6.3 准平衡状态下的pn结

当pn结处于平衡状态时，在自建电场作用下形成的漂移电流等于由载流子浓度差形成的扩散电流，pn结中净电流为零。

当pn结受到外界作用（如受光照或外加电压）时，外界作用将破坏pn结内电子、空穴的扩散电流和漂移电流间的平衡状态，使pn结处于非平衡状态。

下面讨论存在外加偏压，但偏压不是很大的情况下的pn结特性，即准平衡状态下的pn结特性。

6.3.1 外加偏压下pn结能带结构和耗尽层宽度

不同偏置状态下pn结的耗尽层宽度和能带图如图6-7所示。若对p型区加一个相对于n型区为正的电压V_F，则外加电压V_F称为正向偏压，pn结为正向偏置，如图6-7（b）所示。此时，pn结上的总静电势减小了V_F，即总静电势将被（V_bi-V_F）代替。因此，正向偏置电压减小了耗尽层宽度。如果对n型区加一个相对于p型区为正的电压V_R，则pn结被反向偏置，结上的静电势增加了V_R，即总静电势变为（V_bi+V_R），如图6-7（c）所示。反向偏压增加了耗尽层宽度。

把式（6-34）中的内建电势V_bi更改为（V_bi-V），得到作为外加偏压V函数的耗尽层宽度的统一表达式：

对于n⁺p结，N_D?N_A，有

对于p⁺n结，N_A?N_D，有

式中，正向偏置时电压V是正的，反向偏置时V是负的。

如果用N_B表示轻掺杂一侧的体浓度，则式（6-42）和式（6-43）可写成

由式（6-44）可见，耗尽层宽度与pn结上总静电势差的平方根成正比。

6.3.2 外加偏压时pn结的电流-电压特性

1.pn结的扩散电流与复合电流

施加正偏压时，V_F与自建电压V_bi方向相反，pn结势垒高度减低为q（V_bi-V_F），n型区中有大量电子越过耗尽区的界面x_p后，扩散到p型区成为p型区中过剩的少子，导致少子的注入。这些过剩的少子，在p型区继续扩散，在大于一个扩散长度的范围内复合，这些来自n型区的电子在p型区形成一个扩散层；同理，从p型区扩散到n型区的大量空穴也在n型区内与电子复合，来自p型区的空穴也在n型区内形成一个扩散层。两个扩散层之间夹着一个耗尽区。电子和空穴在p型区、n型区和耗尽区这3个区域中不断地因复合而消失，而损失的电子和空穴将分别通过与n型区和p型区接触的电极从电源得到补充。随着正向电压的增加，pn结中扩散电流超过漂移电流，由p型区流向n型区的扩散电流形成正向电流。正向偏压下的电流-电压特性（也称伏-安特性）如图6-8第一象限中的曲线所示。

由于n型区和p型区为中性区，区域内载流子复合的电流分量由相邻区域扩散过来的载流子形成，所以n型区和p型区中的电流分量J_n、J_p称为扩散电流分量，而耗尽区内复合形成的电流分量J_rd称为复合电流分量（这里下标中的字母d表示耗尽区）。

正向电流密度J_F为n⁺型区、耗尽区、p型区的正向电流密度之和，即

式中，J_D为正向扩散电流，J_D=J_n+J_p。

当pn结处于正向偏置时，由于n型区、p型区电阻较小，耗尽区电阻大，正向电压主要降落在耗尽区上。

当pn结反向偏置时，外加电压V_R与V_bi同向，V_R为反向电压。在pn结反向偏置下，势垒高度q（V_bi+V_R）和势垒宽度同时增加，抑制了n型区和p型区中的多子（即n型区的电子、p型区的空穴）相互扩散。而少子的漂移作用增强，将n型区中的空穴驱向p型区，p型区中的电子拉向n型区，在pn结中形成了由n型区流向p型区的反向电流。因少子在数量上远少于多子，扩散电流小，使得反向电流也比较小。pn结的反向电流-电压特性如图6-8中第三象限所示。

反向电流密度J_R为n⁺型区、耗尽区、p型区的反向电流密度之和，即

式中，为反向扩散电流，。

由图6-8可见，同质pn结的正、反向导电性差别明显，显示了太阳电池与普通pn结二极管一样具有整流特性。

如上所述，n型中性区和p型中性区中形成的是扩散电流，耗尽区中形成的是复合电流。下面先假定耗尽区是透明的，在耗尽区内电子和空穴电流是常数，并约定外加偏压V在正向偏置时是正的，反向偏置时是负的，将n型区和p型区合起来讨论电压从负变到正的完整的理想电流-电压特性，而对耗尽区的电流-电压特性单独讨论，将耗尽区作为准透明情况处理，对理想电流-电压特性进行修正。在讨论时，对正向偏置下的电流和反向偏置下的电流不再用上标“?”号加以区分。

