3.1　开普勒三定律

太阳系中的行星是绕着太阳公转的，而行星绕太阳公转所遵循的规律称为行星运动规律。由于是德国天文学家约翰·开普勒（1571.12.27—1630.11.15）根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过他本人的观测和分析后，于1609—1619年先后归纳提出的，故行星运动定律又称为开普勒三定律。下面简单介绍开普勒定律的发现过程。

1601年，丹麦天文学家第谷·布拉赫逝世。约翰·开普勒接替了第谷的工作，开始编制鲁道夫星表。但开普勒的兴趣和注意力更多地放在改进和完善哥白尼的日心说探讨行星轨道性质的研究上。他发现第谷的观测数据，与哥白尼体系、托勒密体系都不相符，于是他决心寻找导致这种不一致的原因和行星运行的真实轨道。最初的研究从观测与理论差异突出的火星着手，他运用传统的匀速圆周运动加偏心圆来计算，均遭到失败。经过长达4年近70次各种行星轨道形状设计方案的计算，开普勒认识到哥白尼体系的匀速圆周运动和偏心圆的轨道模式与火星的实际运动轨道不符。于是他大胆地抛弃了统治人类思想长达2000年之久的“匀速圆周运动”偏见，尝试用别的几何曲线来表示火星轨道的形状。他认为行星运动轨道的焦点应该在产生引力中心的太阳上，并进而断定火星运动的线速度不是匀速的，近太阳时快些，远太阳时慢些，并得出结论：从太阳到火星所连接的直线在一天内扫过的面积是相等的。行星运动轨迹图如图3-1所示。

开普勒把这一结论推广到其他行星上，结果也与观测数据相符。就这样，他首先得到了行星运行的等面积定律。随后他发现火星运行的轨道不是正圆，而是焦点位于太阳上的椭圆，他把这个结论应用于其他行星也是适用的，于是他又得到了行星运行的椭圆轨道定律。这两条定律发表在他1609年出版的《新天文学》一书上。但他对自己取得的成就还不满足。他渴望找到一种能适合所有行星的总体模式，把各行星联系在一起。他坚信存在着一个把全体行星完整地联系在一起的简单法则。在这个信念鼓舞下，开普勒忍受着个人在家庭方面遭受的巨大不幸，在很少有人理解和支持的困难条件下，经过9年的反复计算和假设，终于在1618年找到在大量观测数据后面隐匿的数的和谐性：行星公转周期的平方与它们到太阳的平均距离的立方成正比，这就是周期定律，即开普勒第三定律。1619年，他在《宇宙的和谐》一书中介绍了开普勒第三定律。

卫星在地球中心引力作用下的运动称为无摄运动，也称开普勒运动，其运动规律可以用开普勒定律来描述。下面就来详细介绍开普勒三大定律的具体内容。

3.1.1　开普勒第一定律

开普勒第一定律又称为椭圆定律，即卫星运行的轨道为一个椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。开普勒椭圆如图3-2所示。

此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系，即在中心引力场中，卫星绕地球运行的轨道面，是一个通过地球质心的静止的椭圆平面。这个椭圆轨道一般称为开普勒椭圆，其形状和大小不变，在椭圆轨道上，卫星离地球质心最远的一点称为远地点，而离地球质心最近的一点称为近地点，如图3-2所示。由万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程为

式中，r为卫星到地球质心的距离；as为开普勒椭圆的长半径；es为开普勒椭圆的偏心率，，其中bs为开普勒椭圆的短半径；fs为真近点角，可以描述任意时刻卫星在轨道上相对近地点的位置，是时间的函数。

3.1.2　开普勒第二定律

开普勒第二定律又称为面积定律，即卫星在过地球质心的平面内运动，其向径（地球质心与卫星质心间的距离向量）在相同的时间内所扫过的面积相等。

开普勒第二定律如图3-3所示，卫星在弧线AB、CD及EF段的运行时间相等，由开普勒第二定律可知

SOAB=SOCD=SOEF　（3-2）

开普勒第二定律表明卫星在椭圆轨道上的运行速度是不断变化的，在近地点处的速度最大，在远地点处的速度最小。

3.1.3　开普勒第三定律

开普勒第三定律又称为周期定律，即卫星运行周期的平方，与轨道椭圆长半径的立方之比为一常量，且该常量等于地球引力常数GM的倒数的4π2倍，即

式中，Ts为卫星运行的周期，即卫星绕地球运行一周所需要的时间。假设卫星运动的平均角速度为n，则n=2π/Ts，于是开普勒第三定律可写为

开普勒第三定律表明，卫星运行周期仅取决于椭圆轨道的长半径，与短半径无关，即一旦开普勒椭圆的长半径确定之后，卫星运行的平均角速度也随之确定。开普勒第三定律如图3-4所示，3个长轴均为20R的椭圆轨道，形状不同，但其平均角速度相同，这对于卫星位置计算具有很重要的意义。

开普勒三定律是天文学的一次革命，它彻底摧毁了托勒密繁杂的本轮宇宙体系，完善和简化了哥白尼的日心宇宙体系。开普勒对天文学最大的贡献在于他试图建立天体动力学，从物理基础上解释太阳系结构的动力学原因。虽然他提出的有关太阳发出的磁力驱使行星做轨道运动的观点是错误的，但他对后人寻找太阳系结构的奥秘具有重大的启发意义，为经典力学的建立、牛顿的万有引力定律的发现，都做出重要的提示。开普勒定律是总括行星运动的观察结果的规则，其中的每一条都是经验规律，都是从观察行星运动的资料中总结出来的。

事实上，开普勒定律只适用于二体问题，但是太阳系的质量主要集中于太阳，来自太阳的引力也比行星之间的引力大得多，因此行星轨道问题也近似于二体问题。关于二体问题我们将在后面的章节中具体讲解。