第二节 电工学基础知识
一、电路
电的基本知识
1.物体的带电和电场（1）物质的结构
电的形成与物质的微观结构有关。物质的结构为
物质———分子———原子
核外电子（负电）原子核
质子（正电）中子
正常情况下，原子中正负电荷相等，整个原子不显电性。中性的原子失去电子，就带正电，成为正离子；获得电子，就带负电，成为负离子。
（2）物体的带电
当一个物体失去或获得电子时，正负电荷就不相等，物体就会带电。物体所带电荷有正电荷和负电荷两种，失去电子的物体，就带正电；获得电子的物体，就带负电。
（3）电场
电场存在于带电体周围，它是电荷之间相互作用的媒质。
电场最基本的特性是电场能对位于该电场中的电荷产生作用力。电场作用在电荷上的力叫电场力。电场力的大小与电场的强弱有关。电场的强弱与带电体所带的电荷量多少有关。电场中某点电场强度E的大小等于单位正电荷在电场这一点所受到的力的大小，即
E=QF（N/C）
（2 1）
式中 Q———正试验电荷的电荷量，C；
F———Q电荷在电场内某点所受的电场力，N。
电场中某点电场强度的方向也叫电场的方向，就是正电荷在这一点所受电场力的方向。物体带正电与带负电产生的电场方向相反，同性电荷相斥，异性电荷相吸。
2.导体和绝缘体
（1）导体
导电能力很强的物体称为导体。导体内部拥有大量的自由电子或离子。在电场力的作用下，自由电子（或离子）能作有规则的定向运动。
（2）绝缘体
几乎不能导电的物体称为绝缘体。绝缘体的电阻率在107Ω·m以上，其原子核对其外层电子的束缚力很强，自由电子极少。
3.电流和电阻
（1）电流
导体中的自由电子，在电场力的作用下作有规则的定向运动就形成了电流。单位时间内通过导体某一截面的电荷量（简称电量）称为电流强度（简称电流），用符号I表示，计算式为
I=Q
（2 2）
t
式中 Q———通过导线某一截面的电量，C；
t———通过电量Q所用的时间，s。
电流的单位是安培（A），1A=1C/s。当电流很小时，其单位常用毫安（mA）或微安（μA）表示。电流的方向规定为正电荷运动的方向。
（2）电阻
电流通过导电体时所受到的阻力称为电阻。金属导体的电阻和它的几何尺寸、材料有关，可用下式表示：
R=ρLS
（2 3）
式中 R———导体的电阻，Ω；
L———导体的长度，m；
S———导体的截面积，mm2；
ρ———导体的电阻率，指在一定的温度下，长为1m，截面积为1mm2的导体所具
有的电阻，Ω·mm2/m。
常用导电材料的电阻率，见表216。
表2 16
常用导电材料的电阻率（Ω·mm2/m）
【例2 1】求1km（公里）长，截面为25mm2的铝导线在20℃时的电阻。
解：按公式（2 3），查表2 16铝的电阻率ρ=0.0283Ω·mm2/m，得
R=ρLS=0.0283×102050=1.132（Ω）
4.电压和电位
（1）电位
在电场力作用下，单位正电荷由电场中某一点移到参考点（参考点的电位规定为零）所做的功叫做该点的电位，用φ表示。电压是指电场中某两点之间的电位差。
（2）电压
电场力把单位正电荷由高电位点移到低电位点所做的功叫做这两点间的电压，用U表示。当电荷量为Q，所作的功为W时，则电压为
U=
W Q
（2 4）
式中 W———正电荷Q由高电位点移到低电位点时所做的功，J；
Q———正电荷量，C。
电压的单位为伏特（V）。当所测电压很低时，其单位也可用毫伏（mV）或微伏（μV）表示。电压的正方向规定为由高电位点指向低电位点，即电位降的方向。
5.电源和电动势
（1）电源
电源是电路中产生并维持电位差的能源。不同的电源，产生电位差的作用原理也不同，有化学效应的，也有热效应的、电磁感应的等等。各类电源有一个共同点：能把电源内部导体中的正、负电荷分别向两极推动，使两极分别带正、负电荷，从而在两极之间形成了电场，产生一定的电位差。
（2）电动势
电源将单位正电荷由负极移到正极所做的功叫做电动势，用E表示
E=
W Q
（2 5）
式中 E———电动势，V；
Q———电荷量，C；
W———正电荷Q由负极移到正极所做的功，J。
电动势的方向由负极指向正极，即电位升的方向，与电压方向相反。
二、直流电路
1.欧姆定律
（1）电路
电路是电流所流经的路径。电路由电源、负荷、开关和连接这些电路元件的导线等组成，如图21所示。
图21 电路图的几种表示法
（a）用电动势表示电源；（b）用端电压表示电源；（c）此图为（b）图的简化
（2）欧姆定律
欧姆定律是反映电压、电流、电阻三者之间关系的基本定律，也是电工学中最重要的定律。欧姆定律的内容是：在电阻一定的电路中，通过电阻的电流与施加于电阻上的电压成正比。也可以说成电路中的电流与电压成正比，而与电阻成反比。其数学表达式为
I=
U R
（2 6）
式中 I———电流，A；
U———电压，V；R———电阻，Ω。
式（26）也可写成
U=IR
（2 7）
或
R=
U I
（2 8）
【例22】有一电热器的电阻为44Ω，使用时的电流是5A，试求电源的供电电压。解：根据公式（27）得
U=IR=5×44=220（V）
【例23】已知一电阻两端所加的电压为220V，测得电路中的电流为0.5A，求该电阻为多少欧姆?
