3.将空间翻个面
至此我们讨论的都是曲面，也就是二维子空间的拓扑学性质，而对于我们存在的三维空间，我们同样能问出相似的问题，不过在三维环境下的地图填色问题就转化为：我们要用不同材料的物质拼成一块镶嵌体，以保证任意两个相邻的物体都是不同材料的，这又需要多少种材料呢？
将球面或者环面的填色问题类比到三维空间会是怎样的情况呢？我们能否设想出一些特殊的三维空间来对应普通的三维空间，就像球面、环面与平面的对应关系一样呢？
乍一看这些问题似乎没有意义。事实上，就算我们能轻松想出各式各样的表面，我们还是会倾向于相信三维空间只有一种，也就是我们所熟知的这个我们生活的空间。然而这样的观点是危险的谬见。只要我们放飞想象力，我们就能想出与欧几里得的几何教科书里所研究不尽相同的三维空间。
我们之所以会难以想象出这种区别于常规认知的三维空间，是因为我们本身就是三维生物，我们只能从“内部”观察这个我们所生活的空间，而无法像观察二维曲面那样，可以从“外部”观察。但只要动动脑，我们就能轻而易举地征服这些问题。
我们先建立一个性质类似球面的三维空间模型。球面的主要性质就是它没有边界，但它的面积是有限的，它只不过是旋转一圈之后自己闭合了。那么我们能不能设想一个与之类似的，同样是体积有限但没有边界的闭合的三维空间呢？设想两个被限制在球面当中的球体，就像被苹果皮包裹的苹果那样。
现在我们来想象，让这两个球体“互相穿过”，并且使它们的外表面结合在一起。当然我们不是说把两个像苹果这样的实体互相挤压使它们互相穿过对方，它们的外表皮就能粘在一起——就是把苹果挤碎了它们也不可能互相穿透啊！
或者我们干脆想象一个被虫子咬出错综复杂隧道的苹果。
设想有两只虫子，一只是白的，一只是黑的，它们互相憎恶，不会进入对方的隧道，因而两条隧道互不相通，尽管它们的起点位置可能非常靠近。被这样两只虫子啃食的苹果最终可能就像图18这样，拥有两条布满整个苹果内部、彼此紧密缠绕的隧道网络。
然而，尽管白虫和黑虫的隧道靠得非常近，但若想从其中一座隧道迷宫去往另一座，只能先回到苹果表面。
继续想象，如果两条隧道变得越来越细，也越来越复杂，最终整个苹果内部都会被两个重重叠叠的独立空间彻底填充，而它们彼此隔绝，只在表面相连接。
如果你不喜欢虫子，你可以参考在纽约举办的上一届世界博览会（简称世博会）[9]上的一个标志性的球形建筑里的双走廊双楼梯系统。里面的每一组楼梯都能够穿过整个建筑，但想要从第一组楼梯到达第二组楼梯，哪怕是邻近的两个位置，都需要到位于球面上的两组楼梯的交会处，再进入第二组楼梯。也就是我们说的，两个球体互相重叠但互不妨碍，即使你的朋友离你很近，但你想要见到他，和他握手，你就必须走很长的路！
需要说明的是，两组楼梯的交会处的构造与球内的任何一点并无不同，你完全可以将整个结构变形，将在外的交会处压到里面，而把球内的点外翻到球的表面。除此之外还要注意，尽管在我们的模型里两组楼梯的长度是有限的，但却不会存在“死胡同”，你在走廊或者楼梯中穿行时不会撞到墙或者栅栏。如果你走得足够远，你将会发现自己又回到了起始点。
假使从外部观察整个结构，你可以说：一个人穿过了迷宫，最后又回到了他的出发点，这不过是因为走廊的方向逐渐扭转了。但对于身处其中的人来说，他们不会有“外部”的概念，于他们而言，空间就是一个有大小而无边界的存在。我们将在下一章看到，这种没有明显边界又并非无限大的“自封闭三维空间”，在讨论宇宙的整体性质时是非常有用的。
事实上，即使是在当今望远镜有限的观测下，我们对深空的观测结果也表明，那里的空间似乎开始弯曲了，空间表现出弯折回来并最终形成封闭空间的趋势，正如我们举的苹果那个例子中被虫子吃出来的隧道一样。但在探讨这些令人激动的问题之前，我们还需要了解空间的一些其他性质。
