从摆动的吊灯到GPS

传说在伽利略还是一个十几岁的医科学生时，他就取得了第一个科学发现。一天在比萨大教堂参加弥撒仪式时，他注意到头顶上方的一盏吊灯在来回摆动，就像钟摆一样。伽利略通过观察发现，在气流的不断推挤下，无论吊灯的摆动幅度是大还是小，它每完成一次摆动的用时都相同。这让他吃惊不已，完成一次大幅度摆动的用时和完成一次小幅度摆动的用时怎么会相同呢？但他越思考，就越觉得有道理。当吊灯的摆动幅度大时，尽管它经过的距离更远，但运动速度也更快。也许，这两种效应相互抵消了。为了验证这个想法，伽利略用他的脉搏测量了吊灯摆动的时间。果不其然，每次摆动的用时（心跳数）都是相同的。

尽管这个传说很奇妙，我也愿意相信它，但许多历史学家都对它的真实性表示怀疑。这个传说来自伽利略的第一位也是最忠诚的传记作家温琴佐·维维亚尼，他年轻时是伽利略的助手和学生，那时伽利略被软禁在家，完全失明，生命即将走到尽头。众所周知，在伽利略去世数年之后，维维亚尼开始为他的老师写作传记，出于对伽利略的尊敬，他渲染其中的一两则故事也是可以理解的。

就算这个故事是杜撰的（可能并不是！），我们也确切地知道伽利略早在1602年就进行了仔细的钟摆实验，并在1638年出版的《关于两门新科学的对话》中提到了这些实验。在这本以苏格拉底式对话为结构的书中，其中一个角色听起来似乎和年轻、爱幻想的伽利略一起置身于大教堂，“我曾几千次观察到振动现象，特别是在教堂内，那里的灯都用长绳子悬挂着，不经意间就开始运动了。”余下的对话阐述了这样一个观点：钟摆经过任意长度弧的用时都相同。因此，我们知道伽利略对维维亚尼故事中描述的现象非常熟悉；至于他是不是真的在十几岁时就发现了这一现象，谁也说不准。

无论如何，伽利略的“钟摆摆动的用时总是相同”的论断并不完全正确；摆动幅度越大，用时就会越长。但如果弧足够小，比如不到20度，他的说法几乎就是对的。今天，我们把这种小幅度摆动的节奏不变性称为钟摆的等时性，它构成了节拍器和摆钟（从普通的落地式大摆钟到像伦敦大本钟那样的塔钟）的理论基础。在他生命的最后一年，伽利略设计了世界上的第一座摆钟，但还未建造好他就去世了。15年后，荷兰数学家和物理学家克里斯蒂安·惠更斯发明了第一座实用摆钟。

对他自己发现的一个关于钟摆的奇怪事实，即它的长度与周期（钟摆来回摆动一次的用时）之间的优雅关系，伽利略特别感兴趣，却又备感沮丧。正如他解释的那样，“如果某人想让一个钟摆的摆动时间是另一个钟摆的2倍，那么他必须使前者的长度达到后者的4倍。”他还用比例的语言陈述了一个一般性规律，“对于悬吊在长度不同的线上的物体，这些线的长度之比等于时间的平方之比。”遗憾的是，伽利略未能成功地从数学上推导出这个规律，所以它是一个迫切需要理论解释的经验性规律。他为此努力多年，但始终没有解决这个问题。现在回头想想，我们会发现他不可能成功，因为解释这个规律需要用到一种超出他和他同时代人的知识范畴的新数学工具。直到艾萨克·牛顿发现上帝的语言——微分方程，这个规律的数学推导才得以完成。

伽利略坦承，钟摆实验“在许多人看来可能是极其枯燥乏味的”，但后来的研究结果表明事实并非如此。在数学领域，钟摆摆动带来的谜题刺激了微积分的发展。在物理学和工程学领域，钟摆摆动变成了振动的范式。就像威廉·布莱克写下的诗句“从一颗沙子看世界”一样，物理学家和工程师学会了“从钟摆的摆动看世界”。这种数学工具适用于所有发生振动的地方：人行天桥的令人不安的振动，减振器偏软导致的汽车颠簸，负荷不平衡使洗衣机发出的巨大异响，百叶窗在微风中的振抖，余震中大地的隆隆声，荧光灯60个周期/秒的嗡嗡声……今天，每个科技领域都有各自的往复式运动或节律性回位。钟摆摆动是所有这些振动现象的“始祖”，它的规律具有普适性，用“枯燥”一词来形容这个规律并不恰当。