解：根据公式（18）得
R=UI=02.250=440（Ω）
2.串、并联电路（1）串联电路
将几个电阻的首尾依次连接起来，中间没有分支，各电阻流过同一电流，这些电阻的连接叫做串联，如图22所示。
串联电路具有以下特点：1）流过各电阻的电流相同；
2）电路总电压等于各电阻上的电压降之和，即U=U1+U2；3）电路总电阻（等效电阻）等于各电阻阻值之和，即
R=R1+R2
（2 9）
4）各电阻上的电压与该电阻的阻值成正比；
5）电路中消耗的功率等于各电阻上消耗的功率之和，即P=P1+P2+…；6）各电阻上消耗的功率与该电阻的阻值成正比。
图22 串联电路图
图23 并联电路图
（a）电路图；（b）用等效电阻代替串联电阻
（a）电路图；（b）用等效电阻代替并联电阻
（2）并联电路
将几个电阻的头和尾分别接在一起，使之在电路中承受同电压，这些电阻的连接叫做并联，如图23所示。
并联电路具有以下特点：
1）电路中各电阻上所承受的电压相同；
2）电路中的总电流等于各电阻中电流之和，即I=I1+I2+…；3）电路中总电阻（等效电阻）的倒数等于各电阻的倒数之和，即
1R=R11+R12+…
（2 10）
3.混联（复联）电路
电路中既有相互串联的电阻又有相互并联的电阻，叫做混联电路。分析计算混联电路时，应先合并串联或并联部分，逐步对电路进行等值简化，求出总的等效电阻。然后根据
欧姆定律，由总电阻、总电压（或总电流），求出电路中的总电流或总电压。最后再逐步推算出各部分的电压和电流。
【例24】已知电路端电压U和电阻
R1、R2、R3，电路的连接如图2 4（a）所
示，求电路中的总电流和电阻R2、R3两端
的电压Uab。
图24 混联（复联）电路图
（a）电路图；（b）用等效电阻代替并联电阻；
解：首先计算R2、R3的并联电阻Rab。
（c）用等效电阻代替串联电阻
根据并联电路的特点可得
R1ab=R11+R12=RR11+
则
Rab=R1·R2
R1+R2
再按R1与Rab串联连接关系，得
R∑=R1+Rab
根据欧姆定律求出电路总电流为
I=RU∑=R1U+Rab
电阻R2、R3两端电压为
Uab=IRab=R1U+Rab·Rab
4.电功率和电能
（1）电功率。单位时间内产生或消耗的电能，叫做电功率（简称功率）。它表明了电能与非电能相互转换速率的大小。
负荷接受的电功率等于负荷两端的电压和通过负荷电流的乘积，常用P表示：
P=UI
（2 11）
式中 P———电功率，W；
U———负荷端电压，V；I———负荷电流，A。
同理，电源产生的电功率等于电动势与电流的乘积。
（2）电能。电流在一段时间内所做的功叫做电能。电能的大小不仅与电功率大小有关，还与作功的时间长短有关。其表达式为
W=Pt
（2 12）
式中 P———电功率，W（或kW）；
t———时间，h；
W———电能，W·h（瓦·时）或kW·h（千瓦·时）。
【例25】已知一个额定电压为220V的灯泡接在220V电源上，通过灯泡的电流为0.454A，问5h内该灯泡所消耗的电能为多少?
解：灯泡的功率是
P=UI=220×0.454≈100（W）=0.1kW
5h内灯泡消耗的电能为
W=Pt=0.1×5=0.5（kWh）
（3）电流的热效应。电流通过电阻时要发热，其发热量同电流的平方、回路中的电阻及通过电流的时间成正比，即
Q=I2Rt（J）
=0.24I2Rt（cal）
（2 13）
式（2 13）表明了电能转换为热能的关系，称为焦耳———楞次定律。1J（焦耳）等于
0.24cal（卡）。
三、电磁感应
1.磁
（1）磁场。在磁体周围空间存在一种特殊物质，它对载流导体或运动的电荷都有力的作用，这一特殊物质叫做磁场。
磁体具有极性，其两端极性强的区域称为磁极，一端为北极（N极），一端为南极（S极）。同性磁极相互排斥，异性磁极相互吸引。
磁场不仅有方向，而且还有强弱，一般用磁力线来描述，磁力线的方向由N极指向S极，磁力线上某点的切线方向就是该点的磁场方向。
（2）磁通和磁通密度。垂直通过某一截面的磁力线数叫做磁通量（简称磁通），用Φ表示，其单位是 Wb（韦伯）。磁通量可以反映磁场的强弱，但不能表示磁场的方向。
垂直穿过单位截面的磁通量叫做磁通密度（也叫磁感应强度），用B表示，其单位是
T（特斯拉）。
磁通Φ与磁感应强度B的关系为
Φ=BC或B=
ΦS
（2 14）
式中 Φ———穿过截面S的磁通，Wb；
S———与磁场垂直的面积，m2；
B———磁通密度，T。
（3）通电导体周围的磁场。通电的导体周围有磁场，这个磁场也可用磁力线来描述。当电流方向改变时，磁场方向也改变。其关系可用直导线右手定则来确定，如图25所示。
将右手拇指伸直表示电流的方向，卷曲的四指所指的方向，就是磁力线的方向。
为了同时表示出电流的方向和导体周围磁力线的方向，通常用“○”表示导线的截面，用“⊗”和“⊙”两种符号分别表示与纸面垂直导线中的电流流入和流出方向。当已知电流方向时，由直导线右手定则很容易就能判断出通电导线周围磁场的方向，如图2
6所示。
图25 直导线的右手定则
图26 通电导线中电流方向
和导线周围磁力线方向
如果把单根导线卷成螺管线圈，再通上电流，那么螺管线圈的磁场如图27所示。磁通方向和线圈中电流的方向也可直接用线圈右手定则来确定，如图28所示。用线圈右手定则判断磁场的方法，使卷曲四指的方向与线圈中电流的方向相同，那么伸直的拇指即表示线圈内磁力线的方向。
图27 螺管线圈的磁场
图28 线圈的右手定则
2.电磁力
（1）磁场对通电导线的作用力。通电导体在磁场中会受到力的作用，称为电磁力。图2 9中（a）图是载流导线产生的磁场，（b）图是两磁极的均匀磁场，（c）图是两磁场的合成，（d）图示出了导线受力方向。由于合成磁场在导线上、下两侧强弱不等，迫使导线向磁场弱的一侧运动。
