5 代数语言
我们经常提到的阿拉伯数字0～9及十进制，其实是印度人发明的，婆什迦罗是第一个使用十进制的人，婆罗摩笈多在《婆罗摩修正体系》中完整地描述了数字0和负数。后来，波斯人花拉子米撰写的《印度数字算术》把印度的十进制推广到了全世界，那时花拉子米居住在巴格达，因此印度的十进制数字被称为阿拉伯数字。花拉子米在数学史上能够与毕达哥拉斯、阿基米德和婆罗摩笈多比肩，是因为他写的另一本书《还原与对消计算概要》，后人将其翻译为《代数学》。
这本书是花拉子米应当时巴格达的哈里发马蒙的要求写的，他希望给他的人民提供一本数学指南，让每个人都能通过学习这本书来解决日常生活中可能出现的数学问题。于是，花拉子米接受了这个委托，开始编撰常见的问题列表，以及解决问题的办法，其中包括土地测量问题、商业交易问题、遗产分配问题等，这些问题都是常见的，没有什么创新的内容。如果花拉子米仅仅是为了完成哈里发马蒙的委托，那么他的这本书很有可能不会流传下来。幸好，花拉子米并没有止步于此，他决定在这本书的导言中介绍他纯理论研究的一部分。于是，他使用了结构性和抽象的写法，介绍了那些具体问题的解决过程。让我们先来看看以下3个问题。
（1）一块长方形田地，宽5米，面积为30平方米，这块地的长度是多少？
（2）一位30岁的男性，他的年龄是他儿子的年龄的5倍，他儿子今年几岁？
（3）一位商人买了5卷相同的布，布的总重量是30千克，每一卷布的重量是多少？
这3个问题的答案都是6，在解决这3个问题的过程中，我们能够感觉到，虽然它们是3个截然不同的问题，但是背后隐藏的数学过程却是一样的，只需要做一个除法就能得出答案。花拉子米的第一步就是将这些问题的“外衣”剥去，从中提炼出纯粹的数学问题“我们寻找一个数字，这个数字乘以5等于30”。在这种表达方式中，我们并不知道数字5和30分别代表什么，它们可能代表几何尺寸、年龄、布料或其他东西，无论它们代表什么，都不影响我们寻找答案的过程。因此，代数学的目标是提出方法解决这种纯数学的“谜题”。几个世纪以后，在欧洲，这些“谜题”终于有了正式的名字——“方程式”。花拉子米在研究方程式的过程中走得更远，他认为这种方法甚至不依赖问题的具体数据，可以用更抽象的方式表达出来：“寻找一个数字，这个数字乘以数字甲等于数字乙。”虽然这是个简单的一元方程，但是花拉子米的方法具有抽象性和普遍性，将具体的对象从问题中抽离出来，无论你算的是什么，都只剩下形式。
花拉子米的这种用文字描述代数的方法被称为“代数修辞”，与今天的代数公式还有距离。用文字描述代数不仅写起来冗长，还因为受限于语言而具有一定的歧义，同一个句子可能有多种解释，随着数学推理和论证的过程变得越来越复杂，这种方式逐渐显露出弊端。
举一个例子——a+X=b，这是一个很普通的一元方程式，不过你知道在代数方程中什么时候使用a、b、c，什么时候使用X、Y、Z吗？你一定听过笛卡儿这个名字，他的“我思故我在”开启了知识论的转向，他被誉为“近代哲学之父”。哲学家通常首先是数学家，没错，笛卡儿就是大数学家，就是他提议用字母表的前几个字母表示已知数，用字母表的后几个字母表示未知数。于是，“寻找一个数字，该数字乘以5等于30”的代数修辞，变成了“5×X=30”，至此，代数具有了纯形式。当然，笛卡儿的提议是对另一位法国数学家韦达对已知数和未知数提出的表示方式的迭代，而且在他们之前，对代数纯形式的发展已经贯穿了整个文艺复兴时期。
数学语言就是一种形式，是现象背后的那个永恒的形，这正切合了亚里士多德所说的“形式和质料相比，形式更重要”。数学其实就是形而上学，它不仅具有形而上学的思，还具有知识的四性，即确定性、必然性、可分析性和可言说性。因此，数学是高级的知识，是知识的典范，当之无愧地处于人类智慧的第三层。
代数具有了纯形式以后，代数学很快从几何学中脱离出来，再也不需要用长方形面积来解释乘法了，也不需要通过几何拼图来论证毕达哥拉斯定理了，而且伟大的笛卡儿创造了一种既简单又强大的数学语言——笛卡儿坐标。
在一个平面上设置两条带刻度的直线，一条线垂直，即纵坐标；另一条线水平，即横坐标。确定一个点的横、纵坐标，就能锁定这个点的几何位置。比如，图2-17中点A的例子，点A位于横坐标2之上，与纵坐标4对齐，因此它的坐标就是（2，4）。通过这种方法，几何意义上的任意一点都能用两个数字表示，反之亦然，任意两个数字都能够锁定一个点。
图2-17 笛卡儿坐标1
