20世纪理论物理学的三个主旋律：量子化、对称性、相位因子1

有人说20世纪是物理学的世纪。这是非常有道理的：在这个世纪里，人类首次发现了核能，这是自人类祖先发现火以来发现的第二种同时也更加强大的能源；在这个世纪里，人类学会了控制电子，从而创造了晶体管和现代计算机，并由此改变了人类的生产力和生活；在这个世纪里，人类学会了如何探究具有原子尺度的结构，因而发现了双螺旋这把打开生命奥秘之门的钥匙；同样还是在这个世纪，人类突破了地球的束缚，在月球上迈出了最初的脚步。总而言之，这是一个人类在许多领域的前沿取得了前所未有的进步的世纪。而这些进步主要是由物理学领域的惊人进展促成的。

人们很难不对20世纪物理学的巨大发展在人类历史上所起的决定性作用产生深刻的印象。但尽管这些发展在人类历史上具有决定性的意义，实际上它们却并不代表20世纪物理学发展的辉煌之处。

20世纪物理学真正的辉煌之处，在于对一些源自人类文明之初的重要基本概念——空间、时间、运动、能量，以及力——的深入理解。对所有这些基本概念，我们的理解都发生了深刻的变化，而这种变化带给我们的，是对自然的一种更加优美、更加微妙、更加精准，同时也更加统一的描述。

近些年里，人们对20世纪物理学的详细历史进行了方方面面的研究。我并不打算在这里探究这些方面的问题。我的目的只是从这段历史中寻找发展的主题，追踪贯穿其概念发展全过程的三条主线。这些主线以各种形式反反复复地出现，或单独露面，或彼此交织，就像交响乐中的主旋律一样。我们将会看到，这三个旋律共同决定了20世纪物理学主要发展的基调和特色。

一 量子化

20世纪刚开始，普朗克（Max Planck，1858—1947）就发表了一篇论文，论文中引入了一个常数，这个常数现在叫“普朗克常数”，它表示作用量子。就像交响乐前奏曲中开头几个小节一样，它将成为20世纪物理学的第一主旋律。

普朗克是一位非常谨慎的物理学家，提出作用量子这一大胆的思想对于他来说无疑是非同寻常的，但他却这么做了。然而，经过慎重的思考，他又开始害怕起来，以至于在接下来的几年里，他想收回自己的观点。而这一革命性的火把传递到了年轻一代物理学家的手中：爱因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）首先把它用到光电效应方面，接着玻尔（Niels Bohr，1885—1962）又阐述了他的氢原子量子理论。1918年，普朗克发表他的题为“量子理论的创立和当前的发展状况”的演讲时说道：

……如果说来自于物理学不同领域的各种实验和经验提供了支持作用量子存在的令人印象深刻的证据，那么，玻尔原子理论的建立和发展则是对量子假设的更大支持……

接下来他概述了玻尔理论在推广时所取得的成功和遇到的挫折，不过在演讲的最后，他做出了如下积极的评论：

……今天如此令人不满意的东西，日后从更高更有利的角度来看，或许由于其特有的和谐性与简洁性而最终显得非常杰出……

最终“更高更有利的角度”的确通过量子力学的发展而出现了，但却是在经历从1913年到1923年这段困扰人的大混乱期才出现的。著名的物理学史家派斯（Abraham Pais，1918—2000）曾借用狄更斯的名言对这一时期进行描述：

那是希望之春，

那是绝望之冬。

奥本海默（Robert Oppenheimer，1904—1967）1953年在里思讲座（Reith lecture）中的描述或许最能代表那一时期的物理学家们心中的感觉：

我们对原子物理的理解，即对所谓原子系统量子理论的理解，起源于本世纪初，而对它所做的辉煌的综合与分析则完成于20年代。那是一个值得歌颂的时代。它不是任何个人的功绩，而是包含了不同国家许多科学家的共同努力。然而从开始到结束，玻尔那种充满着高度创造性、敏锐和带有批判性的精神，始终指引着、约束着事业的前进，使之深入，直到最后完成。那是一个在实验室耐心工作的时期，是一个进行有决定意义的实验和采取大胆行动的时期，同时也是一个带有许多错误的开端和许多站不住脚的臆测的时期。那是一个包含着真挚的通信和匆忙的会议的时代，是一个辩论、批判和伴随辉煌的数学即兴创造的时代。