（2）作用力的方向。通电导体在磁场中受力的方向，与导体中的电流方向及磁场方向的关系可用电动机左手定则来确定，如图210所示。平伸左手，四指并拢并与大拇指垂直，使磁力线垂直通过掌心，四指指向导体中电流的方向，则大拇指所指的方向就是通电导线所受电磁力的方向。电动机就是根据这一原理制成的，故又称为“电动机左手定则”。图29 载流导线在磁场中受力
（a）载流直导线的磁场；（b）两磁极间的磁场；（c）两磁场叠加；
（d）合成磁场使载流导线受力
3.电磁感应
（1）导线切割磁力线产生感应电动势。当导线和磁场发生相对运动时，若导线切割了磁力线，在导线中就将产生电动势，这叫做电磁感应现象。由电磁感应产生的电动势叫感应电动势，用e表示。由感应电动势产生的电流叫感应电流。
感应电动势的方向可用发电机右手定则来确定，如图211所示。
图210 电动机左手定则
图211 发电机右手定则
平伸右手，四指并拢并与大拇指垂直，使磁力线垂直穿过掌心，大拇指指向导线运动的方向，则四指的指向就是感应电动势的方向。发电机就是依据这一原理制成的，故这个判断方法又称为“发电机右手定则”。
感应电动势的大小同磁场强弱、导体运动的速度、导体在磁场中的长度有关。当导体沿着与磁力线垂直的方向运动时，所产生的感应电动势为
e=BLv
（2 15）
式中 e———导体中的感应电动势，V；
L———导体在磁场中的有效长度，m；
v———导体的运动速度，m/s；B———磁通密度，T。
（2）线圈中的感应电动势。当与线圈回路交链的磁通发生变化时，线圈回路会产生感应电势及感应电流。线圈中感应电动势的方向有这样的规律：由它所产生的感应电流总是反抗原有磁通的变化，也就是说，当磁通增加时，感应电流产生的磁通与原磁通方向相反；当磁通减少时，感应电流产生的磁通与原磁通方向相同。这就是判断感应电动势方向的楞次定律。
感应电动势的大小与线圈中磁通的变化率成正比，即
e=-NΔΦ
（2 16）
Δt
式中 e———感应电动势，V；
N———线圈匝数；
ΔΦ———磁通变化量，Wb；
Δt———磁通变化ΔΦ所需时间，s。
公式中负号是由感应电动势所产生的感应电流具有反抗原有磁通变化的规律决定的。
（3）自感电动势和电感。当通过线圈的电流产生变化时，线圈电流产生的磁通也跟着变化。这个变化的磁通反过来又会在线圈中产生感应电动势。这种由于线圈本身电流的变化而在本线圈内产生的感应电动势叫自感电动势，用eL表示。
根据楞次定律，自感电动势的方向也和感应电动势一样，总是反抗线圈中原有磁通的变化，即当线圈中电流增加时，自感电动势的方向与线圈电流的方向相反，如图2 12（a）所示；当电流减少时，自感电动势的方向与线圈的电流方向
图212 自感电动势方向
相同，如图2 12（b）所示。
（a）电流增加情况；（b）电流减少情况
自感电动势表达式和感应电动势一样，即
eL=-NΔΦ
（2 17）
Δt
通常把线圈匝数N和穿过线圈的磁通Φ的乘积叫做磁链，用Ψ表示，即Ψ=NΦ。因磁链的变化量ΔΨ=NΔΦ，则式（217）可改写为
el=-ΔΨ
（2 18）
Δt
通过线圈的自感磁链与通过线圈的电流I的比值，叫做线圈的电感，即
L=
ΨI
电感的单位是 H（亨利），较小的电感单位有mH（毫亨）或μH（微亨）。1mH=
10-3H，1μH=10-6H。
当电感参数为常数时，自感电动势eL也可表达为
eL=-LΔi
（2 19）
Δt
式中，ΔΔit表示电流的变化率。由此可见，eL的大小与线圈中电流的变化率成正比。式中负号是由自感电动势的方向具有反抗线圈中电流变化的规律决定的。
四、单相交流电路
1.正弦交流电的基本知识
（1）交流电。所谓交流电，是指大小和方向都随时间作周期性变化的电流（或电动势、电压）。我们日常生活或生产中用的交流电是随时间按正弦规律交变的，所以叫做正弦交流电，简称交流。
（2）正弦交流电动势的产生。图213是一台交流发电机工作原理示意图。
一对固定于机壳上的磁极，磁极间有一个可以自由转动的电枢，电枢上绕着绕组，绕组两端分别接在两个彼此绝缘的铜环上，铜环上装有电刷，通过铜环和电刷使绕组和外电路的负荷连接。当磁场中的绕组被原动机带动转动时，绕组中产生了感应电动势。该电动势产生的电流通过灯泡和检流计构成了闭合电路，使外电路中的灯泡发光，检流计的指针摆动。
图213 交流发电机原理示意图
由式（215）可知，当L和v一定
（a）透视图；（b）剖面图
时，感应电动势的大小取决于B的大小。
为了得到随时间按正弦规律变化的交流电动势，在制造发电机时将磁极做成一定的形状，使磁通密度沿着电枢表面垂直方向按正弦规律分布，即
B=Bmsinα
（2 20）
式中 Bm———磁通密度的最大值，T；
α———绕组的一边与转轴O所组成的平面与中性面间的夹角。从式（216）得知，感应电动势也是空间角α的正弦函数，即
e=Emsinα
（2 21）
式中 Em———感应电动势的最大值，V。
当绕组单位时间内旋转的角度（又称角速度）为ω时，空间角α=ωt，则感应电动势e随时间而变化的规律可完成
e=Emsinωt
式中，ωt为电动势在时间为t时的角度，称为电动势的相位角。
（3）周期与频率
正弦交流电随时间按正弦规律由正到负、由负到正周尔复始地变化。变化一周所需要的时间叫做周期，单位为s，符号用T表示，如图214所示。以电角度表示的一个周期为2π弧度，即
ωT=2π或T=2π
ω
每秒正弦量交变的次数叫做频率，单位为 Hz（赫兹），用f表示。我国电网采用的频率是50Hz（即每秒钟交变50次的正弦交流电）。
周期和频率互为倒数，即
f=1T或T=1f
图214 正弦交流电的周期
（2 22）
因为一个周期（360°）等于2π弧度，若将频率的单位 Hz化为rad/s（弧度每秒），即为角频率ω，因此
ω=2Tπ=2πf
（2 23）