2.n型区和p型区的电流-电压特性

为了使分析简单明了，所有公式推导均在下述理想的假设条件下进行，由此得到的pn结电流-电压特性是理想假设下的特性。

主要的假设条件：①小注入，即注入的少子浓度远小于多浓度，在外加偏压引起的中性区边界处，多子浓度的变化可以忽略不计；②耗尽区内电子和空穴电流是常数，不产生电流，也无复合电流，即将耗尽区视为透明的；③耗尽区边界外的半导体是中性的。

图6-9所示为pn结的能带图和载流子浓度。

图6-9中，n_n0和n_p0分别表示n型区和p型区在热平衡时的电子浓度；p_n0和p_p0分别表示n型区和p型区的热平衡空穴浓度。

在热平衡下，多子浓度基本上等于掺杂浓度。于是，式（6-13）可改写为

利用质量作用定律，可推得

类似地，

式（6-49）和式（6-50）表明，热平衡时，耗尽区两侧的载流子浓度差取决于pn结的静电势差V_bi；当外加偏压使pn结的静电势差发生改变时，耗尽区两侧的载流子浓度差也将随之改变。

当加正向偏压时，静电势差减小到V_bi-V_F；而施加反向偏压时，静电势差增加到V_bi+V_R。约定外加偏压V在正向偏置时是正的，反向偏置时是负的，这时可将式（6-50）改写为

式中，p_p和p_n分别为p型区和n型区在耗尽区边界的非平衡时的空穴浓度。

在小注入情况下，注入的少子浓度比多子浓度小得多，因此在耗尽区边界处（见图6-9）的空穴浓度p_p为

于是，将上述小注入条件式（6-52）和式（6-50）代入式（6-51），可得到n型区在耗尽区边界x=-x_n处的非平衡空穴浓度为

或改写为

类似地，在p型区的边界x=x_p处，非平衡空穴浓度为

或写成：

由图6-9可知，在边界-x_n和x_p处，正向偏置下，少子浓度p_n、n_p高于平衡值p_n0、n_p0，而在反向偏置下低于平衡值。式（6-53）和式（6-55）确定了耗尽区边界的少子浓度。

在理想化的假设下，耗尽区内不产生电流，全部电流都来自中性区。p型中性区不存在电场，稳态连续性方程可简化为

应用边界条件式（6-55）和n_p（x=∞）=n_p0，解式（6-57），得到：

式中，L_n为p型区中少子（电子）的扩散长度，。

于是在x=x_p处，将式（6-58）代入第5章式（5-37），可得电子扩散电流密度为

类似地，在n型中性区，有

且空穴扩散电流密度

式中，L_p为空穴的扩散长度，。由式（6-58）和式（6-60）计算的少子浓度示于图6-10的中部。该图表明，当注入的少子离开边界后，便不断与多子复合。电子和空穴扩散电流表示在图6-10的下部。边界处的电子电流和空穴电流分别由式（6-59）和式（6-61）给出。n型区的空穴电流将随距离x增加而呈指数形式增大，其扩散长度为L_p；p型区的电子电流将随距离x增加而呈指数形式衰减，其扩散长度为L_n。

通过pn结器件n型中性区和p型中性区的总扩散电流J_D是式（6-59）与式（6-61）之和，即

式中，

J_s为饱和电流密度，它是一个与外加电压不相关的常量。

在反向偏压下，V＜0，当q|V|＞3kT时，，式（6-62）变为

由此可见，此时的饱和电流密度J_s与正向电流密度方向相反。J_s为负值，是pn结将要击穿时的电流值，此时J_s称为反向饱和电流密度。

总电流J_d是外加电压的函数，当电压从负偏压变化到正偏压时，可获得电流-电压特性。式（6-62）是在理想情况下推导出的pn结器件方程式，称为理想二极管方程，也称肖克利方程^[4]。

在热平衡下，多子浓度基本上等于掺杂浓度：

再利用质量作用定律，有

从而获得反向饱和电流密度J_s的另一种与掺杂浓度和本征载流子浓度n_i相关的表述形式：

这里还要引入一个反映pn结特性的参数，称之为载流子注入比，其定义为从n型区流向p型区的电子流与从p型区流向n型区的空穴流之比。在杂质完全电离的情况下，注入比可由式（6-59）和式（6-61）得到

由于与n型区和p型区的掺杂浓度的差别相比，硅材料的D_n与D_p、L_n与L_p的差别要小得多，从此可见，注入比主要由n型区和p型区的掺杂浓度比决定。掺杂浓度高的区域，注入比也高，因此太阳电池发射区与基区形成的n⁺p结具有较高的注入比。