对于那些参加者，那是一个创造的时代，在他们对事物的新的认识中，既有满足感，也存在着恐惧。这也许不会作为历史而被全面记录下来。作为历史，它的再现将要求像记录俄狄浦斯（Oedipus）或者克伦威尔（Cromwell）的动人故事那样崇高的艺术，然而这一工作领域却和我们日常经验的距离如此遥远，因此很难想象它能为任何诗人或任何历史学家所知晓。

为了说明那一时期的物理学家们跌宕起伏的深刻感受，让我们来看看1925年5月21日泡利（Wolfgang Pauli，1900—1958）写给克罗尼格（Ralph Kronig，1904—1995）的一封信：

现在物理学又一次走进了死胡同。至少对我来说是如此。它太难了。

5个月后，泡利在另一封给克罗尼格的信中写道：

海森伯的力学又点燃了我对生活的热情。

在这两封信之间发生的让泡利感到激动的事情，是海森伯（Werner Karl Heisenberg，1901—1976）在“迷茫中”经历了一番具有历史意义的摸索后，找到的一些模糊的感觉。海森伯曾在晚年说过的一段著名话语中将1925年的这次摸索比作爬山：

你有时候……爬上某个山顶，但到处都是雾……拿地图或者有什么别的指示信息，知道按图索骥该怎么走，可依然完全迷失在茫茫大雾中。这时……茫白雾中你突然朦朦胧胧地恰好看见一些微小的东西，由此你可以判断，“噢，这就是我要找的岩石”。在你看到它的那一瞬间，整个情景就完全发生了变化，因为尽管你依然不知道自己是否能到达那块岩石，但起码这个时候你心里有数了，“……我知道自己在哪里了，我得想法靠近岩石，然后肯定就能找到通向山顶的路了……”

海森伯在1925年的那一天所找到的模糊感觉，最终导致了量子力学的诞生。它无疑是人类历史上最伟大的智力革命之一。

二 对称性

第二个主旋律，对称性，最早起源于1905年爱因斯坦引入狭义相对论的那篇论文。那篇文章发起了一场伟大的革命，使物理学家们的时空概念产生了深刻的变化。直到1908年闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909）发表了一篇文章，人们才发现，这场革命可以通过时空之间的四维对称性而用一种漂亮的数学方式描述出来。

虽然一开始爱因斯坦自己并没有对闵可夫斯基这一“故弄玄虚”的工作留下深刻的印象，但他很快就改变了主意，并且更前进一步：他试图将狭义相对论的对称性大大推广——闵可夫斯基的论文从数学上将它阐述为物理定律在洛伦兹变换下的不变性。多年后，爱因斯坦在他的《自述摘记》（Autobiographical Notes）中描述了他是如何想到推广不变性（即对称性）的：

……狭义相对论的基本要求（定律在洛伦兹变换下的不变性）太狭窄，也就是说，必须假定在四维连续统中的非线性坐标变换下定律也将保持不变。这是发生在1908年的事情。

经过爱因斯坦长达八年的奋斗，这一更大的不变性最终促使了广义相对论的诞生。

现在看来，爱因斯坦—闵可夫斯基—爱因斯坦这一发展过程是“对称性决定相互作用”主题的第一个范例，关于这一点后面还会讲到。当时，并没有人立即采用和发展这一主题。因此它蛰伏了很多年，而和它稍有差别的另一主题却随着量子力学的出现而得以广泛应用。

顺着这一话题，我们又得回到主旋律一：量子化。随着光谱学实验的巨大发展，以及1913年玻尔理论的提出，量子数进入到原子物理学的语言中。它们被用来描述动力学系统的状态。在量子力学阐述之后，物理学家们认识到，其中的一些量子数和动力学系统的对称性有着密切的关系，而一个叫作群论的优美而成熟的数学分支，正好适合处理对称性的概念：比如，实验中观察到的量子数，在群论中全都是自然存在的。

然而，对于基本物理学中新加入的对称性概念，大多数物理学家一开始是抵制的。物理学家们发明了“群祸”（group pest）一词，专门用来描述深奥复杂的陌生数学概念的入侵。五六年以后这种抵制才消除，随着从20世纪30年代开始的核物理学的发展，以及50年代开始的基本粒子物理学的发展，对称性和群论才逐渐成为物理学中的一个重要主题：例如，50年代和60年代的大部分时间里，基本粒子物理学的研究方向主要是找到新粒子的量子数及其背后的对称性。下面一段摘自本人1957年的一篇演讲中的话，可以用来说明那些年里人们是如何看待对称性概念的：

