2　对称与数字7

除了数学家、科学家和哲学家的身份，毕达哥拉斯还有一个重要的身份，那就是修道士。他创立了毕达哥拉斯学派，这个学派神神秘秘，暗示着数学家可能是离神最近的人，我们在下一章再对这一点进行介绍，本章先介绍数学的“神性”。

在旧石器时代，原始人虽然还没有学会用火，还不是“智人”，但是已经开始使用手斧。手斧的形状有很多，比如水滴形、蛋形、等腰三角形，这些形状都有一个共同的特点——对称。是什么原因促使人类的祖先坚持使用这种构造呢？是因为这种几何构造的实用性？还是仅仅出于某种审美意图？虽然今天的我们很难弄清楚这一点，但是可以肯定的是，这种对称不是一种巧合。加工手斧的匠人应该已经预先制订好了自己的打磨计划，在完成手斧之前就考虑好了形状。对于要打磨的燧石，他们在脑海中构思了一个抽象的形状，换句话说，他们在脑海中构思了几何图形。当手斧匠人完成一个手斧之后，他会仔细观察这件新工具，将手斧放到阳光下，更好地观察它的轮廓，继续完善手斧的形状，最终他得到了一件满意的作品。这一刻，他的感受是怎样的呢？他是否已经感觉到这种由几何创造带来的巨大的喜悦之情？即从脑海中的一个“形”出发，理解和塑造外部的世界。无论怎样，抽象概念被发扬光大的时刻，都还没有到来。这时还是实用主义盛行的时期，手斧只是用来砍树、割肉、钻洞和挖地的工具，它的形状还不是重点[2]。

我们拉近距离，公元前7000年的两河流域的美索不达米亚平原的人们已经开始生产和使用陶器，最早的陶器可以追溯到公元前9000年以前。陶器是火的最初艺术品，随后是青铜、铁和玻璃。使用具有可塑性的、能够在潮湿地区大量获取的黏土，陶工可以随心所欲地塑造自己的作品。随着时间的推移，人们对审美的要求也逐渐提高，陶器上出现了装饰，即花瓶的腰线。所谓腰线就是罐子外侧一周的装饰花纹，表现为同一种花纹的不断重复。常见的腰线有三角形锯齿状的、相互缠绕的、人兽交错的、斜方形的、打了阴线的等。有一些花纹非常流行，它们被不断使用、变形，通过各种方式被改善。随着时间的流逝，一些花纹被淘汰了。

然而，千变万化的腰线遵循着一些共同的规律，即花纹的重复、对称和错位三个基本形式，其中对称可以分为水平对称、垂直对称、翻转对称和旋转对称四个子形式。这些基本形式和子形式一共可以组合成7种腰线。美索不达米亚人可能并不知道这一点，因为7这个数字所涉及的原理在文艺复兴时期才被揭示出来，他们只是用一些看起来新颖的花纹来装饰自己的陶器而已。这些上古时期的陶器制作者们其实已经开始构建一门美妙学科的最初论据了，就是7这个神秘的数字，下面我们来看看这7种腰线。

第1种是纯粹的花纹重复，如图2-1所示，可以是任意的花纹或图形。单就每一个花纹而言，没有中心点或中心线，无论是上下折叠、左右折叠还是翻转和旋转，图案的一半和另一半都不重合。

图2-1　花纹重复

第2种是水平对称，如图2-2所示，即一个花纹由上、下两个图案组成。当上下折叠时，这两个图案可以重合在一起。

图2-2　水平对称

第3种是垂直对称，如图2-3所示，左右折叠时，一个花纹可以重合在一起，而上下折叠不能重合。

图2-3　垂直对称

第4种、第5种是旋转对称+错位，如图2-4所示，无论是左右折叠还是上下折叠，每个花纹都不对称。如果以每个花纹的中心点为圆心，把每个花纹的一半都旋转180度，就可以与另一半重合了。同时，此花纹与相邻的花纹错位在一起，这算对称和错位两种形式的组合。对称和错位并不必然组合，每个花纹也可以像前3种一样，不是错位的。

图2-4　旋转对称+错位

第6种是翻转对称+错位，如图2-5所示，每个花纹都是不对称的，没有中心线。左右折叠、上下折叠、旋转都不重合，如果把花纹翻转就可以与相邻的花纹重合，相邻花纹又彼此交错在一起。

图2-5　翻转对称+错位

第7种是水平对称+垂直对称+翻转对称+旋转对称，即综合对称，如图2-6所示。

图2-6　综合对称

如果我们考察所有的腰线，就会发现它们都是这7种中的一种，任何其他的组合在几何学上都是不可能的。显然，对称和数字7有关联，无论对称的种类有多少，都会有个极限，那么为什么是7种呢？可能7就是个神性的数字，比如一周有7天；7小时是人类最理想的睡眠时间；在酸碱度测试中，7代表不酸不碱的中性；人类的短时记忆以复述7位数为正常水平；传说佛祖一出生就能行走，向东南西北各走了7步；古代神话中有七仙女下凡等。如此看来，毕达哥拉斯信教还真是有原因的，数即使不是世界的本原，也与世界的某些秘密有关。

再延展一下数字7，如果一条腰线是在一个方向上重复某一图案的话，那么我们应该也可以想象在垂直方向上重复这个图案，即铺满整个表面，这就是我们所说的“密铺”，或者地毯和地面的花纹。数学家们发现，存在17种类型的几何密铺，所有的密铺都是其中的某一种类型，如图2-7所示。

图2-7　密铺

阿尔汗布拉宫是著名的古迹之一，它之所以名声在外，是因为在它的内部，从花园到大厅中，我们能够找到全部17种类型的密铺。