前言

已知的各种理论, 时常可以用不同的物理概念来描述, 而它们做出的一切预测可能都是等价的, 因此它们在科学上没有区别. 然而, 当试图从那个基础走向未知世界时, 这些理论在人们心理上则是不同的. 因为不同的观点可能会提示做出不同的修正, 所以在企图了解尚未被理解的事物时, 由它们产生的假设并非是等价的.

R. P. Feynman [1966]

一个寓言

假想有一个社会, 在那里, 鼓励（甚至是强迫）到了一定年龄的公民去读乐谱（有时还要谱曲）, 这一切都是令人尊敬的. 然而这个社会有一个非常奇怪且令人苦恼的法律（几乎没有人记得这个法律是怎么来的）——禁止听音乐和演奏音乐!

在这个社会里, 虽然音乐的重要性是被广泛承认的, 但是由于某些原因, 音乐并没有被广泛地欣赏. 可以肯定, 教授们在起劲地揣摩巴赫、瓦格纳等人的伟大作品, 他们尽其所能地向学生们传授他们在这些作品中找到的美丽的含义, 但是如果劈头劈脑地问问他们“这究竟有什么意义”, 他们只能无言以对!

这个寓言里, 立法禁止学音乐的学生直接从“声音的直觉”去体验与理解音乐, 这明显是不公正不合理的. 但是在我们的数学家社会里就有这样的法律. 这是一条不成文的法律. 虽然轻视它的人也还可能发迹, 但是这是一条法律, 那就是：禁止数学成为可视的!

很可能当一个人随便打开一本关于随便什么主题的现代数学教材时, 他面对的就是抽象的符号推理, 与他关于实际世界的感官经验完全脱节, 尽管他正在研究的现象时常是借助于几何（可能还有物理）直觉才发现的.

这反映了一个事实：近几百年来形象思维在数学中的名声被玷污了. 虽然伟大的数学家们从来也不在意这种风尚, 然而“街头巷尾的数学家们”直到前不久才接受了几何的挑战.

这本书将用一种新的、可以看得见的（即可视化的）论证方式解释初等复分析的真理, 公开地向当前占统治地位的纯符号逻辑推理叫板！

计算机

对几何学的兴趣之所以又重新升起, 部分是由于广大群众都能使用计算机来画出种种数学对象, 也可能是由于与此有关的对混沌与分形理论的狂热的兴趣. 本书则主张比较清醒地把计算机作为几何推理的辅助.

我一直鼓励读者这样来看计算机：把它比喻为一个物理学家的实验室——它既可以用来检验关于世界构造的现有观念, 又可以用来发现新现象, 从而要求用新的观念做出新的解释. 我在全书中都建议这样来使用计算机, 但是我刻意避免给出详细的教导. 理由很简单：数学观念是长存的东西, 而几乎很少有比计算机硬件和软件更加转瞬即逝的东西了.

尽管如此, “”程序仍是当前可视地探讨本书中各种观念的最好工具, 可以从Lascaux Graphics公司的网站免费下载其试用版. 如能使用诸如Mapler®或Mathematicar®这种多用途的数学引擎, 有时也是有好处的. 然而我想强调一下：不使用计算机也能完全理解全书.

本书是在牛顿的“创世纪”中生成的

1982年夏天, 我在韦斯特福尔著名的牛顿传记（Westfall [1980]）的鼓舞下, 用功研读了牛顿的杰作《自然哲学的数学原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Newton [1687], 以下简称《原理》）. 诺贝尔物理学奖得主钱德拉塞卡（S. Chandrasekhar）的书（Chandrasekhar [1995]）追求的是完全展示牛顿在《原理》中提出的各种结论中所蕴含的自然本性, 本书则是着迷于牛顿的方法.

众所周知, 1665年出版的牛顿的微积分的最初版本和我们现在学的微积分很不一样：它的本质是幂级数运算, 而牛顿把对于幂级数的运算比喻为在算术中运用十进制小数展开式. 符号演算——就是现在每一本标准教科书上的那种微积分的讲法——通常是与莱布尼茨的名字连在一起的, 牛顿虽然完全熟悉它, 却认为它对于自己只有附带的意义. 毕竟, 牛顿运用幂级数就能计算那样的积分, 像计算一样容易. 请莱布尼茨也来试试这件事！

人们不甚知晓的是, 到了1680年左右, 牛顿对这两种方法都不再着迷, 那时他着手撰写微积分的第3种版本, 并以几何为基础. 这种“几何微积分”正是推动牛顿的《原理》走向辉煌的物理学的数学动力.

我在掌握了牛顿的方法以后, 就立刻在我教微积分入门课程中试了试自己的身手. 可以举一个例子来帮助说明这是什么意思. 我们来证明, 如果, 则. 如果我们让增加一个小量, 则也将增加一个量, 如下图所示. 要想得出结果, 只需注意到, 当趋向0时, 其极限情况将是：图上的黑色三角形将最终相似于阴影三角形[练习]. 所以极限将是

后来我才逐渐看到这种思维方式可以多么自然地用于复平面的几何学——那是在发现复平面几乎300年后的事了！

怎样读这本书

为了使这本书读起来有趣, 我一直想把它写成好像向一位朋友面对面地解释其中的思想. 相应于此, 我也一直试图使你（读者）主动参与展开这些思想. 例如, 我在论证进展中, 时常有意地放上一两块逻辑的垫脚石, 放得相当远, 你需要停一下, 轻快地从一块石头跳到另一块石头. 这些地方都注上了“[练习]”标记；它们通常只需要做一点简单计算, 稍微想一想就行了.