【例26】频率为50Hz的交流电，问它的周期和角频率各是多少?解：
T=1f=510=0.02（s）
ω=2πf=2×3.14×50=314（rad/s）
（4）瞬时值与最大值
任一瞬间正弦交流电的数值叫做瞬时值，用小写字母表示（如i、e、u等）。
正弦交流电瞬时值中的最大值叫做正弦交流电的最大值（或称幅值）。用大写字母并在其右下角注上m表示。最大值反映了正弦交流电的变化幅度。
（5）有效值
交流电的瞬时值和最大值都不能反映交流电的实际效果，所以，在工作计算、测量中均采用交流电的有效值。所谓有效值是指在同一时间内，用同一电阻接于交流电路中所产生的热量与接于直流电路中所产生的热量相等时，这时的直流电流就叫做交流电流的有效值。换句话说：交流电流的有效值就是与它热效应相当的直流电流值。有效值用大写字母表示（如I、E、U等）。正弦交流电的有效值等于最大值的1/㊣2即0.707倍，或者说正弦交流电的最大值等于有效值的㊣2倍，即近似为1.414倍。
【例27】用伏特表测得电源电压为220V，问这个电压的最大值为多少?解：
Um=㊣2U=㊣2×220≈311（V）
在交流发电机中，当电枢绕组平面的起始位置与中性面a—a′重合时，感应电动势瞬时值的表达式为
e=Emsinα=Emsinωt
如果电枢绕组平面在与中性面夹角为φ时作起始位置（即t=0时，α=φ），如图215所示。经过t（s）后，电枢绕组平面与中性面的夹角增加了ωt，因此绕组所处位置的角度为α=ωt+φ，则绕组中感应电动势的瞬时值应为
e=Emsin（ωt+φ）
（2 24）
式中 ωt+φ———相位角或相位。
图215 电动势的相位和初相位
图216 初相位的正负值
相位是随时间变化的，它决定了正弦电动势瞬时值的大小和方向。t=0时的相位角φ，叫初相位角或初相位。在波形图上，初相位φ是正弦曲线正向过零点与坐标原点之间的角度。如正向过零点在纵轴左侧时，初相位是正值；在右侧时，初相位是负值。如图216中电流i1的初相位为+60°，i2的初相位为-30°，它们的瞬时值表达式分别为
i1=Imsin（ωt+60°）i2=Imsin（ωt-30°）
两个完全相同的电枢绕组，它们在电枢上的空间位置如图2 17（a）所示。由于它们绕在同一电枢上，所以两绕组以同一角速度切割磁力线，它们产生的感应电动势分别为
ee12==EEmmssiinn（（ωωtt++φφ12））}
（2 25）
这两个电动势的最大值和角频率都相同，只是相位不同。两个同频率的正弦量在相位上的差别叫做相位差，即
（ωt+φ1）-（ωt+φ2）=φ1-φ2=φ
图217 相位差
（a）两绕组的空间位置；（b）电动势波形图
由图2 17（b）看出，由于e1和e2存在相位差，所以在同一瞬时它们的瞬时值不相等，且e1总比e2先到达最大值，就是说e1在相位上超前e2为φ角，或者说e2较e1滞
后φ角。
图216中，i1和i2间的相位差为
φ1-φ2=60°-（-30°）=90°
就是说i1超前i290°，或者说i2滞后于i190°。
如果两个同频率的正弦量的相位差为零，这两个正弦量为同相位；如果相位差为180°，则这两个正弦量为反相位。
2.正弦交流电的相量表示法（1）相量表示法
向量用于表示交流电时称为相量，在相应字母符号上方加“·”表示，如
、
、
、
等。正弦电流瞬时值i
=Imsin（ωt+φ）的相量表示法，如图2 18所示。
图2 18中
的长短代表正弦电流的最大值，
与横轴正方向的夹角表示i的初相位φ，
以角速度（角速
图218 用相量表示正弦量
度是单位时间内变化的角度。相量旋转的角速度，应为正弦量的角频率ω）ω逆时针方向旋转，对应于每一个瞬时相量
的位置在纵轴上的投影，正好等于该时刻i的瞬时值。将随时间旋转在纵轴上的投影按时间变量描成曲线，正好是一条正弦波形曲线。
（2）相量图
将几个相互关联的同频率正弦量分别用相应的相量表示，并组合在同一坐标系中的图叫相量图。画相量图时要先画出其中任意一个相量，一般先画出初相位为零的相量，这个相量称为参考相量。参考相量通常和横轴正方向重合，其他相量可由它们之间的相位关系逐个确定。在对实际工程问题进行分析计算时，通常使用有效值计量。因此在用相量表示正弦量时，各相量的长度均取它们的有效值。
（3）相量的加、减运算
相量相加可用平行四边形法则进行。相量相减时，将要减去的相量取其反向后再与被减相量相加即可。
相量相加的和，相量相减的差及和、差的初相角均可从相量图中量出数值，再乘以作图比例，就可得到实际值。相量和、差及它们的初相角也可用计算法求出。
3.交流电路中的电阻、电感、电容元件（1）电阻交流电路
实际应用的白炽灯、电烙铁、电阻器等可看成电阻元件。在电阻元件构成的交流电路中，电流和电压的频率相同，相位相同，完全符合欧姆定律，即
iu=IUmm=UI=R
电阻电路的相量图和波形图，如图219所示。
任何瞬间电阻上所消耗的功率等于通过电阻的电流与加在电阻两端电压的瞬时值的乘积，即
p=ui
从图2 19（c）看出，任一瞬间的功率数值都是正值；说明电阻电路中总是从电源吸取能量，也就是说电阻是一种耗能元件。
在日常生产和生活中，计量用的是平均功率（又叫有功功率），是指一个周期内瞬时功率的平均值。电阻元件的平均功率等于电阻中电压和电流有效值的乘积，用P表示，即
P=UI或P=UI=I2R=
U2 R
（2 26）
图219 电阻电路的相量图和波形图
图220 电感电路的相量图和波形图
（a）电阻电路图；（b）相量图；（c）u、i、p波形图
（a）电感电路图；（b）相量图；（c）u、i、p波形图
（2）电感交流电路
实际应用中的荧光灯镇流器线圈、接触器的线圈、继电器的线圈、电动机的绕组等，若忽略它们的导线电阻，都可看成是电感元件。图220所示为纯电感电路及其相量图和波形图。
电感交流电路中，电压和电流的有效值或最大值之比叫做电感电抗，简称感抗，用