我们与苹果和虫子的故事还没完，下一个问题是——有没有可能把一个被虫蛀过的苹果变成一个甜甜圈？当然，我们不是说让它的味道变得和甜甜圈一样，而是要它的形状和甜甜圈一样。我们在讨论的是几何学，不是厨艺。
现在我们回到前面讨论过的双苹果的例子，也就是拿两个新鲜的苹果，让它们“互相穿过”，彼此的表皮“粘在一起”。假设一条虫子在其中一个苹果里咬出了一个宽敞的环形隧道，如图19所示。注意，是在其中一个苹果里，这样隧道外的每一点就都是同属两个苹果的双重点，而隧道内只有那个没被虫子咬过的苹果的物质（指果肉、果核等）。现在我们的“双苹果”有了一个由隧道的内表面组成的自由面（图19a）。
如何将一个被虫蛀过的双苹果变成一个完好的甜甜圈。这不是魔术，这只是拓扑学！
你能将这个坏了的苹果变换成一个甜甜圈吗？当然，前提是我们要假设这个苹果的材料是可塑的，你可以将其揉成各种形状，只要不出现裂口就行。为了便于操作，我们可以将苹果切开，不过等解构结束之后我们还是需要将其粘回去。
我们先去除将“双苹果”结合在一起的皮质，然后将它们分离开来（图19b）。我们将本来就没有连在一起的两个苹果的表面分别命名为Ⅰ和Ⅰ'，以便于在接下来的操作中进行标记区分，这样我们在结束之前就可以把它们重新粘在一起了。现在，把虫蛀过的部分沿着隧道切成两半（图19c）。这样又多出了两对新的表面，同样地，为了方便之后将它们粘起来，我们将其命名为Ⅱ、Ⅱ'和Ⅲ、Ⅲ'。这一步操作也将自由面暴露了出来，它也即将成为甜甜圈的自由面。
现在，将切开的两部分拉成图19d显示的样子。自由面被拉伸成很大的面积（根据我们的假设，这种材料就是可以任意拉伸的），相应地，被切开的面Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的面积就缩小了。另外，我们在对“双苹果”中的一个苹果进行操作时，还需将另一个缩小到樱桃大小。现在，我们已经做好了将几个部分粘在一起的准备了。
首先，我们可以轻松地将Ⅲ和Ⅲ'粘到一起，得到的形状如图19e所示。然后将缩小的那一个苹果放在上一步得到的钳形结构的两端之间，将两端合起来。这样，被缩小的球面Ⅰ'就能和切开的面Ⅰ粘在一起了，而被切开的面Ⅱ和Ⅱ'也自然地重新粘在了一起。最终我们获得了一个顺滑、精致的甜甜圈。
做上面这些有什么用呢？
说实话，没什么用。这只是为了给你的想象几何学能力做一点锻炼罢了，这种脑力体操会加深你对弯曲空间和闭合空间这类不寻常的东西的理解。
如果你还想让你的想象力跨越一大步，这里倒是有一个针对上述操作的“实际应用”。
其实你的身体也具有甜甜圈的结构，只是你可能从没想过这一点。实际上，在每个生命诞生的极早期（胚胎阶段），都会经过一个名为“胚囊”的阶段，它是球状形态，中间有一条宽阔的通道，食物从一端进入，其中有用的物质被身体消化吸收，剩余部分就从另一端被排出。随着生命体的发育，这个通道会变得更细更复杂，但基本原理依旧如故——甜甜圈形的几何性质没有变。
好吧，既然你也是甜甜圈，那就试试用图19的逆向方法变换你的身体（只是想想！），使自己成为一个有内部隧道的“双苹果”。你会发现你身体里重重叠叠的部分会构成“双苹果”的主体，而整个宇宙，包括地球、月亮、太阳和恒星，都被挤进了“苹果”中的环形隧道内！
你可以试着把你想象的样子画出来，如果你能画得很好的话——萨尔瓦多·达利（Salvador Dali）[10]大概都会称赞你是超现实主义绘画的权威了！（图20）
“翻过来的宇宙”。这幅超现实主义的画作表现的是一个行走在地球表面的人仰望星空的场景。原图经图19中演示的方式进行了拓扑学变换，因而地球、太阳和星星都被包裹进人体内的狭窄通道中，被他的内部器官所包围。