在某些情况下，钟摆和其他现象之间的联系非常精确，以至于同样的方程无须改变就可以反复利用。只有符号需要重新解释，而句法保持不变，这就好像大自然一再地回到同一个模体，不断重复着钟摆型主题。比如，旋转的发电机可以产生交流电并把它输送到我们的家中和办公室里，而描述钟摆摆动的方程也可以不加改变地用于描述发电机的旋转。为了纪念这一渊源，电气工程师将他们的发电机方程称为摆动方程。

有一种高科技设备的运行速度比所有发电机或落地式大摆钟都要快几十亿倍，而它的体积只有后者的几百万分之一，在这种设备的量子振动中，同样的方程像变色龙一样再次出现。1962年，22岁的剑桥大学研究生布赖恩·约瑟夫森做出了这样一个预测：在接近绝对零度的温度条件下，成对的超导电子可以来回隧穿一道难以穿透的绝缘屏障。根据经典物理学，这是一种荒谬的说法。不过，微积分和量子力学把这种钟摆样振动召唤到现实中，或者换一种不那么神秘的说法就是，它们揭示了发生这种现象的可能性。在约瑟夫森预言这些幽灵般的振动现象的两年之后，实验室具备了实现它们所需的条件，并证实了这一预言。由此诞生的器件现在被称为约瑟夫森结，它的实际用途有很多。它能探测到只有地球磁场强度的1 000亿分之一的超弱磁场，有助于地球物理学家在地下深处寻找石油。神经外科医生利用由数百个约瑟夫森结组成的阵列，可以准确地找到脑瘤的位置，并定位癫痫患者的致痫病变。与探查术不同，这种手术是完全无创的，其原理是绘制出大脑中的异常电通路所产生磁场的微妙变化图。约瑟夫森结也可以为下一代计算机中的极速芯片奠定基础，甚至有可能在量子计算中发挥作用。一旦量子计算成为现实，将会给计算机科学带来革命性变化。

钟摆还赋予了人类第一种准确计时的方法。在摆钟出现之前，最好的时钟即使在理想条件下，每天的走时也会快或慢15分钟，让人不甚满意。而摆钟的走时比时钟准确100倍，它为解决伽利略时代的最大技术挑战——找到在海上确定经度的方法——带来了第一个真正的希望。纬度可以通过观察太阳或恒星来确定，而经度在自然环境中没有对应物。尽管它是一个非自然的概念，对它的测量却是一个真实存在的问题。在大航海时代，水手们虽然长时间地出海作战或者开展贸易，但他们常常因为不清楚自己身在哪里而迷路或者触礁。葡萄牙、西班牙、英国和荷兰政府都曾悬赏巨资寻找能解决经度问题的人，这是当时关注度最高的挑战之一。

在伽利略生命的最后一年，当他尝试设计摆钟时，经度问题已经牢牢地扎根在他心里了。自16世纪以来科学家就知道，如果有一台非常精确的时钟，经度问题便可以解决，伽利略也清楚这一点。航海家在始发港设置好时钟，把家乡时间带出海。为了在船只向东或向西航行时确定经度，航海家可以在当地的正午时分，也就是太阳升到最高点的时候查看时钟。地球在一天的24个小时里自转了360度，所以当地时间与家乡时间的每一小时间隔都对应着15度的经度。就距离而言，15度可以转换为赤道上的1 000英里。为了让这个方案有望引导船只到达目的地，并且使误差范围达到几英里以内，时钟运行一天只允许快或慢几秒钟。此外，波涛汹涌的大海及气压、温度、盐度和湿度的剧烈波动，都会造成时钟的齿轮生锈、弹簧变松、润滑剂变黏稠，面对这些可能导致走时变快、变慢或停止的因素，时钟必须始终保持其精确度。

在建造出摆钟并利用它解决经度问题之前，伽利略就去世了。克里斯蒂安·惠更斯把他的摆钟作为一种可能的解决方案，提交给伦敦皇家学会，但并没有得到学会的认可，因为这些摆钟对外界干扰过于敏感。惠更斯后来发明了一种航海天文钟，它的走时不是由钟摆而是由平衡摆轮和平面涡卷弹簧控制的，这种创新性设计为怀表和现代腕表的发明铺平了道路。不过一种新型时钟最终解决了经度问题，它是由英国人约翰·哈里森在18世纪中期发明的，尽管哈里森并未接受过正规教育。在18世纪60年代的海上测试中，他的H4航海钟追踪经度的精确度达到了10英里，当之无愧地赢得了英国议会的两万英镑（相当于今天的几百万美元）奖励。

