奶酪论证

阿基米德不会认同上面的这套戏法，而是通过另一种方法得出了同样的结果。他诉诸于一种微妙的论证方式，这种方式通常被称为双重归谬法或双重反证法。他证明了抛物线弓形的面积不可能小于4/3或者大于4/3，因此必然等于4/3。正如夏洛克·福尔摩斯说的那样：“在你排除了不可能的情况之后，剩下的无论多么不可思议，都一定是真相。”

在这里，从概念上看至关重要的一点是，阿基米德排除不可能情况的论证过程建立在有限数量碎片的基础之上。他指出，只要碎片的数量足够多，它们的总面积就会尽可能地接近4/3，而且差值比任何规定的公差都要小。因为阿基米德从未使用无穷的概念，所以他的证明无懈可击。时至今日，它仍然符合最严苛的标准。

如果我们把他的论证过程放到日常生活的情境中，就很容易理解其中的要点了。假设有3个人想要分享4片完全相同的奶酪（图2–16）。

图2-16

常识性的解决方案是：先给每个人分1片奶酪，再把剩下的那片平均分成3份，然后分发给他们。这是一种公平的分配方案，总的来说，每个人都可以得到1+1/3=4/3片奶酪。

但是，假设这三个人恰好都是数学家，他们在研讨会开始前绕着餐桌走来走去，并盯上了最后4片奶酪。他们中最聪明的一个碰巧叫阿基米德，他可能会给出这样的解决方案：“我吃1片奶酪，你们俩也各吃1片，剩下的1片我们分着吃。欧几里得，你把剩下的那片切成4等份而不是3等份，然后我们每人取走其中的1/4。我们不断重复这种做法，每次都把剩下的奶酪切成4等份，直到没人再对剩下的碎屑感兴趣。可以吗？欧多克索斯，别再发牢骚了。”（图2–17）

图2-17

如果照这样一直分下去，他们每个人总共可以吃到多少片奶酪呢？一种方法是用流水账记录每个人得到的奶酪片数。第一轮之后，每个人都得到1片奶酪。在第二轮，也就是又分到1/4片之后，每个人总共得到1+1/4片奶酪。在第三轮之后，1/4被等分成4个1/16，每个人总共得到1+1/4+1/16片奶酪，以此类推。笼统地讲，如果不停地切分下去，那么每个人最终总共得到1+1/4+1/16+…片奶酪。而且，由于这个无穷级数和一定等于最初4片奶酪的1/3，所以 1+1/4+1/16+…必然等于4的1/3，也就是4/3。

在《抛物线求积法》中，阿基米德给出了非常类似的论证过程，以及一张画有不同大小正方形的图表，但他从未使用无穷或者上文中与之对应的三个点（…）来表示无穷级数和。更确切地说，他是从有限和的角度进行论证的，从而在严谨性上达到了无可指摘的程度。他的重要洞见是，通过将有限的轮数考虑得足够大，就可以让右上角的小正方形（余下待分配的部分）变得比任何给定的尺寸都小。通过类似的推理过程可以得出，只要n足够大，就能让有限和1+1/4+1/16+…+(1/4)ⁿ（每个人得到的奶酪总量）尽量接近4/3。所以，答案只能是4/3。