比萨证明

在开始进行详细的讨论之前，我先简述一下论证过程。它的策略是，把圆想象成一个比萨，然后把比萨切分成无穷多块，最后神奇地将比萨块排布成一个矩形。这样一来，我们就能算出圆的面积了，因为移动比萨块显然不会改变它们原来的面积，而且我们知道如何求矩形的面积：长乘以宽。其结果就是圆的面积公式。

为了便于论证，这个比萨必须是数学意义上的理想比萨，它完全平坦，为正圆形，而且饼皮无限薄。它的周长（用字母C表示）是饼皮外缘的长度，可以通过绕饼皮一周来测量。周长通常不是比萨爱好者关心的问题，但如果我们想知道，可以用卷尺测量出C的值（图1–2）。

我们感兴趣的另一个量是比萨的半径r，它的定义是从比萨的中心到其外缘上的任意一点的距离。特别要说明的是，如果所有比萨块都是等大的，而且是从中心切到外缘，那么r也是每个比萨块的直边长度（图1–3）。

假设我们把比萨切成4等份。尽管我们可以用图1–4所示的方法把它们重新组合起来，但看上去不太可能计算出它的面积。

这个新形状看起来像球根，它的顶边和底边都呈奇怪的荷叶边状。它当然不是一个矩形，所以我们很难猜出它的面积。我们似乎在倒退，但就像所有戏剧惯用的套路那样，在获胜之前英雄都免不了身陷困境。戏剧张力正在积累当中。

不过，即使被困于此，我们也应该注意到两件事，因为它们在整个论证过程中都成立，而且最终会给出我们要找的那个矩形的尺寸。第一件需要注意的事是，比萨饼皮外缘的1/2变成了新形状的弯曲顶边，另外1/2则变成了底边。所以，新形状的顶边和底边的长度都等于比萨周长的1/2，即C/2（图1–4）。我们将会看到，这个长度最终会变成矩形的长。第二件需要注意的事是，球根形状的斜直边正是原始比萨块的直边，所以它们的长度依然是r。这个长度最终会变成矩形的宽。

我们之所以还没看到关于期望矩形的任何迹象，是因为我们切分的比萨块不够多。如果我们把比萨切成8等份，然后按照图1–5所示的方式把它们重新组合起来，得到的图形看上去就会更接近于矩形。

事实上，这个比萨开始有点儿像平行四边形了。结果还不错，至少它正在逼近一个由直线围成的图形。新形状的顶边和底边也不像之前那样弯弯曲曲了，我们切分的比萨块的数量越多，它们就会变得越扁平。和之前一样，顶边和底边的长度还是C/2，斜边长度为r。

为了使整个图形更加规整，我们可以把最左侧的比萨块纵向切成等大的两部分，然后把其中一部分移到最右侧（图1–6）。

现在这个形状看起来就很像矩形了。不可否认的是，它仍然不够完美，因为饼皮的曲率导致该形状的顶边和底边呈荷叶边状，但至少我们在进步。

既然切分出更多比萨块似乎有所帮助，我们就继续切吧。在我们把比萨分成16等份，并像之前一样对最左侧的那块进行处理后，就会得到图1–7所示的结果。

我们切的份数越多，由比萨饼皮外缘产生的荷叶边状的顶边和底边就会变得越扁平。在这个过程中我们会得到一系列形状，它们都魔法般地趋近某个矩形，我们称该矩形为极限矩形（图1–8）。

这一切的关键在于，我们可以很容易地算出这个极限矩形的面积，即让它的长和宽相乘。那么，剩下的问题就是根据圆的尺寸找出矩形的长和宽了。由于比萨块都是竖直排列的，所以矩形的宽就是比萨的半径r。矩形的长等于比萨周长的1/2，这是因为在处理新形状的每个中间阶段，比萨饼皮外缘的1/2变成了矩形的顶边，另外1/2则变成了底边。因此，矩形的长等于比萨周长的1/2，即C/2。综上所述，极限矩形的面积可以用它的长乘以宽得出，即A=r×C/2=rC/2。而且，由于移动比萨块不会改变它们的面积，所以极限矩形的面积也一定是原始比萨的面积！

古希腊数学家阿基米德在《圆的度量》中首次证明了圆的面积为A=rC/2，他的论证过程与上文讲述的方法类似，但更加严谨。

就这个论证过程而言，最具创新性的方面在于无穷发挥作用的方式。当我们只把比萨分成4等份、8等份或16等份时，最好的情况不过是把比萨重新排布成一个有荷叶边的不完美形状。在经历了不太乐观的开端之后，我们切分的比萨块的数量越多，得到的新形状就越接近于矩形。但只有在我们把比萨切分成无穷多块的极限情况下，它才会变成一个真正的矩形。这就是微积分背后的伟大思想，在无穷远处，一切都变得更简单了。