下落、滚动与奇数定律

伽利略是科学方法的第一位实践者。他没有引用权威观点或者进行不切实际的高谈阔论，而是通过一丝不苟的观测、巧妙独特的实验和优雅的数学模型来探索自然。这种方法引领他取得了很多不同寻常的发现，其中最简单和最令人惊讶的一个是：奇数1, 3, 5, 7…隐藏在物体的下落过程中。

在伽利略之前，亚里士多德提出，重物之所以会下落，是因为它们要寻找自身在宇宙中心的天然位置。伽利略认为这些都是空话，他想要量化物体是如何下落的，而不是猜测它们为什么会下落。为了做到这一点，他需要找到一种方法，用于在下降过程中测量落体并时刻记录它们的位置。

这并不容易做到。所有从桥上扔过石头的人都知道，石头的下落速度很快。要想时刻追踪一块正在快速下降的落石，需要一个非常精确的时钟和几台十分先进的摄像机，而这些工具在伽利略生活的17世纪初都不存在。

伽利略想出了一个绝妙的解决办法，那就是减慢运动速度。他没有从桥上扔石头，而是让一个球缓慢地滚下斜坡。在物理学中，这种斜坡被称为斜面。不过，在伽利略最初的实验中，他用的是一块长而薄的木板，然后沿纵向模切出一个凹槽作为球的通道。通过减小斜坡的斜率直到它接近水平状态，他可以使球的下降速度变得尽可能缓慢，即使运用那时可用的仪器，也能测量出球在每一时刻的位置。

伽利略利用水钟记录球下降的时间，它的工作原理和秒表类似。开始计时的时候，他会打开阀门。然后，水会以恒定的速率通过细管稳定地流入容器。停止计时的时候，他会关闭阀门。通过对球下降过程中容器里积累的水进行称重，伽利略可以将流逝的时间精确到“1/10次脉搏跳动”以内。

他将这个实验反复做了许多次，有时是改变斜坡的倾角，有时是改变球滚过的距离。用伽利略自己的话说，他发现“一个物体从静止开始下落，在相等的时间间隔内，它依次经过的距离之比与从1开始的奇数之比相同”。

为了更清楚地阐述这个奇数定律，我们假设球在第一个单位时间内滚动了一定的距离。然后，在第二个单位时间内，它滚动的距离是第一次的3倍；在第三个单位时间内，它滚动的距离是第一次的5倍。这太令人吃惊了，奇数1, 3, 5, 7…竟然以某种方式存在于物体向下滚动的过程中。如果下落只是滚动在倾角接近垂直时的极限情况，那么下落也一定遵循同样的定律。

我们只能想象当伽利略发现该定律时，他一定非常高兴。但也要注意他是如何表述的，他用了单词、数字和比例，而不是字母、公式和方程。相较于口语，我们现在更偏爱代数表达式，但这在伽利略的时代是一种前沿、前卫、新奇的思考和说话方式。所以，伽利略不会用这种方式思考或表达他的观点，如果他这样做了，他的读者就几乎无法理解他。

为了领会伽利略奇数定律的至关重要的意义，我们来看看如果把连续的奇数相加会发生什么。在第一个单位时间之后，球移动了1个单位距离；在第二个单位时间之后，球又移动了3个单位距离。那么，从开始运动起，球一共移动了1+3=4个单位距离。在第三个单位时间之后，球一共移动了1+3+5=9个单位距离。请注意这样一个规律：数字1、4和9是连续整数的平方，即1²=1，2²=4，3²=9。所以，伽利略的奇数定律似乎暗示了物体下落的总距离与所经过时间的平方成正比。

奇数与平方之间的这种迷人的关系可以从视觉上得到证明，如图3–3所示，我们将奇数想象成L形的点阵列。

图3-3

然后，我们把它们拼在一起形成一个正方形。比如，1+3+5+7=16=4×4，这是因为我们可以将1、3、5、7这4个奇数组合成一个4×4的正方形（图3–4）。

图3-4

除了关于落体运动距离的定律之外，伽利略还发现了关于落体速度的定律。正如他说的那样，速度的增加与下落的时间成正比。有趣的是，他指的是物体的瞬时速度，而这似乎是一个自相矛盾的概念。伽利略在《关于两门新科学的对话》中煞费苦心地解释说，当一个物体从静止开始下落时，它不会像他的同时代人想的那样，从零速度突然跃升至较高的速度。准确地说，它会从零速度开始下落，在有限的时间内平稳地经过每个中间速度（有无穷多个），并不断加速。

所以，在这个落体定律中，伽利略本能地想到了瞬时速度，我们将在第6章详细介绍这个微分学概念。尽管当时他无法精准地把它表述出来，但他在直觉上清楚它的意思。