XL表示，即
UI=IUmm=XL
感抗XL和电阻R相似，在交流电路中都起阻碍电流通过的作用。XL的大小与电感L和频率f的乘积成正比，即
XL=ωL=2πfL
（2 27）
式中 L———绕组（线圈）的电感，H；
f———电源电压的频率，Hz；
ω———电源电压的角频率，rad/s；XL———感抗，Ω。
从图2 20（c）中看出，电压和电流的频率相同，电压的相位超前于电流90°，用瞬时值表示为
i=Imsinωt
u=Umsin（ωt+90°）=ImXLsin（ωt+90°）
从图2 20（c）中的功率波形图看出，瞬时功率是一个两倍于电压（或电流）频率的正弦曲线，且曲线的正、负半周完全对称。正值表示从电源吸取能量，负值表示向电源放出能量，从而得知电感元件从电源中吸取的平均功率为零，即电感没有消耗能量，只是在电源和电感线圈之间有周期性的能量互换。因此，电感是一种储能元件。在电源和电感线圈之间互相转换功率的规模（瞬时功率的最大值）叫做感性无功功率，用QL表示：
QL=UI=I2XL=
U2 XL
（2 28）
为了和有功功率相区别，无功功率的单位是var（乏）。
【例2 8】有一线圈，电感L为10mH，电阻可略去不计，将它接在电压u=311sinωt（V），频率为50Hz的电源上。试求线圈的感抗、电路中通过的电流、电路中的无功功率，并写出电流瞬时值的表达式。
解：按式（126）算出感抗：
XL=2πfL=2×3.14×50×0.01=3.14（Ω）
通过线圈的电流为
I=XUL=3
13.1/14㊣2=70（A）
无功功率：
QL=UI=3
㊣121×70≈15400（var）
电流瞬时值的表达式
i=㊣2×70sin（ωt-90°）=99sin（ωt-90°）（A）
（3）电容交流电路
任何两块靠近的金属导体（又称极板），中间用不导电的绝缘介质隔开，就形成了电容器。
把电容器接上电源，电容器中就储存了电荷。其两个极板总是分别带有电量相等的正、负电荷。表示电容器储存电荷电量能力的物理量，称为电容器的电容量（简称电容），用符号C表示。C值越大，表明电容器所储存的电量愈多。用公式表示为
C=Q
（2 29）
U
式中 Q———极板上的带电量，C；
U———两个极板之间的电压，V；
C———电容，F。
法拉这个单位太大了，一般用微法（μF）或皮法（pF）做电容的单位。1μF=10-6
F；1pF=10-6μF=10-12F。
电容交流电路中电压和电流的有效值（或最大值）之比等于电容电抗，简称容抗，用
XC表示
UI=IUmm=XC
容抗在电路中也起阻碍电流的作用。XC的大小与电容C和频率f的乘积成反比，即
XC=1
=1
（2 30）
ωC
2πfC
式中 C———电容元件的电容，F；
f———电源交流电压的频率，Hz；
ω———电源交流电压的角频率，rad/s；XC———容抗，Ω。
电容元件中的电流与电压的频率相同，但电流的相位超前于电压90°，如图221所示。
电容电路中电压电流的瞬时值为
u=Umsinωt=ImXCsinωt
i=Imsin（ωt+90°）
从图2 21（c）看出，在电容电路中，其瞬时功率的频率也是两倍于电压（或电流）的频率，在一个周期内的平均值也等于零。说明电容电路中也不消耗能量，在电源和电容器间只有周期性的能量互换。它也是一个储能元件。这种互相转换功率的规模（最大值）叫做电容性无功功率，用QC表示
图221 电容电路的相量图和波形图
QC=UI=I2XC=
U2 XC
（2 31）
（a）电容电路图；（b）相量图；（c）u、i、p波形图
QC的单位也是var（乏）。
【例29】一只1μF的电容器两端加上正弦电压u=220㊣2sin（314t-30°）（V），求通
过电容器中电流的有效值，并写出电流的瞬时值表达式。
解：求出电容器的容抗为
XC=2π1fC=2×3.14×510×1×10-6=3184.71（Ω）
通过电容器电流的有效值为
I=XUC=312824.071=0.069（A）
电流的初相位φ=90°-30°=60°，则电流的瞬时值表达式为
i=0.069×㊣2sin（ωt+60°）（A）
（4）电阻与电感串联的交流电路
电气设备的实际电路几乎都不是单一的电阻、电感或电容电路。最常见的是电阻和电感串联的电路，如电动机、变压器等。
在电阻、电感串联电路中，各元件上的电压和总电压的关系，如图2 22所示。在电压u的作用下，通过R、L的电流为i，i与R上的压降uR同相位，i比L上的压降uL落后90°。画相量图时，以电流
为参考相量，再画出电图222 电阻和电感串联电路
阻上的电压
相量和电感上的电压
相量，
（a）电路图；（b）相量图
总电压
等于
和
的相量和。从图2 22
（b）看出，总电压
与
、
构成了一个直角三角形，称电压三角形。其斜边为电压，两直角边分别为
和
，根据勾股定律可得
U=㊣U2R+U2L
（2 32）
或
U=㊣（IR）2+（IXL）2=I㊣R2+X2L
式中，㊣R2+X2L为交流电路的阻抗，用Z表示：
Z=㊣R2+X2L
（2 33）
阻抗的单位也是欧姆（Ω）。
由式（2 33）看出，Z、R、XL之间
也是一个直角三角形，叫做阻抗三角形，如
图233（a）所示。
从图2 33（b）看出，总电压和电流之间的相位差为φ，则
tanφ=UULR=XRL
（2 34）
图223 阻抗、电压、功率三角形
（a）阻抗三角形；（b）电压三角形；（c）功率三角形
即总电压和电流之间的相位差由负荷电阻和感抗的大小决定。
在电阻、电感串联电路中，电阻上消耗的有功功率为
P=URI
（2 35）
从图2 23（b）可知
UR=Ucosφ
所以
P=UIcosφ
（2 36）
式中，cosφ叫做电路的功率因数，可由阻抗三角形求得，其数值与负荷的阻抗参数有关。