直到量子力学发展起来，对称性原理才开始渗透到物理学语言之中。描述物理系统状态的量子数往往和表征系统对称性的参数相同。实际上，对称原理在量子力学中的重要性是毋庸置疑的。举两个例子：元素周期表的总体结构本质上就是库仑定律各向同性的结果。反粒子——正电子、反质子以及反中子——的存在，也是根据物理规律在洛伦兹变换下的对称性而预测的结果。在这两种情况下，大自然似乎都有效地利用了对称性定律的简单数学描述。如果你静静地想一想相关数学推理的巧妙性和完美性，并拿它和复杂而意义深远的物理结果进行比较的话，你会不由自主地对对称性定律的魅力生出深深的敬意。

三 相位因子

狄拉克（Paul Dirac，1902—1984）是量子力学大厦的缔造者之一。量子力学中有关力学变量p（动量）和q（坐标）之间非对易性的数学基础，就是他建立起来的。所以，他在1972年70岁的时候发表的下述看法颇为引人注目：

因此，如果有人问到量子力学的主要特征是什么，我觉得我现在会说它不是非对易代数。所有原子过程都建立在几率振幅存在的基础之上。如今，几率振幅只是部分地和实验相关。它的模的平方是我们能够观察到的。那正是实验人员得到的几率。但除此之外还有一个相位，它是一个模为1的数，它的变化不影响模的平方的值。这个相位非常重要，因为它是所有干涉现象的原因，但它的物理意义模糊不清。所以海森伯和薛定谔的真正伟大之处可以说就是发现包含这一相位因子的几率振幅的存在。该相位因子在自然界隐藏得非常之深，也正因为它隐藏得太深，人们才没能在更早的时候想到量子力学。

在之前的各种波动理论中当然早就有了相位的概念，但它进入基本物理学却有着曲折的历史，我们可以将其概括为如下几个阶段。

（a）在爱因斯坦通过引入二次微分形式ds2而将引力几何化之后，1918年外尔（Hermann Weyl，1885—1955）试图通过引入线性微分形式dφ来将电磁学几何化。他认为dφ等于Aμdxμ乘以一个常数，并考虑如下“伸展因子”（stretch factor）

（1）

将它用到沿四维路径输运的粒子上，类似于广义相对论中矢量的平行位移。爱因斯坦对外尔的这些想法进行了批评，他指出，如果一个米尺在沿世界线的方向连续伸展，那么米尺的标准化就不可能了，这是一个毁灭性的批评。外尔无言以对。

（b）1922年，在一篇题为《关于单电子量子轨道的奇特性质》的论文中，薛定谔（Erwin Schrödinger，1887—1961）注意到，外尔的伸展因子在沿玻尔轨道计算时会得到一个指数，该指数等于一个常数的整数倍。薛定谔说这是一个值得注意的特性，他说：

很难相信这一结果仅仅只是量子条件的一个偶然的数学结果，而没有深层次的物理意义。

接下来他猜测常数γ应该取什么样的值。事后想想，真正奇特的是这样一个事实，那就是薛定谔提到的可能值中包含这样一个结果

γ=-iħ （2）

在这种情况下，伸展因子将等于1。……我不敢判断在外尔的几何中这是否有意义。

所有这一切发生在1922年！要是薛定谔顺藤摸瓜地研究下去，他可能早在1922年就发现了波动力学！事实上，他显然放弃了这一思路，只是到1925年末当他读了德布罗意（Louis Victor de Broglie，1892—1987）关于粒子波长的看法之后，才又重新考虑它。在1925年11月3日写给爱因斯坦的一封信中，他这样写道：

在我看来，德布罗意对量子规则的诠释，在某些方面和我发表于1922年的一篇论文（Zs. F. Phys. 12, 13（1922））中所注意到的现象有关联。在该论文中，我证明外尔的“规范因子”exp[-∫ϕdx]在每一个准周期里有一个奇特性质。在我看来，两者的数学是一样的，只是我的结果更加形式化，不如德布罗意的那么漂亮且具普遍性。德布罗意在他的大理论框架之中的考虑所具有的价值远远大于我的零散、单一的陈述，而且我当初甚至都不知道它有什么意义。