笛卡儿坐标诞生以后，每一个几何问题都能用代数的方式来解释了，每一个代数问题也都能用几何的方式来表示了。举个例子，我们思考一下这个一次方程：X+2=Y。这是一个有两个未知数的二元一次方程，如果X=2，那么Y=4，数字2和4正好是图2-17中点A的坐标。事实上，这个方程有无数个解，比如X=0，Y=2；或者X=1，Y=3等，任意数值的X都有一个对应的数值Y，只需要在X的基础上加上2即可。现在，我们可以在笛卡儿坐标2上画出所有满足这个方程的点（见图2-18）。
图2-18 笛卡儿坐标2
这个方程的所有解构成了一条完美的直线。除了这条直线上的解，没有任何其他的解存在。因此，在笛卡儿坐标的世界，这条直线就是这个方程的几何表达，正如这个方程是这条直线的代数表达一样。几何学与代数学合二为一，这种对应方式仿佛一本词典，能够将研究对象从几何语言翻译成代数语言，反之亦然。比如，几何学上的“中心”在代数学上称为“平均数”。以点A为例，点A的坐标是（2，4），再添加另一个点B（4，-6）。为了寻找点A和点B之间的中点，只需要求两者坐标的平均数即可。点A和点B的横坐标分别是2和4，平均数是3；纵坐标分别是4和-6，平均数是-1。因此，点A和点B的中点坐标为（3，-1）。我们可以通过绘制图形来验证，结果完全正确（见图2-19）。
图2-19 笛卡儿坐标3
在这本“代数—几何词典”中，圆化身为二次方程，两条曲线的焦点也是用一个方程来表示的；而对于毕达哥拉斯定理来说，三角学构造和各种切割拼图都被代数公式替代了，代数学取代几何学成为“数学之王”。
笛卡儿坐标取得了非凡的成功，很快就成了其他学科的工具，举个前面的例子——课程心电图。课程心电图就是在笛卡儿坐标的基础上萃取的课程评价工具，用横轴代表课堂的步骤和时间，用纵轴代表刺激度，把一个模糊的不可描述的课堂过程显现为一个明晰的图形，使课程的设计与评估有迹可循。
课程心电图是讲师和课程设计师经常使用的工具，属于行为主义心理学和认知心理学的范畴，然而其结构或形式却是一个笛卡儿坐标。其实，课程心电图只不过是多了一个示证，即数学前进到哪里，科学才能前进到哪里。如果数学语言剔除一切杂芜，就是知识的纯形式，是知识的范例。
在实践中，我们经常使用各种各样的模型，有时引用一个模型，有时自己创造一个模型，这些模型的信度也因其使用数学语言的程度不同而产生差别，以下是四个信度等级的模型。
第四级：函数型（数型）
第三级：坐标型（标型）
第二级：流程型（流型）
第一级：图示型（图型）
首先，第一级是图示型。我们经常看到的能力素质模型，就是用图来表示某个组织或岗位所需要的能力的，这种模型标识且仅标识Y（如一个岗位）与n个X（能力，如沟通能力等）有关，但是这些X哪个先哪个后、哪个权重更高等信息都是模糊的。因此，我们把它标识为最低等级的模型。其次，第二级是流程型，即把一个流程当作模型。比如，ADDIE模型是培训者经常使用的流程，A是Analyze的简写，是分析的意思，意指在培训之前要分析需求；两个D分别是Design和Develop的简写，是设计与开发的意思，意指准备培训方案和教材等；I是Implement的简写，是实施培训的意思；E是Evaluate的简写，代表评估培训效果。流程型比图示型多了一个信息，就是次序，但是每个步骤的具体做法和标准都是模糊的，因此层级也不高。第三级是坐标型，用坐标精确定位多个点，并标识更多信息。比如，需求分析标模是学习路径图方法论用来描述培训需求分析的一个模型，如图2-20所示。横轴（X）是成长时间，纵轴（Y）是技能。现状是一个点，代表技能低和时间长；目标也是一个点，代表技能高和时间短，现状和目标之间的箭头代表提高技能和缩短时间。最高级的模型是函数型，把Y=f（X）函数当作模型，展现Y和X之间的精确关系。
图2-20 需求分析标模
在笔者看来，第一级的图示型和第二级的流程型都不算模型，原因是信息模糊。在知识萃取实践中，我们经常发现严重背离数学语言的“方法”，这些方法不是追求精确的，而是营造神秘的。比如，使用英文字母加“TM”来展示一个模型，就拿TOMARTTM这个模型来看，它其实就是一个流程型，严格来说不是一个模型。然而，这样的模型因其神秘感而获得权威，能够蒙骗一些知识储备有限的人。伽利略在《试金者》一书中说：“哲学写在这部成为宇宙的大书上，这本书永远打开着，接受我们的凝视。但是如果我们不先掌握它的语言，不去解读它赖以记录的字符，那么我们就不可能理解这本大书。它以数学语言写就，没有数学语言，凡人连一个词也读不懂；没有这些，人们就会在暗黑迷宫中徘徊。”