在电阻、电感串联电路中的无功功率为
Q=ULI
（2 37）
由图2 23（b）可知
UL=Usinφ
所以
Q=UIsinφ
（2 38）
无功功率并不是无用的功率，由它所建立的交变磁场，在电能的输送、电能转换的过程中具有极为重要的作用。因为很多电气设备（如常见的变压器、电动机等）都是靠磁场来传送和转换能量的。若没有无功功率，变压器就不能变换电压，也无法传送能量；没有无功功率，电动机就不能转动。因此，发电机除了发出一定的有功功率供给动力、生活等负荷外，还必须同时发出一定的无功功率供给电感负荷，以建立交变磁场。这样不仅可以满足供、用电设备运行的需要，对发电机、电网的稳定运行也是有利的。
电路中电压与电流的有效值的乘积叫做视在功率，用S表示：
S=UI
（2 39）
视在功率的单位为伏安（VA）或千伏安（kVA）。一般变压器的容量是用视在功率表示的。
由视在功率S、有功功率P、无功功率Q组成的三角形，称为功率三角形，如图1 23（c）所示。视在功率为
S=㊣P2+Q2
（2 40）
【例210】有一个电阻R=6Ω，电抗L=25.5mH的线圈，串接于U=220V，50Hz
的电源上，试求线圈的感抗XL、阻抗Z、电流I、电阻压降UR、电感压降UL，功率因数cosφ，有功功率P，无功功率QL及视在功率S。
解：XL=2πfL=2×3.14×50×0.0255=8（Ω）
Z=㊣R2+X2L=㊣62+82=10（Ω）
I=UZ=21200=22（A）
UR=IR=22×6=132（V）UL=IXL=22×8=176（V）
cosφ=ZR=160=0.6
P=I2R=222×6=2904（W）=2.904kW
QL=I2XL=222×8=3872（var）=3.872kvar S=UI=220×22=4840（VA）=4.84kVA
4.功率因数cosφ
在功率三角形中，有功功率和视在功率的比值等于功率因数，即
cosφ=SP
（2 41）
因为发电机、变压器等电气设备的容量用视在功率表示时，等于额定电压和额定电流的乘积，即S=UI。在正常运行时，电流、电压应不能超过其额定值，从而发电机、变压器所输出的有功功率则与负荷的功率因数有关，即
P=UIcosφ=Scosφ
当S恒定时，若cosφ过低，则电源设备所输出的有功功率就要减少，使设备的容量不能得到充分的利用。例如有一台S=50kVA的变压器，当cosφ=1时，输出的有功功率
P=Scosφ=50×1=50kW；当cosφ=0.8时，P=50×0.8=40kW；当cosφ=0.6时，P=50×0.6=30kW。cosφ越低，输出的有功功率越少。
当负荷所需要的有功功率恒定时，cosφ越低，线路上输送的无功功率就要增多，从而使线路上的电流增大，造成线路的电压降和功率损耗增大。线路压降增大，将使负荷端的电压太低，导致灯光变暗和电动机的转速下降，严重时还会烧毁电动机。线路功率损耗增大，将造成电能的浪费，所以一定要注意适当提高负荷的功率因数。
五、三相交流电路
1.三相交流电动势
（1）三相交流电动势的产生
三相交流电动势是由三相交流发电机产生的，图124所示为三相交流发电机工作原理示意图。
三相交流发电机的构成与图213所示单相交流发电机相比较，只不过是在磁场中的电枢上放置了三个在空间彼此相差120°、结构完全相同的绕组，一个绕组为一相。三个绕组的首端分别用U、V、W表示；末端分别用X、Y、Z表示。当电枢在外力作用下按逆时针方向旋转时，图224中UX绕组从水平位置开始切割磁力线，它的初相位为零，则在UX绕组中产生感应电动势的瞬时值为
eU=EUmsinωt
VY绕组比UX绕组在空间上后移120°，绕组中产生的感应电动势的瞬时值为
eV=EVmsin（ωt-120°）
WZ绕组比UX绕组在空间上后移240°或者说前移120°，绕组中感应电动势的瞬时值为
eW=EWmsin（ωt-240°）
或
eW=EWmsin（ωt+120°）
由于三个绕组结构相同，所以在三个绕组中感应电动势的最大值相等，即EUm=EVm=EWm=Em；三个绕组以同一角速度在磁场中等速旋转，所以三个感应电动势的角频率相同；三个绕组在空间上互差120°，所以三个感应电动势的相位互差120°。这样，三个最大值相等、角频率相同、相位互差120°的电动势，叫做对称三相电动势。其相量图和波形图，如图225所示。
图224 三相交流发电机
图225 对称三相电动势的相量图和波形图
工作原理示意图
（a）相量图；（b）波形图
对称三相电动势的相量和等于零，即
+
+
=0；任一瞬间的代数和也为零，
即eU+eV+eW=0。
（2）相序
在实际应用中常说到相序这个名词。所谓相序是指三相交流电相位的顺序，它是三相电动势到达最大值的先后次序，习惯上用U—V—W表示。在确定相序时，可以先把任何一相定为U相，另外两相中比U相落后120°的就是V相（滞后相），比U相超前120°的就是 W相（超前相），这种相序排列叫做正序。通常在电源母线上用黄、绿、红三种颜色
分别表示U、V、W三相。
2.电源绕组的连接
（1）电源绕组连接的两种方式
三相交流发电机的三个绕组并不是分别单独向外送电的，而是按照一定的方式，连接成一个整体向负荷供电。绕组的连接方式有两种，即星形连接和三角形连接。星形连接的形状
像英文字母的Y，因此星形连接也叫做Y连接。三角形连接的形状△象希腊字母的Δ，英文发音是Delta（德耳塔），因此三角形连接也叫D连接。
（2）电源绕组的星形连接
图226 三相电源绕组的星形连接
（a）电路图；（b）相电压与线电压的相量图
所谓星形连接，就是将电源三相绕组的末端连接在一起，成为一个公共点，叫做中性点，英语称为Neutral-Point，因此用字母N表示中性点。从中性点引出的导线叫做中性线，也用字母N表示。从每相绕组的首端引出的导线，叫做相线，用字母 L表示，依其相序分别用 U、V、W表示电源