两个半月以后，也即1926年初，他将他创立波动力学的重要论文提交发表。

将（2）式代入（1）式，外尔的伸展因子就变成了相位因子。回想起来，那正是相位主旋律首次进入量子力学，不过还只是作为一种隐隐约约、似有若无的重复背景音。

（c）1926年以后，薛定谔没有再回到这一主题，因此没有对它做进一步的研究。实际上，他强烈反对将引入他的波动方程。是福克（Vladimir Fock，1898—1974）和伦敦（Fritz London，1900—1954）认识到有必要将i引入量子电动力学中的。伦敦特别在1927年发表了一篇题为《外尔理论的量子力学诠释》的论文，其中引用了薛定谔1922年的论文。在伦敦的这篇论文中，伸展因子——已经变成了相位因子——是讨论的中心问题。

（d）1929年，外尔重又发表了一篇重要的论文，它真正发起了过去和现在都被误称为电磁学规范理论（实际上应该称之为电磁学相位理论）的研究。这篇了不起的论文同时还讨论了二分量中微子理论，该理论在50年代成为非常重要的理论。

（e）外尔的论文比较散乱和具有哲学意味，和我同时代的物理学家很少有人去读他的文章。我们都是从泡利发表于《物理手册》（1933）和《现代物理评论》（1941）上的评论文章中了解到外尔的电磁学规范理论的。但泡利没有强调外尔的伸展因子概念改变为电磁学的相位因子。因此，相位因子的重要性又过了几十年才被人们认识到。

四 发展

三个主旋律全部都是20世纪最初几十年里引入的。它们在20世纪剩下的岁月中所发挥的作用和音乐中主旋律的作用非常类似：经历展开、变奏和回旋。

40年代后期，宇宙射线实验中发现了许多新粒子。因为它们出乎人们的意料，所以被称为“奇异粒子”。这些奇异粒子之间，以及它们和已知粒子之间的相互作用，自然成为讨论的话题。有几年，这些讨论都是遵循着这样的思路：写出洛伦兹变换下不变的耦合常数，比如标量介子具有矢量耦合常数，矢量介子具有张量耦合常数，等等，并求出每种可能性的可观测结果。这样的概念缺乏一个原理，一个普遍的相互作用原理。1954年，杨振宁和米尔斯试图通过推广外尔的电磁学规范理论来阐述这样一个原理。他们注意到，根据外尔的理论，电荷守恒和一种不变性相关联：规范不变性，或者规范对称。因此，那时广泛讨论的另一种守恒定律，同位旋守恒，也许应该和一种普遍的规范不变性或者规范对称有关。下面引用他们1954年论文中的原话：

同位旋的守恒表明存在着像电荷守恒定律那样的一种基本的不变性定律。在电荷守恒定律的情形中，电荷充当着电磁场的源；而在同位旋守恒的情形中，一个重要的概念是规范不变性，与之密切相关的有（1）电磁场的运动方程，（2）电流密度的存在，以及（3）带电场和电磁场之间可能的相互作用。我们尝试着将这一规范不变性的概念进行推广，把它应用到同位旋守恒定律上。结果表明，一种自然而然的推广是有可能实现的。

这一自然的推广就是后来的杨—米尔斯理论，或者叫作非阿贝尔规范理论。

还有另外一种方法也同样可以实现推广，那就是杨振宁和米尔斯在1954年的另一篇文章的摘要中一开始就指出的：

本文指出，通常的同位旋不变性原理和局域场的概念有不一致之处。

这句话有点夸大其词。应该换成如下的说法：

本文指出，通常的同位旋不变性原理和局域场概念的精神相违背。

两种实现推广的方法都强调不变性，即对称性。相位因子当然也在考虑范围之内（它的整个发展就是一部量子力学理论），但那时它还不是推广的关键所在。尤其是外尔重点考虑的伸展因子（变换为相位因子）没有得到相应的推广处理，只是到了1974年，它才最终得以推广，并被称为不可积非阿贝尔相位因子。

有了不可积相位因子，对称和相位因子这两个主旋律的回旋就变得和谐而自然了。回顾这一历史，令人感到惊讶的是，这两个主题深得外尔一辈子的喜爱。不幸的是，在他1955年去世的时候，他没能亲眼看到自己的概念所结出的累累硕果。他在1949年的时候曾这样评价自己：