3.耗尽区电流-电压特性

半导体pn结的耗尽区必然存在载流子产生或复合、表面效应和大电流注入等因素。对太阳电池而言，通常情况下，这些因素中最主要的是载流子的产生或复合以及表面效应。在此先讨论耗尽区载流子的产生或复合，表面效应的影响将在后续章节中讨论。

（1）反向偏置下，耗尽区的产生电流。

在反向偏置下，耗尽区的电场加强，在势垒区内由于热激发的作用，通过复合中心产生的电子-空穴对来不及复合就被强电场扫出，造成耗尽区自由载流子的浓度远远小于平衡载流子的浓度，即n_n＜n_i。在载流子的产生-复合过程中，俘获率正比于自由载流子浓度。因此，在反向偏置条件下，耗尽区自由载流子的浓度很小，在载流子的产生-复合过程中起支配作用的不是通过禁带内的产生-复合中心上的电子和空穴的俘获过程，而是发射过程，所产生的载流子还来不及复合就被扫出耗尽区。也就是说，耗尽区内通过复合中心的载流子产生率大于复合率，具有净产生率，从而形成另一个反向电流，称为耗尽区的产生电流。

在稳态下，电子和空穴的发射过程是交替进行的。在耗尽区内的n型半导体中，可以认为p_n＜n_i和n_n＜n_i，在此条件下（p_nn_n?），意味着载流子从耗尽区中抽出，为了恢复平衡，产生-复合中心必然产生载流子。这种情况与过剩载流子注入半导体中，为恢复平衡而进行的载流子复合过程相似，可以认为净产生率实际上等于净复合率。于是，电子-空穴对的产生率可由第5章的式（5-131）得到：

式中，τ_gd为耗尽区内的产生寿命，也称产生时间：

在σ_n=σ_p=σ₀的简单情况下，式（6-69）可简化为

产生率在E_t=E_i处取最大值。当E_t离开位于禁带中央的本征费米能级E_i后，呈指数性下降。因此，只有能级E_i靠近本征费米能级的中心才对产生率有重要作用。

如果考虑E_t接近于E_i的情况，即E_t-E_i=-（E_i-E_t）≈0，此时

τ_gd可视为与之和。

耗尽区内由载流子的产生而形成的产生电流密度J_gd为

式中，w_D是耗尽层宽度。

（2）反向偏置下，pn结反向电流-电压特性。

对于pn结，在反向偏压下，V＜0，当时，，其反向电流J_R近似等于中性区的反向饱和电流和耗尽区的产生电流之和，即

如果是n⁺p结，N_D?N_A，再利用和式（6-66），可得

式（6-75）表明，反向电流已偏离理想二极管方程。

硅是n_i值较小的半导体材料，其耗尽区内产生的反向电流很可能会起支配作用。

（3）正向偏置下，耗尽区复合电流。

在正向偏置时，从p型区注入n型区的空穴和从n型区注入p型区的电子，在耗尽区复合了一部分，构成了另一股正向电流，即耗尽区复合电流。

耗尽区复合电流分量J_rd正比于复合率U_der：

想要计算耗尽区复合电流分量J_rd，必须先计算复合率U_der。

由于正向偏置下电子和空穴的浓度都超过平衡值，载流子将力图通过复合恢复其平衡，因此在耗尽区内起支配作用的产生-复合过程是电子和空穴的俘获。

由式（6-52）、式（6-55）和质量作用定律可得到在耗尽区p侧的n_pp_p：

设σ_n=σ_p=σ₀，将式（6-77）代入第5章的式（5-130），则有

从式（6-78）可见，（E_i-E_t）越小，U_der越大。因此，靠近E_i的那些中心是最有效的产生复合中心。例如，在硅材料中，金的（E_t-E_i）为0.02eV，铜的（E_t-E_i）为-0.02eV，金和铜等杂质是硅中最有效的产生与复合中心。

