载荷不是单调、比例载荷，是较为复杂的非比例加载，在这种情形下不能合理的确定材料的后继屈服规律就很难合理地进行材料的塑性分析。
1.2.2 用宏观塑性理论分析建筑节点滞回性能
强烈的地震作用下，结构进入了弹塑性状态，地震动传给结构的大部分能量将在滞回变形中耗散，滞回性能是衡量结构抗震性能的重要指标。
梁柱节点是钢筋混凝土框架结构的主要受力位置，对于整个结构来说，梁柱节点的力学性能是结构抗破坏能力的关键。梁柱节点在反复载荷作用下的载荷-变形曲线是其延性、耗能能力、刚度、强度等力学性能的综合反映。因此，针对梁柱节点的滞回性能分析是结构抗震性能研究的必要部分。
图1-4为钢筋混凝土梁柱节点的有限元模型，柱端固定，梁端施加低循环反复载荷，梁端的载荷位移曲线如图1-5所示。结构的滞回性能与循环载荷下材料真实的力学性能有着密切的联系，若要合理地描述其滞回性能就必须了解材料在循环加载下的真实变化过程。钢筋在循环载荷下的力学描述是否合理直接影响构件分析结果的合理性，因此有必要展开金属在循环载荷下的本构关系研究。
图1-4 钢筋混凝土梁柱节点的有限元模型
图1-5 梁端的载荷位移曲线
针对塑性模型基础性的研究，本书采用纯金属作为研究对象，以减少材料杂质的影响，在此基础上开展金属非塑性变形的研究能够给建筑钢材循环塑性研究提供铺垫和参考价值。
1.2.3 考虑金属微结构变形特征的晶体塑性理论
工程结构在强震或灾害性荷载的作用下，突发的强动载荷导致材料或结构的迅速破坏，此种情形下的破坏往往伴随着局部的高应变速率，并且具有非线性的动力效应。这种破坏模式与结构形式、载荷类型、材料都有着密切的关系，可能是动态的脆性或韧性断裂，也可能是局部剪切破坏。不同的材料具有不同的结构，导致破坏的发生方式也极为不同。此外，材料或结构的破坏是小尺度区域发生的过程，小尺度区域内材料呈现出强烈的不均匀性，这种不均匀性取决于材料的微结构，它极大地影响破坏的产生和发展。只有考虑材料的微结构才能合理地揭示破坏产生和发展的物理机制。
宏观的塑性理论是建立在连续介质力学基础上的宏观唯象模型，假设材料在宏观尺度上是均匀的，屈服面的演化依赖于宏观的应力、应变，虽然能够很方便地进行有限元计算，但是不能直接地揭示材料内部结构的演化，难以解释塑性行为的物理基础，在解决大变形、塑性各向异性、非比例加载、循环塑性等许多领域局限性越来越明显。因此从微观层次上发展建立在材料物理基础上的塑性理论就迫切重要。
建立在材料细观结构或细观变形机制基础上的细观塑性理论概括描述了塑性流动和破坏的物理特征，一定程度上以细观模型体现了特定的物理规律。由于细观模型反映材料真实的几何与物理现象，因而比纯粹从宏观实验由唯象分析方法得到的宏观塑性变形模型具有更可靠的物理基础。而材料中最重要的为金属材料，因此，以研究金属微观特性为主要内容的晶体塑性理论的研究成了细观塑性理论的重要内容。
单晶体的研究是多晶体研究的基础，早期关于晶体塑性和几何滑移的概念可追溯到Taylor、Schmid及其同事开创性的工作，例如Taylor和Elam［21-22］对晶体滑移与塑性变形之间的关系开展的定量研究；Schmid和Boas［23］提出的滑移系分解剪应力的确定方法。后来经Hill和Rice［24］及Asaro和Rice［25］等学者的努力建立了单晶体塑性有限变形的几何学、运动学及本构理论框架。对于单晶体的研究国内外已有众多文献［26-30］可供参考。
原则上，多晶体在平均意义上的力学性质可有单晶体力学性质计算得到。早期最具有代表性的多晶体模型是1938年的Taylor模型［31］。Taylor模型假设：每个晶粒是刚塑性体，弹性应变忽略不计，单晶体内塑性变形是均匀的且与多晶体宏观塑性变形相同；单晶体各滑移系的临界分剪应力相同且服从相同的各向同性硬化规律。利用这些假设，Taylor分析了大量任意定向的面心立方晶体所组成多晶集合体在单轴拉伸情况下的应力应变关系和变形织构的发展。Bishop和Hill［32-33］改进了Taylor的工作，提出并证明了滑移系选择的最小塑性耗散和最大塑性功原理。Lin［34］也对Taylor模型进行了修改以考虑弹性变形，但Taylor模型和Lin模型都未考虑晶粒间的交互作用。随后多晶体研究的一个进展是自洽模型的提出，Hershey［35］和Kroner［36-37］在研究多晶体的弹性行为时最早提出了自洽理论的思想。Budiansky和Wu［38］将自洽理论推广到了多晶塑性行为的描述，Hill［39］在1965年提出了更完善、更接近事实的Hill自洽模型。Hutchinson［40］在1970年对前面提到的几种自洽模型进行了多晶体拉伸计算。由于自洽模型假定晶粒的形状为球或椭球，在物理上缺陷较大，与晶粒的实际形状相差甚远。Voronoi多晶集合体模型的颗粒为随机生成的多面体并具有随机的取向，其尺寸、形状和取向均作无占优的随机安排，物理上更接近晶粒的实际形状和金属的实际细观构造。但其计算规模较大，对计算机条件要求较高，随着计算机技术的不断进步，Voronoi多晶集合体的办法已逐渐被用于多晶体的计算。