在我们的时代，地球上的导航问题仍然依赖于对时间的精确测量。以GPS为例。就像机械时钟是解决经度问题的关键一样，原子钟是将地球上所有事物的定位精确到几米之内的关键。原子钟是伽利略摆钟的现代版本，尽管它和摆钟一样，也是通过计数振动次数来计时，但它追踪的并不是摆锤的来回摆动，而是计数铯原子在其两种能态间来回转换时的振动次数，这种能态转换每秒钟要进行9 192 631 770次。虽然原子钟和摆钟的运行机制不同，但原理是一样的，即重复性的往复运动可以用来计时。

反过来，时间也可以确定你的位置。GPS的24颗卫星在12 000英里的高空绕轨运行，当你使用汽车上的GPS导航仪时，你的设备至少会从其中的4颗卫星那里接收无线信号。每颗卫星都搭载着4台原子钟，它们的时间精密度均可达到纳秒（十亿分之一秒）级。你的接收器会收到多个可见卫星发出的一连串信号，其中每个信号的时间戳都可精确到纳秒。这正是需要用到原子钟的地方，它们惊人的时间精密度被转化成我们期望GPS具有的空间精密度。

相关计算过程则依赖于三角测量，它是一种基于几何学的古代地理定位方法。对GPS而言，它的工作原理是：当接收器收到来自4颗卫星的信号时，你的GPS设备会比较信号的发送时间和接收时间。这4组时间略有不同，因为这4颗卫星和你之间的距离并不一样。你的GPS设备将这4个微小的时间差乘以光速，就可以计算出你和这4颗卫星之间的距离。由于卫星的位置已知，并且受到极其精确的控制，因此你的GPS接收器可以对这4个距离做三角测量，从而确定它自己在地球表面的位置。此外，它还可以计算出自己的海拔和速度。本质上，GPS是将非常精确的时间测量值转换为非常精确的距离测量值，然后进一步转化为非常精确的位置和运动测量值。

GPS是由美军在冷战期间开发的，它的初衷是追踪携带核导弹的美国潜艇，并为它们提供当前位置的精密估计值，以便在需要发动核打击的时候，能使它们的洲际弹道导弹十分精确地瞄准目标。如今，GPS在和平时期的应用包括：精细农业，飞机在大雾中的仪表着陆，以及可以自动为救护车和消防车计算最快路线的增强型911系统。

然而，GPS不只是一个定位和导航系统。它使时间同步的精密度达到100纳秒以内，有助于协调银行转账和其他金融交易。GPS还让无线电话和数据网络保持同步，使它们能更高效地共享电磁波谱中的频率。

我之所以做出这么详细的说明，是因为GPS是展现微积分的隐藏用途的典型例子。通常情况下，微积分都是在我们日常生活的背后默默地发挥着作用。就GPS而言，这个系统的几乎所有功能都取决于微积分。想想卫星和接收器之间的无线通信，通过麦克斯韦所做的研究，微积分预言了电磁波的存在，从而使无线通信成为可能。所以，没有微积分，就不会有无线通信和GPS。同样地，GPS卫星上的原子钟利用的是铯原子的量子力学振动，而微积分是量子力学方程及其求解方法的基础。所以，没有微积分，就不会有原子钟。虽然我还可以继续说下去，比如，微积分是计算卫星轨道和控制卫星位置的数学方法的基础，当原子钟高速运动或在弱引力场中运动时，微积分也是把爱因斯坦的相对论改正与原子钟时间结合在一起的数学方法的基础，但我希望把重点说清楚。微积分为很多使GPS成为可能的技术研发创造了条件，当然，微积分并不能独立做到这一切。尽管它是一个配角，却是一个重要的配角。和电气工程学、量子物理学、航空航天工程学等学科一样，微积分也是这个团队中不可或缺的一部分。

所以，让我们再回头看看那个坐在比萨大教堂里，思索着吊灯摆动问题的青年伽利略。我们现在知道，虽然他对钟摆及其摆动的等时性所做的思考看似无用，但实际上对文明的进程——不仅对他的时代，也对我们的时代——产生了巨大的影响。