这样就进到真正的习题, 它们放在每一章末尾. 我相信, 求解一个问题最本质的前提是有一种愿望要去找到解答, 所以我尽力给出一些能激起好奇心的习题. 这些习题比通常所见范围广得多, 而且在其中又时常会确立一些以后在正文中会自由用到的重要事实. 我一方面避免了那种从头至尾就只是例行计算的问题, 并且相信在求解这些问题的过程中, 读者会自动地发展出恰当的计算技巧. 另一方面, 在大量习题中我的意图正是要表明几何思维时常可以代替冗长的计算.

书中凡标有星号（*）的部分初读时均可略去. 如果你真想读加了星号的某节, 也可以略去加了星号的任何小节. 然而请注意, 加了星号的部分不一定比其他部分更难, 也不一定没有什么意思或不甚重要.

怎样教这本书

全书大约可在一年内教完. 如果想开一学期的课程, 首先必须确定, 把这门复分析教成什么类型的课程, 然后选定教这本书的路径. 我这里只提出3种可能的路径.

传统课程. 第1~9章, 略去所有加星号的材料（例如第6章全章）.

向量场课程. 为了利用Pólya向量场方法所提供的使复积分可视化的好处,可以仍按上述的“传统课程”来教, 但略去第9章而加上第10~11章中未加星号的部分.

非欧几何课程. 可以不教所有关于积分的材料, 集中注意默比乌斯（Möbius）变换和非欧几何. 复分析的这两个相关的部分可能是它对于现代数学和物理学最重要的部分, 同时又是在本科生教材中几乎被完全忽视了的部分. 但研究生水平的著作又总是假设你已经在本科生阶段见到了其主要思想：这是第22条军规的又一个例子!

这种课程可以这样来教：第1章全部; 第2章无星号部分; 第3章全部,包括加了星号的各节, 但是（也可以）略去加了星号的小节; 第4章全部; 第6章全部, 包括加了星号的各节, 但是（也可以）略去加了星号的小节.

省略与致歉

如果你和我一样, 相信数学和物理学最终是统一的, 那么你会因为复数在统辖物质的量子力学规律中所起的作用而深感复数之必要性. 同样, 罗杰􀀀彭罗斯（Roger Penrose）爵士的研究也（越来越有力地）表明, 复数在管辖时空结构的相对论规律中也起同样的中心作用. 说真的, 如果物质和时空的规律最终会得到统一, 则很可能只有在复数的援助之下才行. 本书不可能探讨这些问题, 我们只能向有兴趣的读者推荐以下著作：Feynman [1963, 1985]、Penrose [1989, 1994] 和Penrose and Rindler [1984].

一个更严重的省略是本书缺少了对黎曼曲面的讨论. 我原打算在最后一章来讨论它, 但是当我看到严肃的处理必定导致全书不合理的膨胀时, 这个计划就被放弃了. 然而, 到本书写成时, 这部分内容的架构大部分已经搭建起来了, 且仍保留在已完成的书中. 特别地, 我希望有兴趣的读者会发现, 本书最后3章对理解黎曼最初对物理学的洞察是有帮助的, 而在Klein [1881]中对此有所阐述. 也可参看Springer [1957, 第1章], 它基本上复述了Klein的专著, 又加上了一些很有好处的评述.

我以为数学史对理解数学的现状与其未来的轨迹都是不可或缺的工具. 遗憾的是, 我在本书中只能略微触及一点历史事实, 我只能推荐读者去读J. Stillwell的一本好书《数学及其历史》（Mathematics and Its History）, 即文献中的John Stillwell [1989]. 说真的, 我强烈鼓励你随本书一起读它：它不仅追溯和解释了复分析的发展, 还探讨和说明了它和其他数学领域的联系.

我愿向专业的读者致歉, 因为我发明了一个词：“伸扭”（amplitwist）[第4章]作为“导数”的同义语, 我从“伸缩”（amplification）和“扭转”（twist）两字中各取部分凑在一起, 创造了“伸扭”这个新词. 我只能说, 我是在教学过程中不得已才造了这样一个词的. 如果不用这样的词来讲授本书的思想, 那你很快就会明白我这样做的用意! 附带说一下, 还有一个先例可为“伸扭”一词辩解, 那就是克莱因（F. Klein）和比伯巴赫（Bieberbach）等人的老德国学派也造了一个类似的词. 他们用的是“eine Drehstreckung”, 即由“drehen”（扭转）和“strecken”（拉伸）合成.

就我所知, 本书中很大一部分几何的事实和论证都是新的. 我在正文中没有强调这一点, 是因为这样做没有意思：学生们不需要知道这些, 而专家们不说也知道. 然而, 如果一个思想显然是不同寻常的, 而我又知道别人曾经发表过, 我都会努力做到功归应得者.

在重新思考这么多经典数学时, 无疑会犯错误; 责任全在我个人. 感谢大家指出些错误, 我将接受并修正.

本书无疑还有许多未曾发现的毛病, 但是有一桩“罪行”是我有意去犯的, 对此我也不后悔：有许多论证是不严格的, 至少表面上看是如此. 如果你把数学仅仅看成人类的心智所创造的, 是岌岌可危的高耸的建筑物, 这就是一桩严重的罪行. 追求严格性就好比绞尽脑汁来维持这幢建筑物的稳定, 以防整个建筑物在你身旁轰然倒塌. 然而, 如果你和我一样, 相信我们的数学理论只不过是试图获取一个柏拉图式世界的某些侧面, 这个世界并非我们创造的, 我就会争论说, 开始时缺少严格性,只不过是付出了小小的代价, 使得读者能比采用其他方式更直接更愉快地看透这个世界.

特里斯坦·尼达姆

1996年6月于加州旧金山