40.相同数字

在数字1985～4891之间的整数中，十位数字与个位数字相同的数有多少个？

答案

1.如下图：

2.首先是要由12个数字组成；其次是每个数字里都要包含数字“3”，比如3、23、30等；最后则是这12个数相加等于100，三个条件缺一不可。答案是：100=30+30+13+3+3+3+3+3+3+3+3+3。

3. A=24，B=28。每一个圈内，数字之和都是99。

4. 60。问号的两端直线连接的两个数字之积为60。

5. 17。（n-7）÷2。

6.根据图A、图B可推算出3的背面是4，从图B、图C可推算出5的背面是2，所以1的背面是6，问号处应是6。

7.如下图：

8. 这个数用3除余2，用7除也余2，这个数就是3×7+2=23。23用5去除，余数正好是3。所以篮子里最少有23个苹果。

9. 任何具有abcabc形式的六位数，都相当于1000×abc+1×abc，也就是1001×abc。由于1001=13×7×11，因此不会有余数。

10. 49×101=4949 38×10101=383838

10101=3×7×13×37

因此任何两位数ab乘以3，再乘以7，再乘以13，再乘以37，都会得到ababab。

73×101×137=1010101

因此ab乘上这些数字之后，会得到abababab。

11.这两组数字分别是18和81、29和92。这两组数字之间的差都为63。

12.字母码用的单词是：P R O F I T A B L E，其中每一个字母对应1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。

13.答案如图所示：

14.答案是2。每个图形中间的数值等于左右两边的数值之和减去上下两个数值之和。

15.为了方便叙述，我们用（a，b）表示第a行第b列这个方格。

这个游戏比较简单，在（1，5）、（5，5）角落的白点说明它们的势力范围只有这一格，而像左上角那个白点的势力范围必须是四个格子组成的正方形。最后黑点势力范围形成的是数字“4”的轮廓。

16.答案是33。

17.先从可以确定的组合入手，例如11，33，44组合只有一个，所以它们一定是一组的；这样，02和04组合也可以确定了，然后是01和03……其中有一些被隔开的数字一定与它旁边的数字组成一组。就这样依次推理下去，即可解出整个答案。

18.第一间房的数字规律是：（17+14）×10=310。所以，第二间房的问号处应填的数字为：（12+23）×5=175。

19. 距开始的第一百个数字是4，距终了的第一百个数字是5。从0开始计数时，前10位都是单数，后面的数字全是双数，而到第一百个数字还剩余90个，因此，这个数字一定是一个两位数正整数的第二个数字，经计算，这个两位数是54，因此，距开始的第一百个数字就是4。同理可得，距终了的第一百个数字是5。

20.答案是20个。需要注意的是：77包含两个7。

21. 小明说数字低于500，显然是撒谎，因为首位数无论是5、7或9，都大于500。在99和999之间，平方数和立方数的末位数是5、7或9的数字是729。

22. 之所以会出现这个问题，是因为这里面蕴含了一个数学陷阱“每人各出了9元钱”。细想一下，每人应交餐费为25/3元，而不是9元。即使服务员拿走了2元钱，也应该是三人分摊，各应出2/3元，再加上每人的餐费为25/3元，刚好是9元。可是在这27元中，已经计算了服务员的这2元，若是又加上2元的话，就等于把这个2元算了两次，而未把退回的3元算在内。于是这三人才不明不白地少了1元钱，而且让他们毫无察觉。

23. 哥哥跑完100米，妹妹才跑到90米，他们奔跑的速度之比是10∶9。按照这个比率，将哥哥的起跑线后移10米，哥哥在跑到离终点10米的地方时，他便同妹妹并齐了，而当他跑到终点时，则妹妹又落后了1米。所以将哥哥的起跑线后移10米仍达不到预期目的。如果将妹妹的起跑线前移10米，那么妹妹跑完90米即到达终点，此时哥哥跑完100米。所以他们同时跑到终点。

24.要使得数最大，被减数（四位数）应当尽可能大，减数（□□×□□）应当尽可能小。由此可知，被减数为8765。下面要做的是把1、2、3、4分别填入□□×□□的4个“□”中，使乘积最小。要使乘积最小，乘数和被乘数都应当尽可能小。也就是说，它们的十位数都要尽可能小。因为：

12×34=408，而14×23=322，13×24=312（最小），

故算式为8765-13×24=8453。

25. 这实际是一道求最小公倍数的问题。因为5、7、2的最小公倍数为70，这位说话人今年恰好是70岁。由此推算，这个人在28岁时结婚，而他儿子今年已35岁，因是5年前结婚的，所以结婚年龄为30岁，比父亲的结婚年龄大2岁。

26.一个加数十位上的数字“5”被写成了“3”，这个错误使这个加数比原来少了50-30=20。而另一个加数百位上的数字“6”被写成了“9”，就等于把600变成900，使另一个加数比原来大了300。

