命题XII 问题VII

一个物体在一支双曲线上运动；需求趋向图形的一个焦点的向心力的定律。

令CA，CB为双曲线的半轴；PG，KD为另外的共轭直径，PF垂直于直径KD；Qv为附属于直径GP的纵标线。引SP截直径DK于E，又截纵标线Qv于x，并补足平行四边形QRPx。显然EP等于横截半轴AC，如此是因为，由双曲线另一焦点H作平行于EC自身的线HI，因为CS，CH相等，ES，EI也相等；至此EP是PS，PI，亦即（因IH，PR平行且角IRP，HPZ相等）PS，PH的差的一半，因为差等于整个轴2AC。向SP落下垂线QT。且称L为双曲线的主通径（或 ），则L×QR比L×Pv如同QR比Pv，或Px比Pv，亦即（因相似三角形Pxv，PEC）如同PE比PC，或AC比PC。L×Pv比Gv×Pv也如同L比Gv；而（由圆锥截线的性质）矩形^（14）（rectangulum）GvP比Qv_quad.如同PC_quad.比CDquad.；又（由引理VII系理2）Qv_quad.比Qx_quad.当点Q和P重合时，成为等量之比；则Qx_quad.或Qv_quad.比QT_q如同EP_q比PF_q，亦即，如同CA_q比PF_q，或（由引理XII）如同CD_q比CB_q：联合所有这些比，L×QR比QT_q如同AC×L×PC_q×CD_q，或2CB_q×PC_q×CD_q比PC×Gv×CD_q×CB_q，或如同2PC比Gv。但当点P和Q重合时，2PC和Gv相等。所以与此成比例的L×QR和QT_q相等。这些等量乘以（SP_q）/（QR），则L×SP_q等于（SP_q×QT_q）/（QR）。所以（由命题VI系理1和系理5）向心力与L×SP_q成反比，亦即，按照距离SP的二次反比。此即所求。

所求的力，它趋向双曲线中心。这已得出，它与距离SP成比例。由此（由命题VII系理3）趋向焦点S的向心力如同（PE_cub.）/（SP_q），因PE给定，即与SP_q成反比。此即所求。

按同样的方式可以证明，当这一向心力变为离心力，物体将沿相对的双曲线［分支］运动。