计算机的高速发展推动了晶体塑性本构模型的进步，对本构模型的算法研究，主要的区别在于积分时参照的构形不同。Peirce等［41］在1983年建立了单晶塑性有限变形率形式本构计算的改进显示方法，而Kalidindi等［42］、Maniatty等［43］及Sarma和Zacharia［44］在对多晶材料织构演化的研究中发展了在卸载构形下的多晶塑性有限变形计算方法。Peirce［41］的算法是在当前构形中进行的，以分解剪应变率
为主要的变量，通过显式的方法来进行。这种方法可以不进行迭代计算，效率比较高，但是时间增量Δt必须很小，否则计算不够准确。Maniatty［43］提出的积分算法，是在卸载构形中进行的，以Fp为主要的未知变量，通过隐式的方法迭代更新Fp，只要计算是收敛的，计算的精度就比较高，而且时间增量也可以取大一些。但在迭代过程中计算量很大，因为每次的迭代过程要对非线性方程组求导数，而且初值选取不好就会出现不收敛的情况。Sarma［44］的工作与Maniatty［43］的类似，不同之处在于他将F*作为积分变量，其优点与缺点也与前者的基本相同。
随着研究的不断深入，人们发展了将多尺度的研究方法应用到晶体塑性理论中去。如Achatypa［45］及Zbib和Rubia［46］以及Gill［47］等，这些研究在塑性变形中尽可能多地考虑了最基本的影响因素，当与塑性相关的特征长度很小时，多晶就表现出很强的尺寸效应。还有些学者用有限元的方法引入与晶格相关的位错密度来研究硬化行为，如Arsenlis和Parks［48］及Erieau和Rey［49］等。
国内学者在涉及晶体塑性方面的研究起步较晚，但也有很大的发展。王自强［50，51］在20世纪80年代将晶体塑性理论分析方法的基础向国内学者做了系统的介绍。仲政、杨卫和黄克智［52］对多晶金属的塑性变形开展了很精细的试验研究，并提出了考虑晶粒间塑性变形的滑错模型。梁乃刚和程三品［53］建议采用纤维构元和滑移构元构成的有向构元来描述金属晶粒中取向和多晶结构模型，在此基础上研究了后继屈服面的形状变化。潘文科、张永伟和王自强［54］引入晶界界面层，在考虑晶界的滑移和扩容变形的情形下进行了多晶体非均匀变性研究。董湘怀［55-56］在单晶体塑性本构关系上构造了多晶体塑性模型，发展了一种晶体塑性理论基础上的织构分析方法。彭向和等［57］采用弹簧和塑性阻尼器元件构造了无屈服判据的单晶本构关系，提出了一种非经典的晶体塑性本构模型，用以研究多晶材料的循环塑性力学行为。张克实［58-59］提出了可考虑变温情形的单晶体黏塑性有限变形的分析方法，该方法以Cauthy应力为迭代求解的基本变量，在此基础上采用多晶集合体模型研究了多晶体变形和应力的不均匀性及宏观响应。冯露等［60］通过HILL屈服准则与晶体塑性模型对FCC单晶材料塑性各向异性描述能力进行了比较。张光等［61-62］提出了有限变形下多晶晶体塑性模型算法及其应用，同时也研究了硬化模型对多晶变形织构演化的影响。刘海军等［63］介绍了晶体塑性理论的数值模拟技术，进行了单晶、多晶本构的模拟计算。皮华春等［64］采用晶体塑性理论对塑性成形、纯铝单向压缩以及纯铝单向拉伸等问题进行了有限元模拟。石艳柯等［65］采用多晶集合体在双向加载路径情况下研究了多晶铜的后继屈服面的演化及塑性流动规律，探讨了晶体塑性模型用于细观研究的有效性。胡桂娟等［66］用晶体塑性模型对拉扭试验做了数值分析，给出了拉扭情况下屈服面的发展及演化规律。
晶体塑性模型考虑了微小尺度下材料的微结构，能够呈现材料的不均匀性和各向异性，可以反映材料变形、破坏与材料微结构相关的特点。在晶粒尺度而言，晶体塑性理论是最能反映材料变形特征的材料本构描述理论，而且在实验方面，可以通过扫描电镜、透射电镜直接观察材料的微结构特征，提供有力的实验支持。但是晶体塑性理论将晶体塑性变形描述为连续滑移的结果，这种描述与位错运动微观上存在着较大的差异，其合理性还需要进一步验证。多晶体的计算主要建立在单晶体的基础上，无论是Taylor模型、自洽模型还是Voronoi多晶集合体，在计算时都采用了很多假设，这种假设与材料的实际情况有很大差别。此外，由于考虑了材料微小尺度的非均质性，各晶粒形状、大小、取向的随机分布，以及各向异性的变形机制，使得材料的代表性单元的计算规模很大，很难实现试样尺度、构件尺度的模拟分析。