前言
定理与证明
——约翰·济慈，《希腊古瓮颂》
——戈弗雷·哈代，《一个数学家的辩白》
当我们说一些事情为真（true）时，我们是指什么？在科学中，真理通常以实验的形式通过观察来证明。我们知道行星在椭圆轨道上围绕太阳运动，这得益于约翰内斯·开普勒对第谷·布拉赫的测量结果殚精竭虑地思考；我们知道在真空中，光的速度是一个常数，这也是通过一遍又一遍的直接测量才得出的结论。
然而事实证明，行星轨道并不是完全椭圆的，因为它们的引力场彼此相互作用，而且不仅仅受到太阳的引力影响。我们也不知道我们所处的星系中，光速是否与仙女座星系当中的相同，因为我们没有冒险前往那里进行测量。
在科学中，真理（truth）不是绝对的；它是一个不断改进的近似序列。我们认为地球是平的，对大多数日常事务来说，这是一个非常好的近似。但是，一旦我们想要去往离家十分遥远的地方，那个近似会令我们失望。一个更好的说法是，地球是一个球体，而且运行良好。更棒的是，当我们踏上全球旅行，就会得到一个更好的发现，即地球是椭球体：赤道周围的圆周比通过两极的圆周稍大一些。这种形状先有理论的预测，然后通过测量得以验证。
然而地球是椭球体的论断也不是完全正确的：它没有考虑山脉和山谷。
另一方面，在数学上，真理是绝对的。当我们断言两个奇数的和是偶数时，我们的意思是这个论断永远是真的，100%正确。我们怎么知道的？因为我们可以证明。
数学证明源自完全的确定。其他使用证明的领域，例如，DNA证据可以作为确定有罪或无罪的证据。但这不是绝对的。测试是高度准确的，但并非完全准确。从犯罪现场收集的DNA可能会受到污染。犯罪者可能是双胞胎其中的某一个人。在犯罪现场寻找DNA不会告诉我们被告在该地点的行为，只是他/她的DNA被发现在那里而已。
在数学中，真理及其检验的标准是绝对的。真实的数学论断被称为定理（theorems）。有一个简单的例子：两个奇数的和是偶数。例如，3是奇数，11是奇数，所以它们的和3+11=14是偶数。两个奇数之和是偶数的论断绝对正确且没有例外。
那我们是怎么知道的呢？我们当然可以一遍又一遍地将一对奇数相加，并且在每种情况下都会观察到偶数的结果。但这是科学的工作方法，而不是数学的。我们绝对肯定这个定理是真实的，因为我们可以给出证明。
为了说明，我们在这里给出证明。首先，我们需要准确地说明奇数和偶数的含义。以下是定义：
如果我们可以找到一个整数a，满足X=2a+1，则整数X被称为奇数。例如，13是奇数，因为我们可以将13表示为2×6+1。
如果我们可以找到一个整数a，满足X=2a，则整数X被称为偶数。所以，一个偶数可以说是将一个整数加倍的结果，这是一种复杂的表达方式。例如，20是偶数，因为20=2×10。
通过这些定义，我们就可以证明两个奇数的和是偶数这一定理。
证明如下。设X和Y为奇数。这意味着X=2a+1且Y=2b+1，其中a和b是整数。X和Y的和可以用代数形式表示：
X+Y=（2a+1）+（2b+1）=2a+2b+2=2（a+b+1）
注意，证明不是一堆方程式。它是一个由完整的句子组成的论文，它将我们从假设（X和Y是奇数）逐步引向一个必然的结论（X+Y是偶数）。
注意X+Y是整数的2倍，即2倍的a+b+1。因此X+Y是偶数。
创建证明是有挑战性的，但比阅读别人的证明更加令人愉快，所以我邀请你尝试：证明当两个奇数相乘时，结果也是奇数。自己尝试一下，然后在下一页与我们的答案进行比较。
提示：你的证明的第一句应该是“设X和Y是奇数”。你证明的最后一句应该是“因此X×Y是奇数”。
数学的其他定理更有趣，其证明更复杂，但目标是一样的：建立一个具有100%确定性的数学事实。
综上所述：
定理是关于数学的陈述，它可以通过证明得出其真实性是无可争议的。
有趣的定理是美丽的。当你探索这本“锦囊”时，我希望你能认识并享受数学之美。
最后的话
数学家渴望听到的三个字是什么？
当然，我们和任何人一样喜欢“我爱你”，但在数学世界里，这句具有魔力的短语是“quod erat demonstrandum”。这个拉丁语短语可以粗略地翻译成“这就是我们的证明”，通常写在数学证明的尾段。然而，很少有人会完整地写出这些单词，而仅使用首字母的缩写“QED”。可悲的是，即使是这种缩写也不再流行，而现今的时尚是用一个符号，比如一个小方块“□”来标记一个证明的结尾。
证明奇数整数的乘积是奇数。
证明如下。设X和Y为奇数。这意味着X=2a+1且Y=2b+1，其中a和b是整数。X和Y的乘积可以用代数形式表示如下：
XY=（2a+1）（2b+1）=4ab+2a+2b+1=2（2ab+a+b）+1
注意，XY可以以2c+1的形式表示，其中c=2ab+a+b是整数。因此XY是奇数。