1.3 矩阵

1.3.1 矩阵的建立

MATLAB把矩阵作为基本运算对象。数值（标量）可被看成1×1的矩阵，矢量（一维数组）可被看成n×1或1×n的矩阵。在MATLAB中，不需要对矩阵的维数和类型进行说明，MATLAB会根据用户所输入的内容进行配置。创建矩阵有以下3种方法。

1.直接输入创建矩阵

通过输入矩阵中每个元素的值来建立一个矩阵，只需以左方括号开始，以逗号或空格为间隔输入元素值，行与行之间用分号或单击〈Enter〉键隔开，最后以右方括号结尾即可。当矩阵中的元素个数比较少时，这种方法非常适用。另外，用 “单引号” 界定的字符或字符串可创建字符矩阵。

【例1-6】 创建3×3数值矩阵A，B和字符矩阵C。

当矩阵较大时，可以分行输入，用〈Enter〉键代替分号，这样的输入形式比较接近线性代数中的矩阵。任何矩阵的元素内部都不能有空格，否则会被MATLAB认为是两个元素。

2.矢量法创建矩阵

矢量可以由冒号和数字产生。其格式为：

说明：矢量是从初值开始，以增量为步长，直到不超过终值的所有元素所构成的序列。步长可缺省，默认为 “1”。当矩阵中的元素很多且有规律时，可通过矢量来建立一个矩阵。其基本格式为：

【例1-7】 建立一个10以内的奇数矩阵。

3.函数法创建矩阵

利用函数可快速产生一些特别有用的矩阵，如单位矩阵、随机矩阵及零矩阵等，特殊矩阵如表1-4所示。

当某一项操作无结果时，MATLAB返回一个空矩阵。空矩阵的大小为零，但其确实存在于工作空间中，可以通过变量名访问。

【例1-8】 建立空矩阵A、单位矩阵B、常数矩阵 C、均匀分布随机矩阵 D、正态分布的随机矩阵E、零矩阵F。

建立的矩阵将保存在MATLAB的工作区中，并可以随时被调用。如果用户不用clear命令清除它，或对它重新赋值，该矩阵将一直保存在工作区中直到MATLAB关闭为止。另外，矩阵函数中只有一个输入参数，则建立的矩阵为方阵。

1.3.2 矩阵的基本运算

1.矩阵与标量的运算

运算包括加、减、乘、除和乘方运算。矩阵与标量运算是矩阵的每个元素对该标量的运算。MATLAB用符号 “^∧” 计算乘方时，按照矩阵运算规则计算，要求矩阵为方阵；用符号“.^∧” 计算乘方时，按照数组运算规则计算，对矩阵没有限制。

【例1-9】 已知矩阵A=，标量b=3，计算A+b、A∗b、A/b和A.^∧b。

2.矩阵与矩阵的运算

（1）加减运算

两个矩阵的维数完全相同时，可以进行矩阵加减法运算。如果两个矩阵的维数不相等，则MATLAB将给出错误信息，提示两个矩阵的维数不相等。

（2）乘法运算

两个矩阵的维数相容时（A的列数等于B的行数），可以进行A乘B的乘法运算。

（3）除法运算

矩阵的除法运算包括左除和右除两种运算。其中

左除：A\ B=A^-1B，A为方矩阵。其中A^-1=1/A

右除：A/B=AB^-1 ，B为方矩阵。其中B^-1=1/B

可见，左除和右除的运算过程以及对矩阵的要求是不一样的，其数学意义也不同。

（4）点运算

两个矩阵之间的点运算是按照数组运算规则计算，矩阵的对应元素直接运算。要求参加运算的矩阵大小必须相同。有 “.∗” “./” 和 “.\” 3种运算符。

【例1-10】 已知矩阵 A=，矩阵 B=，求 A∗B、A.∗B、A\B、A/B、A.\B和A./B的运算结果。

1.3.3 矩阵的操作

MATLAB中对矩阵的操作提供了多种简便的方法，可以对矩阵进行元素操作、提取子块、合并矩阵、转置等操作。

1.元素操作

MATLAB允许用户对一个矩阵的单个元素进行操作，可以通过元素的下标进行（行、列的序号是从1开始的），修改某些元素的值不会影响其他元素的值。

2.提取子块

提取矩阵的某一部分，可以使用冒号表达式。在MATLAB中，冒号 “：” 表示 “全部”。

【例1-11】 输入一个4×3的矩阵，选出前3行构成一个矩阵；选出前两列构成另一个矩阵。

3.矩阵合并

把两个矩阵合并成一个大矩阵，有两种形式：

说明：A矩阵与B矩阵的列数必须相同，B矩阵补在A矩阵的下面。

说明：A矩阵与B矩阵的行数必须相同，B矩阵补在A矩阵的右面。

4.矩阵的转置

用符号 “′”（单引号）可以进行矩阵的转置运算。

5.矩阵的展开

矩阵的展开是按照矩阵在内存中的实际存放形式展开的。矩阵的元素在内存中是按列存放的，即先存放第1列，接着存放第2列……把一个矩阵内的所有元素统一展开成一个列矢量，其指令格式为：

【例1-12】 把矩阵A=和矩阵 B=（2 4 6）合并成一个矩阵，再转置后展开。

6.矩阵的线性变换

MATLAB提供了一些矩阵变换函数，可以对矩阵作形式上的变换。矩阵的变换函数如表1-5所示。

【例1-13】 建立一个3×3的魔方矩阵，提取其对角元素和下三角矩阵，并上下翻转。

1.3.4 复数和复数矩阵

MATLAB允许在运算和函数中使用复数或复数矩阵。复数的表示借助于特殊的字符 i或j，其值在工作空间中都显示为0+1.0000i。

1.复数

复数可由以下两种方式输入：

其中，3.14为复数幅角的弧度，3为复数的模。

2.复数矩阵

复数矩阵有下列两种表示方法：

两式具有相同的结果。另外，当复数的虚部为一个确定的数值（而不是变量或矩阵）时，输入时可以省略i（或j）前面的 “∗” 符号。另外，如果 i、j被定义为其他变量（例如在程序设计中常常习惯于将i和j作为循环变量），则应定义另一个新的复数单位，如

这里将i1定义成新的复数单位。

1.3.5 稀疏矩阵

在许多工程实践中，经常会出现一些只包含几个非零元素，而其他大量的元素都为零值的矩阵，这种矩阵被称为稀疏矩阵。如果按普通的矩阵处理方法来处理这些矩阵，不但会占用许多存储空间，同时也会严重地影响运行速度。为了避免这些缺点，对于那些具有大量零元素的矩阵，MATLAB采用一种不同于一般矩阵的处理方法，只存储非零元素的数值以及这些元素所对应的下标。例如，设矩阵A=，A 是具有稀疏特征的矩阵，其完全存储方式是列存储每个元素，共有 12 个元素，即 2，0，0，0，0，0，3，0，0，1，0，0。其稀疏存储方式为（1，1），2，（2，3），3，（3，2），1。稀疏存储方式占用9个元素空间，当原矩阵更大且更加 “稀疏” 时，稀疏存储方式会更有效地提高空间利用率。

虽然MATLAB对稀疏矩阵采用了特殊的处理，但其各种运算的规则仍然和完全矩阵一样。另外，MATLAB也有专门的函数来处理稀疏矩阵，如表1-6所示。

【例1-14】 将矩阵A=转化为稀疏矩阵B，并察看；再将稀疏矩阵B转化为完全矩阵C。