由于加数的变化，造成两数的和的变化，我们可以写成等式：3217-300+20=2937，即正确答案是2937。

27. 30是3的倍数，你能保证每轮结束时得到3的倍数就可以赢，但为了保证第一轮报完得到3，你必须让对手先报。而报到30算输，即“让30”的游戏，实际上是得29赢，29÷3余数为2，所以你必须每轮结束时得到除以3余2的数（2、5、8、11……）。第一轮要得到2这个数，你必须选报（1、2）才能赢。小山懂得这个规律，所以无论“得30”还是“让30”都会赢。只要我们仔细研究一下，明白所有自然数都可分为被3整除、除以3余1、除以3余2，就可以掌握主动权了。

28. 左手中的豆子数不论是奇数还是偶数，乘以2后总得偶数；而右手中的豆子数乘以5后，奇偶性不变，于是两个乘积之和的奇偶性与右手中豆子的奇偶性相同（因为n+偶数与n的奇偶性相同）。例如，左手握5粒，右手握6粒， 5×2+6×5=40。由此可知，右手握偶数粒，左手握奇数粒。

29.因为十位数字比百位数字大4，个位数字又比十位数字大4，所以个位数字比百位数字大8。但是三位数的百位数字至少是1，个位数字至多是9，要使两个数字的差是8，只可能百位是1、个位是9。由此得到十位数字是5。所以，小虎家的门牌号码是159。

30.由1、4、6、7组成的四位数字总是可以被9和3整除。因此，除非将6翻转成9，否则两个问题的答案都是不存在的。如果这个四位数字是由1、4、7、9组成，它将不可能被9整除，但总能被3整除。

31. 地铁票分为5元的联票和3元的普通票两种。美美拿的是一张5元的，因而会被问买哪种票。后面那个人虽然也拿了5元，但不同的是，他手里拿着一张1元和两张2元的纸币，不用问肯定是联票。如果他要买普通票的话，就不必再拿另一张2元的纸币了。

32. 卖梨的农民如果取出20个贵的梨和30个便宜的梨，每2个贵的加上3个便宜的为1份卖2元，则这50个梨可以卖20元。还余下10个贵的梨，按每2个1元卖出，又得5元，总共得25元，就不会出错了。现在，由于他把60个梨一律按5个2元的价格出售，这就等于把其中10个贵一些的梨以每个便宜0.1元的价格卖出去了，所以总共只卖得24元。

33.不可能。胡乱填写也能答对的概率虽为1/3，那是对于除去有信心答对的6道题后的24道题来说的。从概率上来，小王答对的是14道。这样考试就不及格了。

34. 这不是什么命运的安排。因为菲尔随机到站，虽然向南的列车和向北的列车的车次与车次之间都间隔15分钟，但向北的车每班车都比向南的车晚1分钟，这间隔的1分钟，使菲尔随机赶上向北的车的可能性大大低于向南的车，于是他看萨拉的次数自然远远多于看贝基的次数。这只能说是“概率弄人”啊！

35.原来的挂坠是从上往下数到第八颗时，再向左或右分开数；而后来那位小姐却是从第九颗开始往左右分开数。这就使其看上去没有缺少珍珠，但实际上珍珠总数却由23颗减少到了21颗（如下图所示）。

36. she的个位数也是e，因此e只能在0、1、5、6中取值。由于（he）2是三位数，所以100≤（he）2<1000，于是有1O≤he<322（∵322=1024>1000）。因此，这个两位数的可能值局限于下面10个数中：10，11，15，16，20，21，25， 26，30，31。这10个数的平方数分别为100，121，225，256，400，441， 625，676，900，961，可以发现只有25满足条件，（25）2=625。所以s=6， h=2，e=5。

37. 窃贼的诡计之所以得逞，是因为镜框的每个角都同时属于两条边。所以，如果从每条边中间拿走一颗宝石，再取下一颗放到镜框角上，则每条边的宝石总数仍然为12颗。

38. 59是有此性质的最小数字。

解此题的关键点在于6、5、4、3及2的公倍数减1必可满足题目的要求，也就是形式为（60n-1）的数即合于所求，所以其中最小数就是6、5、4、3及2的最小公倍数（LCM）减1。

相同的道理：

LCM{10，9，8，7，6，5，4，3，2}=2520

所以任何形式为2520n-1的数都符合本题第2小题的解。其中小于10000的数字有2519、5039及7559。

39. 由“它们当中任意两数的和都是2的倍数”可知这些数必都是偶数，或都是奇数。再由“任意三个数的和都是3的倍数”可知这些数都是除以3后余数相同的数（能被3整除的数视其余数为0）。如第一个数取3（奇数，被3除余0），接着就应取9、15、21……（都是奇数，被3除余0）；如第一个数取2（偶数，被3除余2），接着应取8、14和20……（都为偶数且被3除余2）。因为要让这4个数的和尽可能小，故第一个数应取1。所取的数依次应是：1、7、13、19，可知和为1+7+13+19=40。

40. 每100个数里，个位和十位重合的有10个，所以1985～4885中这样的数就有290个，加上4888这个数就有291个。