三相，用L1、L2、L3表示导线三相，如图2 26（a）所示。
图226中，每相绕组首末两端之间的电压，叫做相电压，如uU、uV、uW。正常情况下各相电压与相应的各相电动势基本相等。所以三个相电压也是对称的，且三个相电压的有效值大小相等。两相线之间的电压，或两绕组首端与首端之间的电压，叫做线电压，如uUV、uVW、uWU。经分析和实测得知，当电源电压对称且接成星形时，线电压等于相电
压的㊣3倍，各线电压超前相应的相电压30°，即
超前
°，
超前
°，
超前
°。三个线电压之间的相位差也都是120°。因此，三个线电压也是对称的。电源星形连接时，相电压和线电压的相量图如图2 26（b）所示。
配电变压器的三相绕组一般都采用星形连接，低压侧的相电压是220V；线电压是380V。用三相三线制（三根相线）或三相四线制（三根相线和一根中性线）向负荷供电。380V电压可给三相电动机供电，220V电压可给电灯等单相负载供电。
（3）电源绕组的三角形连接
所谓三角形连接，是将电源三相绕组中一相绕组的末端和另一相绕组的首端依次连接成闭合回路，例如X接V、Y接 W、Z接U，连接成一个闭合三角形，再从三个连接点引出三根导线，用三相三线制电路给负荷供电，如图227所示。
三角形连接时的相电压等于线电压。
图227 三相电源绕组的
图228 负荷的连接方式
三角形连接
（a）单相负荷的星形连接方式；（b）三相负荷的星形连接方式；（c）三相
负荷的三角形连接方式；（d）单相负荷的三角形连接方式
3.三相负荷的连接方法
负荷有三相负荷（如三相电动机等）和单相负荷（如电灯、电风扇、电视机、洗衣机、收录机等）两大类。三相负荷也是采用星形或三角形连接，连接的方法与电源相同。星形连接时，将各相负荷的首端分别接在电源的相线上，末端连接在一起。三角形连接时，将各相负荷跨接在电源的两根相线之间。究竟采用哪种接法，要根据负荷的额定电压和电源电压来决定，如图228所示。
如果负荷的额定电压等于电源相电压，三相负荷应接成星形，如图2 28（b）所示；如果负荷的额定电压等于电源线电压，三相负荷应接成三角形，如图2 28（c）所示。对于单相负荷，可按负荷的额定电压等于电源相电压或线电压的原则，接在电源和相电压或线电压上，如图2 28（a）、（d）所示。为了使三相电源电压对称，单相负荷应尽量均匀地分接在三相电源上，使电源的三相负荷尽可能平衡。
4.电源、负荷都是星形连接的三相电路（1）三相四线制电路
三相四线制电路如图229所示，ZU、ZV、ZW分别为各相负荷的阻抗。各相负荷承受的电压称为负荷的相电压。流过各相负荷的电流称为负荷的相电流。流过中性线的电流称为中性线电流。它们的正方向如图229箭头所指的方向。
相电流的计算分别为
IU=UZ′UU，IV=UZ′VV，IW=UZ′WW
图229 三相四线制电路
各相负荷的相电压与相电流之间的相位差可按下式计算
tanφU=RXUU，tanφV=RXVV，tanφW=RXWW
（2 42）
式中 RU、RV、RW———各相负荷的电阻，Ω；
XU、XV、XW———各相负荷的电抗，Ω；
tanφU、tanφV、tanφW———各相负荷相电压与相电流之间相位差的正切值。
【例2 11】有三个单相负荷RU=5Ω，RV=10Ω，RW=20Ω，接于三相四线制电路
中，电源三相对称相电压Uph=220V，试求各相电流和中性线电流。
解：依题意画出电路图，如图2 30（a）所示。因为各相负荷的相电压U′U=U′V=
U′W=220V，则各相电流为
IU=UR′UU=2520=44（A）IV=UR′VV=21200=22（A）IW=UR′WW=22200=11（A）
中性线电流为三相电流之相量和，即
=
+
+
。先按比例画出负荷的对称三相电压U′U、U′V、U′W。由于各相负荷均为电阻，所以各相负荷的相电流与相电压同相位，
按比例画出
、
、
。用平行四边形法则画出
、
、
的相量和，得出
，如图2 30（b）所示，然后量出
的长度乘以比例即得IN=29A。
图230[例111]的三相四线制电路
（a）电路图；（b）相量图
（2）三相三线制电路
若三相负荷的XU=XV=XW=X，RU
=RV=RW=R时，则称为三相对称负荷。
图231 三相三线制电路
如将三相对称负荷接于三相四线制电路中，三相负荷上的电压及电流都是对称的，相位互差120°。三相电流的相量和为零。因此，可将中性线去掉，并不影响电路的运行、分析和计算。图231所示的三相三线制电
路，适用于给三相对称负荷（如三相电动机等）供电，在工、农业生产中应用极广。
由于三相三线制电路三相电流对称，所以电路的计算可简化为单相电路计算。应用UZ及cosφ=ZR先算出一相的电流及相位，然后根据三相对称关系即可得知其他两相的电流
及相位。
【例212】有一星形连接的三相对称负荷，接于三相三线制电路中，每相电
阻R=6Ω，电感电抗XL=8Ω、电源线电
压为380V，求各相负荷电流的有效值并写出各相电流瞬时值表达式和画出电压、电流相量图。
解：由题意得知该电路为一个三相三线制的对称三相电路，可以只计算一相，如U相电路如图2 32（a）所示。已知电源线电压为380V，则相电压为
图232[例112]的三相三线制对称电路
（a）单相电路图；（b）相量图
UU=Uph=3
㊣830=220（V）
各相电流有效值为
IU=Iph=UZU=
㊣R222+0X2L=
㊣6222+082=22（A）
IW=IV=IU=22A
各相电流和电压之间的相位差为
tanφU=RX，φU=arctan-1RX=arctan-1 86=53°8′
φU=φV=φW=53°8′
设以U相电压为参考正弦量，则各相电流瞬时值为