尽管已经说了很多了，但如果不讨论一下左手性和右手性物体，以及它们与空间的一般性质的关系，我们就还不能结束这一部分的内容。
这一问题从一副手套开始讲起会更好理解。
如果你对比一副手套中的两只（图21），你会发现两者虽然外表完全一致，但其实有很大区别——你不能把左手套戴在右手上，反之亦是如此。你可以随意旋转、扭曲它们，但右手套还是只能戴在右手上，左手套也只能戴在左手上。同样地，在鞋子、汽车的转向机构（美系车和英系车）、高尔夫球杆和其他很多东西上，也存在着左右手性。
右手性和左手性的物体看上去很相似，但实际上大有不同。
相对而言，诸如礼帽、网球拍和其他很多东西就没有这样的区别——毕竟没人会傻到去订购一组左手专用的茶杯。如果有人要求你去找邻居借一把左手用的扳手的话，那他绝对就是在耍你。
这两类东西的区别在哪儿呢？只要稍微想一下你就会发现，像帽子或者茶杯这一类的物体，它们都是对称结构的，你可以沿着对称线将它们切成相等的两半。但手套或鞋子就不存在这样的对称结构，你无法将其切开成两个相同的部分。如果一个物体没有对称面，我们就说它是非对称的，它可以被分成两类——左手性的和右手性的。这种区别不仅存在于手套或者高尔夫球杆这些人造物体中，在自然界中也很常见。
例如，有两种蜗牛，二者在其他方面都完全一样，只是建造自己“房子”的方式有所不同：一种的壳是按顺时针方向螺旋的，另一种是逆时针的。甚至在分子这种组成一切物质的微粒中，也存在着与左手套和右手套、顺时针螺旋和逆时针螺旋的蜗牛壳一样的左右手性。
当然，你看不到分子，但从晶体的形态及其具有的光学性质上也能看出它们的非对称性。比如，就有两种糖——右旋糖和左旋糖。而且，信不信由你，还有两种吃糖的细菌，每种细菌只吃对应类型的糖。
如上所说，似乎将右手性物体，比如一只右手套，转变成左手性物体是不可能实现的。但真的是这样吗？能不能设想出一种奇妙的空间，让左右手变换能够在那里实现呢？为解答这个问题，我们需要先从高级的三维视角上观察平面中的扁平居住者。
如图22，图里展示了可能居住在平面世界的生命的例子——也就是只有两个维度的世界。那个提着一串葡萄的站立者是“正脸人”，因为他只有“正脸”，没有“侧面”。而那个动物则是一头“侧面驴”，更准确地说，是“右侧面驴”。当然我们也能画出“左侧面驴”，并且，因为它们都在平面上，所以从二维的视角来看，“左侧面驴”和“右侧面驴”之间的区别正如我们的三维空间中左右手套的区别一样，你不能将它们头并头地贴在一起，因为如果想要把它们的鼻子和尾巴分别贴在一起的话，你就必须将其中一只翻个四脚朝天，可是这样一来它就没法站立了。
这是对一种居住在平面上的二维“阴影生命”的设想，这种二维生命不太“现实”。右边的人有正脸但没有侧面，他不能把手中的葡萄送到自己的嘴里。左边的驴子倒是很容易吃到葡萄，但它只能向右走，如果想向左走就只能倒退着走。虽然驴子倒退着走的情况并不罕见，但总而言之这种情况并不好。
但如果你将一头驴子从平面上拿出来，在三维空间中翻转它，再放回去，如此两头驴子就会是一模一样的了。
以此类推，我们可以说将一只右手套变成左手套的方法，就是将其从我们所在的空间中拿开，在第四维度中适当地旋转一下，然后再放回来。但我们的物理空间不具有第四维度，所以上述的方法恐怕是不可能实现了。那有没有别的方法呢？
好，我们再回到二维世界，但不再受限于图22那样的普通平面，而是研究所谓的“莫比乌斯面”的性质。
“莫比乌斯面”这个名字源于第一位研究它的德国数学家的名字。想要制作一个莫比乌斯面也非常容易，只要将一条纸带扭一下，然后再将其两端粘起来做成一个环就可以了。如图23那样。