对于E_t=E_i的情况，式（6-78）中的净复合率可简化为

对于正向偏置，在耗尽区中最小（p_p+n_p+2n_i）处，或者说是最小（p_p+n_p）处，U_der达到最大值。

对（p_p+n_p）求导，并使其等于0，可求得极小值，即d（p_p+n_p）=0。

于是得到：

将p_p变换为形式后，再根据式（6-77），p_pn_p为定值，由此可得：

将式（6-81）代入式（6-80）后，可得：

由此可得：

将其代入式（6-77）后，可得：

同样也可导出：

由式（6-83）和式（6-84）可导出：

式中，V为外加偏压后的静电势差。

显然，在耗尽区，当p_p=n_p时，电子与空穴相遇的概率最大，E_i在E_Fp和E_Fn中间处的载流子浓度正好满足这个条件。于是，U_der的最大值为

将其代入式（6-76）后再进行积分，可得耗尽区复合电流J_rd为

式中，τ_rd为耗尽区的有效复合寿命，。

在情况下，J_rd为

（4）正向电压偏置下，pn结反向电流-电压特性。

将式（6-62）和式（6-89）代入式（6-45），可得pn结在外加正向电压偏置时的总正向电流密度J_F为

式中，J_s按式（6-63）计算。

当外加偏压使静电势差时，有

由此可见，扩散电流正比于e^qV/kT，复合电流正比于e^qV/2kT。

对于实际的pn结，可将式（6-86）改写为

式中：反向饱和电流密度J_s仍由式（6-63）计算；指数项中的η为二极管曲线因子，也称理想因子或品质因子，其值在1和2之间。当中性区扩散电流起支配作用时，η=1；当耗尽区复合电流占支配地位时，η=2。室温下实测的硅pn结正向电流-电压特性如图6-11所示^[5]。

在p_n0?n_p0的情况下，有

由于，所以有

于是在p_n0?n_p0和的情况下，将式（6-95）代入式（6-91）后得到：

由实验测量结果可知，J_F符合如下经验公式：

由图6-11还可见到，当正向电压较低时，耗尽区复合电流起支配作用，η=2；当正向电压较高时，中性区的扩散电流起支配作用，η接近于1；当正向电压更高时，η偏离1，并随着正向电压的增高而增大。

当正向偏压较大时，注入的非平衡少子浓度接近或超过该区多子浓度的情况，称为高注入情况。在高注入条件下，即注入的少子浓度大到可与多子浓度相比拟时，在pn结的p端，n_p（x=x_p）≈p_p，将此高注入条件代入式（6-84），可得n_p（x=x_p）≈。以此作为边界条件，所解得的电流近似正比于，因此在大注入条件下，电流随电压增加的速度变小。

此外，pn结的串联电阻R会产生电压IR，使耗尽区上的偏置电压降低，引起扩散电流I_D减小。考虑pn结的截面积为A时，pn结两端的电流为

式中，I_s为饱和电流：

由式（6-98）可见，I_D随R的增大而减小。

将式（6-67）代入式（6-90），可得到另一形式的完整的pn结正向电流密度J_F表达式，即

式中，等号右侧的前一项为p型区和n型区复合的扩散电流密度，显然p型区、n型区掺杂浓度N_A和N_D越大，扩散长度L_p和L_n越长，pn结正向电流密度中的扩散电流密度分量就越小；后一项为复合电流密度，与耗尽区宽度w成正比，与耗尽区中的载流子平均寿命τ_rd成反比。减小耗尽区的宽度，减少耗尽区的复合中心，延长载流子的寿命，可减小正向电流中的耗尽区复合电流密度分量。

当然，pn结正向电流除了包含正向复合电流，还包含隧穿电流，这将在以后讨论。

下面即将看到，晶体硅太阳电池实际上是一个大面积的pn结，因此pn结的特性对太阳电池有着直接的影响。由式（6-100）所表述的pn结正向电流密度J_F，实际上是在无光照情况下流过太阳电池的电流，它由载流子输运复合形成，通常也称暗电流密度J_dark，它将消耗由光生载流子输运形成的光电流，降低电池的开路电压，导致太阳电池光电转换效率降低。

6.3.3 温度对pn结电流的影响

在半导体pn结中，扩散电流密度和复合-产生电流密度都与温度密切相关，这被称为温度效应。

1.正向偏置下温度对pn结电流的影响

对于正向偏置的pn结，当qV?kT时，根据式（6-62）和式（6-89），并利用和，得到p型区空穴扩散电流密度J_pD与耗尽区复合电流密度J_rd之比为

将式（4-31），即，代入式（6-101）可得：

在正向偏置电压V较低时，由于N_D?n_i，复合电流占优势，而在正向偏置电压V较高时，迅速增大，扩散电流将占优势。在给定的正向偏压下，随着温度的增加，扩散电流比复合电流增加得更快。

对于扩散电流占优势的单边n⁺p结，由于N_D?N_A，式（6-67）表述的反向饱和电流密度J_s中的第2项可忽略，即

同样，对于扩散电流占优势的单边p⁺n结，有

由此可见，J_s都正比于，即

又根据第4章式（4-11）：

由此可见，反向饱和电流密度J_s将随温度的升高而迅速增加。

2.反向偏置下温度对pn结电流的影响

对于反向偏置的n⁺p结，当q|V|?kT时，根据式（6-103）和式（6-73），并利用，扩散电流密度与产生电流密度之比为

同样，对于反向偏置的p⁺n结，当q|V|?kT时，根据式（6-104）和式（6-73），并利用，可得到电子扩散电流密度J_D与产生电流密度J_gd之比为

由此可见，反向偏置下，无论n⁺p结还是p⁺n结，扩散电流与产生电流之比均正比于本征载流子浓度n_i，也随温度的升高而增加。随着温度的增加，扩散电流最终会占优势。