赫尔曼·外尔——苏黎世一匹孤独的狼——也曾在这一领域忙碌；但不幸的是，他总是把他的数学和物理的以及哲学的猜想混为一谈。

今天，我们应当说他的猜想具有惊人的洞察力，它们促使物理学史的进程发生了改变。

非阿贝尔规范理论在20世纪50年代并没有给物理学界留下深刻的印象。该理论是仿照电磁学建立起来的。按照电磁学理论，诸如光子之类的矢量玻色子其质量为零，因此大家普遍认为在非阿贝尔规范理论中，矢量玻色子的质量亦为零。而这样的介子既然在实验上尚未被发现，该理论也就不具有说服力了。1954年，杨和米尔斯在论文的最后一段中讨论了这个问题，并总结说：

在电动力学中，人们根据电荷守恒的要求得出了光子质量为零的结论。但在b场情形中不能做出相应的论证，尽管同位旋守恒定律依然成立。所以，关于b量子的质量我们没能得出什么结论。

然后到了60年代，好几个物理学家提出了一种有关对称性的重要的新观念，即对称破缺。按照这种观念，在数学形式体系中可以有完美的对称，但同时也允许物理现象中存在对称破缺。这样一来，非阿贝尔规范理论中的矢量玻色子就有可能具有非零的质量。从70年代初期开始，无论是在实验上还是在理论上，这一观念都受到了大力推崇，并导致了我们现在所谓的标准模型的诞生，该模型在描述粒子物理的大量实验结果方面取得了极大的成功。

在非阿贝尔规范理论中，相互作用取决于对称性（即关于规范变换的不变性）。因此有了这一原理：对称性决定相互作用。它可以说是采用了爱因斯坦—闵可夫斯基—爱因斯坦旋律，后者早先曾经通过坐标变换下的不变性要求来决定引力相互作用。

虽然标准模型取得了极大的成功，但它有个重大缺点：对称破缺的应用方式太特殊，而且不是唯一的。所以，没有几个物理学家相信标准模型是最终的理论。这个问题，连同广义相对论和量子理论之间缺乏成功结合的问题，到20世纪末依旧是物理学的基本问题。

量子化、对称性和相位因子这三个主旋律漂亮而微妙地交织于费曼的路径积分体系之中，而对于非阿贝尔规范理论，再加上一条限制，即被积函数是一个时序乘积（timeordered product）

（3）

对非阿贝尔规范理论：量子化通过作用量子ħ的存在而成为一个重要组成部分；而的存在表明相位因子是其中另一个重要组成部分。因为非阿贝尔规范理论的作用量在规范变换下具有微妙的乘法性质，所以对称性也成为其中一个必不可少的组成部分。

令人惊讶的是，这三个主旋律均是从人类认知史中的原始概念演变而来的：量子化从测量单位的认识中发展而来；对称性概念是从认识几何形式之美的过程中发展起来的；相位概念则是从对月亮的相位进行观察的过程中形成的。20世纪的物理学赋予了这三个概念以精确的数学意义，并把它们全都集中到路径积分形式（3）中，而它所包含的丰富内容可以说是自牛顿和惠更斯以来物理学传统中最优秀的部分。

（李香莲译）

附 记

（ 2017 年）

（1）2002年，我受邀在联合国教科文组织（United Nations Educational Scientific and Cultural Organization，UNESCO）巴黎总部所主办的国际理论物理大会上演讲。听众大都是各国的科学家和教育界人士，他们各有不同的背景。我如何向这样的听众表达我对20世纪理论物理学戏剧性的革命进展的感受呢？最后我决定用一种印象派的方法，尽量不用数学公式。我的演讲似乎受到了听众的欢迎。

费尔·安德逊2也在会上做了一个凝聚态物理的特约演讲。他开始时放了一张幻灯片，是1953年东京—京都会议上照的，那是在战后破败的日本举行的第一次国际科学会议。这次会议，费尔和我都带了各自的妻子和第一个孩子，那时他们都只有2岁。

这次会议的组织人明显是颇有眼光的物理学家；与会者当中有超过12位未来的诺贝尔奖得主。

（2） 21世纪理论物理学的主旋律是什么呢？在充分明白其中可能涉及的风险后，请允许我做如下的一些猜测。

由于人类面临大量的问题，21世纪物理学很可能被各种应用问题主导。这些当然非常非常重要，但是与20世纪的主旋律相比较，它将缺乏诗意和哲学的品质。

如有一个领域发生重大的基础性革命，我相信那将是天文物理学领域。诸如暗物质、暗能量的迷惑将会被美丽的新概念所替代，非常类似于一个世纪以前菲茨杰拉德的收缩假说（Fitzgerald contraction hypotheses）被爱因斯坦的狭义相对论代替。