这种面有很多诡异的性质，其中之一只需用一把剪刀将它沿着中线剪开（沿图23中的箭头方向），你就能轻易发现。显然，你会猜想这么做的结果无非就是把它剪开成了两个环。试一下吧，你会发现你的猜想完全错了：你还是只会得到一个环，而不是两个，只不过它的长度变成了原来的两倍，而宽度只剩原来的一半！
现在我们来看看如果“阴影驴”在莫比乌斯面上行走会发生什么吧。
假设它从位置1（图23）开始走——从这个位置看，它是一头“左侧面驴”。它走啊走，经过了位置2和位置3，你可以在图上清晰地看到，最终它又重新回到了它出发的位置。但无论是你还是它都会觉得奇怪，因为它现在正处在四脚朝天的尴尬境地（位置4）。它自然可以翻个个儿，让腿着地，但这样一来它的头就朝向另一个方向了。
莫比乌斯面和克莱因瓶。
简而言之，只要在莫比乌斯面上转一圈，“左侧面驴”就可以变为“右侧面驴”了。
另外，别忘了，在这个过程中，这只驴子一直是留驻在平面上的，并没有到三维空间中进行翻转。因此我们发现，在扭曲的平面上，右手性的物体也是可以被转变成左手性的，反之亦然，只要让它们在这个扭曲面上走一圈就行了。图23所示的莫比乌斯环是另一种更为普通的表面的一部分，名为克莱因瓶（图23右侧）。它只有一个面，而且是闭合的，没有边界。如果这在二维平面上是可能的，那么在我们的三维空间中也一定存在着同样的情况，当然，这需要对空间进行一定的扭曲。我们无法像看“阴影驴”一样从外部看我们所在的空间，正所谓“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。但“天文空间是封闭的，并且以莫比乌斯面的方式扭曲着”这件事并非不可能。
如果这是真的，那么，环绕宇宙一圈的旅行者将会带着一颗长在胸腔右边的心脏返回，而手套和鞋子的生产流程则会因此而简化很多——生产商们只需要生产一边的鞋子和手套，然后载着其中的一半环绕宇宙一圈，回来的时候它们就能和剩下的一半配成一对了。
伴随着这个奇妙的想法，我们结束了对奇异空间的不寻常性质的讨论。
[1] 几何学（geometry）的名字来源于两个希腊词汇ge=earth（土地），或者说地面，meterin=to measure（测量）。显然在构造这个词时，古希腊人的兴趣点在他们的房地产上。
[2] 拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小（译注）。
[3] 这个词在拉丁语和希腊语中的意思均为对位置的研究。
[4] 笔者对古朗特和罗宾斯博士以及牛津大学出版社对再现以下段落的准许表示感谢。对本书中提出的拓扑学的基本范例有兴趣的读者可以在《什么是数学？》中找到更详尽的说明。
[5] 椒盐脆饼（pretzel）是深受欧美地区的人喜爱的一种零食，形状有点类似麻花（译注）。
[6] 在德国占领奥地利之前三种颜色就够了：瑞士涂绿色，法国和奥地利涂蓝色，德国和意大利涂黄色。 作者写作此书时正经历第二次世界大战，在战前纳粹德国吞并了奥地利（因为奥地利是希特勒的故乡），所以书中有这样的说法（译注）。
[7] 填色问题在平面上和在球面上的情况是相同的，因为当球面填色的问题被解决之后，我们只要在某个区域开一个小洞，将球面“摊开”在平面上就行了。这还是一个典型的拓扑学变换。
[8] “甜甜圈”和“轮胎”都是指中间凹陷的多面体形状（译注）。
[9] 本书初版写作的时间是第二次世界大战刚结束，纽约于1939年举办了世博会，之后第二次世界大战爆发，世博会停办，因而说“上一届”（译注）。
[10] 达利是20世纪西班牙著名画家，他的作品以超现实主义风格为主，与毕加索和马蒂斯并称为20世纪最具代表性的三大画家，代表作《记忆的永恒》（译注）。