2.2　函数及其图像

2.2.1　函数及其表示方式

1．函数定义

（1）常量和变量：在某一个过程中，可以取不同数值的量称为变量，在过程中，保持同一数值的量或数称为常量或常数。一般情况下变量用字母表示，常量用数值或指定的字母表示。

（2）函数定义：设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就称x为自变量，y为因变量，y是x的函数，记作y=F(x)。

（3）y与x的值是一一对应的，即每一个x只能有一个y值与它对应。如果一个自变量的值对应多个因变量的值，就不能称为函数关系，例如，，当x=1时，y有+1和-1与之对应，y不是x的函数。但是函数，因为不论x是+1，还是-1，都只有一个y =1与之对应。

（4）代数式、方程与函数。

代数式是指用基本运算符号把数或字母连接在一起的式子，如5x+8。

在两个代数式之间加上等号或不等号，就变成了方程或不等式，如5x+8=0或5x+8>0。可以说，当代数式等于或不等于0时，就分别成为方程和不等式。

把代数式中的字母当作自变量，用x表示，与其相对应变化的另一个变量y，则形成函数y=5x+8。可见，方程是函数中y=0的一个特殊例子。

把代数式、方程和函数放在一起比较就是想告诉读者，代数式及其运算是数学的最基础的知识，是一定要掌握的知识。

2．函数的表示方式

函数的表示有三种方式。

（1）解析式：函数关系可以用一个数学等式来表示，例如y=5x+8、y=sinx等。解析式的优点是能确定地描述自变量与因变量的关系，可以进行各种代数运算，可以进行任意点函数值计算。缺点是几何意义不直观，不能直接看出变化趋势。而且，在实际中所形成的函数关系多数根本不能用解析式表示。解析式又称函数表达式。

（2）列表法：用表格的形式表示两个变量间的函数关系。列表法常用在无法用解析法描述而只能通过实验来记录变量关系的场合。例如，表示热电偶的热电势与温度之间的一一对应关系的表格，简称分度表。列表法补充了解析法的不足，不需计算直接查表即可。它的缺点是列表法的描述是有限的（仅为实验点），在实验点之外的自变量值的变化只能进行近似处理。如果用数字设备进行函数处理，则表格会占用大量内存。

（3）图像法：在笛卡儿坐标系上用图形表示两个变量之间的关系称为图像法。一般自变量为X轴，因变量为Y轴。图像法可以表示任意的函数关系，特别是不能用解析法表示的函数关系。图像法的特点是简单、直观、一目了然。图像法的缺点是不易获取，当用解析法、列表法数据形成图像时，其仅为近似关系。虽然如此，在用解析法分析函数关系时，还是要常常借用其图像来做补充研究。

在以上三种函数的表达方式中，最常用的还是解析法。

3．工控技术中函数表示

在工控技术（包括电子电路）中，上述三种函数的表达方式均有出现。

解析法用得比较多，电子电路中许多电路物理量之间的关系都是函数关系式（一元或多元函数）。例如，全电路欧姆龙定律，其电动势E，内电阻r，外电阻R及电路电流I之间关系式为

如果I为因变量，E,R,r为自变量，则I=f(E,R,r)是一个三元函数。如果电动势E和内电阻r不变，则I是外电阻R的函数，I=f(R)等。

而列表法则常用在一些函数关系不能用解析式或图像法表示的场合。例如，某些传感器的物理量与转换后的电量之间没有一定的函数表达式，只能通过实验把它们之间的关系一一记录下来，形成表格函数。应用时，必须把表格存储在规定的存储区中，然后根据输出电量的大小去查表找到相应的物理量大小。这种方法，如果对精度要求很高，表格需做得非常细，而落在非表格点之间的数只能用近似方法处理得到。

图像法在工控技术中常用在定性说明各种特殊关系表示中，例如，许多电子元件的特性说明都是通过实验表格。首先画出它们之间函数关系的图像，然后根据这些图像来进行定性分析。在一些工控模块的输入/输出关系特性上，也常常画出它们的图像，而不给出函数分析式。

【例4】判断图2-5中的图像，哪些是函数关系，哪些不是函数关系。

解：（a）是函数关系，y=b。

（b）不是函数关系，x与y不一一对应，一个x出现两个y值。

（c）是函数关系，x与y一一对应。