iU=㊣2×22sin（ωt-53.13°）（A）iV=㊣2×22sin（ωt-173.13°）（A）iW=㊣2×22sin（ωt+66.87°）（A）
电流、电压相量图，见图1 32（b）。
5.电源星形连接、负荷三角形连接的对称三相电路
这种三相电路在实际工程中常采用，每相负荷承受的电压为电源线电压，如图233
（a）所示。
由于三相对称负载接于三相对称电压上，因而三相电流也是对称的，因此，只需计算一相即可。如计算U′V′相电流，即
IUV=UZUV，tanφUV=RX
其余两相电流可按对称关系直接写出
IVW=IWU=IUV=Iph=UZ
图233 电源星形连接、负荷三角形连接的对称三相电路
（a）电路图；（b）相量图
φVW=φWU=φUV=φ，tanφ=RX
线电流和相电流的关系，如图2 33（b）所示。三个负荷相电压组成一个正三角形，三个负荷相电流分别落后于三个相应的负荷相电压一个φ角，线电流为相邻两个负载相电
流之差，线电流比相应相电流落后30°，即
比
落后30°，
比
落后30°，比
落后30°；线电流的有效值（I1）是相电流有效值（Iph）的㊣3倍，即IU=
㊣3IUV ，IV=㊣3IVW ，IW=㊣3IWU ，总之，I1=㊣3Iph。
【例213】有三个线圈，它们的电阻R=6Ω，电抗X=8Ω，接成三角形，接于三相对称相电压为127V的星接电源上，试求相电流和线电流。
解：对于电源和负荷都是对称的三相三线制电路，可只计算一相。先算出电源的线电压为
U1=㊣3Uph=㊣3×127=220（V）
每相负荷阻抗
Z=㊣R2+X2=㊣62+82=10（Ω）
负荷相电压
U′ph=U1=220（V）
负荷相电流
I′ph=UZ′ph=21200=22（A）
负荷线电流
I1=㊣3Iph=㊣3×22=38（A）
6.三相电路的功率
三相负荷接于三相电源上，无论负荷接成星形还是三角形，每相负荷的有功功率、无功功率、视在功率都和单相电路功率的计算方法一样。现以U相电路为例
PU=UUIUcosφU QU=UUIUsinφU
SU=UUIU
三相负荷的总有功功率、总无功功率等于各相负荷相应功率的和，视在功率可用功率三角形关系求得，即
P=PU+PV+PW=㊣3U1I1cosφph
（2 43）
Q=QU+QV+QW=㊣3U1I1sinφph
（2 44）
S=㊣P2+Q2=㊣3U1I1
（2 45）
式中 P———三相对称电路的有功功率，W；
Q———三相对称电路的无功功率，var；S———三相对称电路的视在功率，VA；
U1———线电压，V；I1———线电流，A；
cosφph———相负荷的功率因数。
【例2 14】有一台电动机，铭牌标注接线是Y，d（Y/△），电压是380/220V，电流是6.48/11.2A，cosφ=0.84。试计算电动机在Y、△两种接线情况下，带额定负荷运
行时输入电动机的功率。
解：由电动机铭牌得知，电动机绕组接成Y时，线电压为380V，线电流为6.48A，带额定负荷运行时输入功率为
Pi=㊣3U1I1cosφ=㊣3×380×6.48×0.84
=3582.6（W）=3.6kW
当电动机绕组接成△时，线电压为220V，线电流为11.2A，带额定负荷运行时输入功率为
Pi=㊣3U1I1cosφ=㊣3×220×11.2×0.84
=3585（W）=3.6kW
由计算结果得知，此种电动机接线时，应按电源线电压的数值，对照铭牌选择对应的接线方式。两种接线方式下运行时，电动机的功率是一样的。
六、实用电工计算
【例215】一个220V、3A的单相电能表，能承担的最大负荷为多少瓦?
解：P=UI=220×3=660（W）
答：单相220V、3A电能表可承担660W的负荷。
【例216】有一用户，装有40W灯泡三个，145W电冰箱一台，800W电饭锅一个，假如同时使用，问该用户需安装几安的电能表来计量用电?
解：（1）先求出该用户总的负荷为
P∑=3×40+145+800=1065（W）
（2）求电流
I=UP=1202605=4.8（A）
答：可装一只220V、5A的单相电能表。
【例217】一台5kVA的电焊机，接入电压为220V的电路中，使用1h，消耗有功电能2.5kWh，电流是22.7A，试求这台电焊机的功率因数是多少?
解：
cosφ=UPI=（2.252÷01×）2×2.17000=0.5
答：该台电焊机的cosφ=0.5。
【例218】有一台4.5kW的三相电动机，功率因数cosφ为0.8，额定电压为
380V，求I1为多少?
解：根据式（143）三相电动机的有功功率
P=㊣3U1I1cosφ
则
I1=㊣
3UP1cosφ=1.743.5××381000×00.8=8.56（A）
答：该电动机的I1=8.56A。
【例2 19】某村庄有4kW碾米机5台，7.5kW水泵一台，11kW饲料粉碎机一台，
这些动力设备经常同时使用，问需要选用多大容量的变压器供电?
解：（1）求出总功率P
P=4×5+7.5+11=38.5（kW）
（2）求变压器容量S
因为P=Scosφ，取cosφ=0.8。
则
S=coPsφ=308..85=48.13≈50（kVA）
答：可选用额定容量为50kVA的变压器供电。
【例220】有一台额定容量为100kVA的配电变压器，其高压侧额定电压为10kV，低压侧额定电压为0.4kV。试求高、低压侧额定电流为多少?可带多少有功负荷?
解：（1）根据公式（1 45），得
S=㊣3U1I1
则
I11=㊣
3SU11=1.71300×10=5.78（A）I12=㊣
3SU12=1.7130×00.4=144.5（A）
（2）取功率因数cosφ=0.8
则
P=Scosφ=100×0.8=80（kW）
答：额定容量100kVA的变压器其高压侧额定电流为5.78A，低压侧额定电流为
144.5A。当cosφ=0.8时，可带80kW的有功负荷。