上篇
行为金融的基础理论与应用

第1章
均衡与无套利定价

金融资产的定价是金融学的一个核心问题。经典金融学解决这个问题的方法可以分为两类：一类是均衡定价，另一类则是无套利定价。均衡定价一直是经济学的基本理论框架，其核心思想是应用效用（生产）函数来描述行为人的偏好，各行为人追求效用（利润）最大化而产生对商品的需求和供给，价格体系对供需进行调节，最终达到一个均衡状态。

金融资产的基本特性是跨时期的不确定性。相对于确定条件下的效用函数，描述行为人在不确定性条件下决策行为的期望效用具有更丰富的经济内涵。依据期望效用最大化来形成行为决策成为经济学中“理性”行为人的必要条件之一。无套利是均衡条件的重要推论，由于金融资产的复杂性和相互依存，无套利作为一个相对简单的法则在研究衍生金融资产的定价中发挥重要的作用。本章阐述了经典金融学的均衡定价和无套利定价的模型构架，目的是对经典金融学定价方法的基本思想做一个回顾。

1.1 绝对定价与相对定价

均衡定价和无套利定价是资产定价的两个主要的方法。从定价方法的内涵出发，可以称均衡定价是绝对定价，而无套利定价是相对定价（Cochrane,2001）。

均衡定价的思想来源于新古典主义经济学，其中经典的研究工作是阿罗-德布鲁的一般经济均衡存在定理（Arrow and Debreu,1954）。阿罗-德布鲁的模型关注于一般商品的定价问题，其模型假设消费者追求最大化效用，生产者追求最大利润，然后在一定条件下，存在一个一般经济均衡的价格体系，使得商品的供需达到均衡。金融资产的均衡定价沿用了这个思想，不同点在于对不确定性的处理：首先为投资者对金融资产的偏好建模——期望效用最大化，然后考虑投资者跨时期的消费-投资决策，最后在均衡条件中确定金融资产的价格。之所以称均衡定价为绝对定价，原因在于均衡定价的分析框架。均衡定价从行为人的行为决策出发，在均衡的状态下，试图一揽子解决所有金融资产的定价问题。均衡定价的结果是每种资产参照于它对宏观经济风险基本来源的暴露来定价。

无套利是均衡条件的推论，即如果市场达到均衡，那么一定没有套利机会存在。无套利定价是将无套利条件从均衡定价的框架中分离出来作为“公理”，用其直接为金融资产定价。无套利定价解决这样的问题：给定某种金融资产的价格后，另一种金融资产的价格是多少。无套利定价并不关心金融资产价格最终是由什么决定的，而是通过金融资产之间的关系是否满足无套利条件来判断金融资产的价格是否合理，因此，称其为相对定价。相对定价的起点要比绝对定价高，原因是它必须在已知一些资产的价格后，为其他资产定价。

在资产定价的学术研究中，绝对定价方法的应用是广泛和深入的，例如，跨时期的资本资产定价模型（Merton,1973）、基于消费的资产定价模型（Breeden,1979）。这些模型为金融资产价格的确定寻找基本的经济因素，如果模型有效，那么它们可以对由于政策或经济结构改变而使金融资产价格产生的变化做出正确的预测。相对定价的经典例子是Black-Scholes期权定价模型（Black and Scholes,1973）。根据Black-Scholes公式，股票期权的价格可以表示成股票价格等参数的函数。因此，相对定价告诉我们无论整个市场的定价是否合理，金融资产的价格首先要满足某种关系，如果这种关系不成立，就会产生套利机会，而追逐这个机会的交易行为会维持此类关系的存在。

在实际的应用中，资产定价问题是通过权衡选取多少绝对定价和多少相对定价来解决的，方法的选择取决于金融资产的类型和计算的目的，几乎没有一个问题是通过纯粹的方法来解决的。例如，资本资产定价模型（CAPM）和其他因子模型是绝对定价的典范，而在应用中，则通过计算金融资产与市场或其他风险因子的β值来估价，而并不深究是什么经济因素决定了市场或因子的风险溢价或者β系数。

1.2 “理性”偏好

经济学从描述行为人的决策开始来研究一般商品的定价问题。首先，行为人面临一个各类商品所组成的消费集，并必须在这个集合中进行选择。经济学的建模将行为人对商品的喜好归结为他的偏好关系，即对各类商品组合按照喜好程度排序，什么样的商品组合应该优先选择，什么其次选择。因此，偏好就是一种排序关系，用以表明行为人的选择行为，可以将其称为“选择偏好”。我们用≥来表示消费集X中的二项关系。对于商品组合x和y（以商品数量计），如果x≥y，我们就说“x至少与y一样好”。如果行为人的偏好关系满足完备性和传递性两条公理，那么他的选择偏好将被定义为“理性”。

完备性 对于任何在X中的商品组合x和y, x≥y与y≥x至少有一个成立（任何两种商品组合均可以比较）；

传递性 对于商品组合x、y和z，如果x≥y, y≥z，则x≥z。

效用函数是经济学建模的核心。为了利用数学的最优化方法来处理个人的最优选择，经济学中经常用效用函数来描述偏好关系，即效用函数u（x）赋予消费集中每个商品组合x一个数值，偏好关系则可以由u（x）的大小来决定。可以证明，如果偏好关系满足以上理性的条件，那么这个偏好关系就可以用一个效用函数来代表。

对于一般商品，备选的商品集合中的商品组合由商品种类和数量来刻画。例如，1个苹果和3只铅笔，效用函数的输入变量是商品组合中各种商品的个数。对于具有不确定性的“未定商品”是由“彩票”来描述的。首先要给定不确定条件下的状态集Ω，不同的状态ω（ω∈Ω）发生，行为人可以得到商品组合x_ω（x_ω本身是确定条件下的商品组合）。因此，不确定性条件下的消费计划是一组商品束{x_ω}_ω∈Ω和Ω上的一个概率分布p（ω），我们将其记为彩票l={{x_ω}_ω∈Ω, p}。所有的彩票构成一个“未定商品空间L”，行为人的选择发生在不同的彩票之间，偏好关系≥就定义在L之上。L上偏好关系的理性条件要比确定性条件下的苛刻，这个理性条件是所谓的自反性、传递性、完备性、独立性公理和阿基米德公理（Archimedean axiom）。当这些条件满足时，存在一个效用函数u（·），使得对两个彩票L₁= {{x_ω}_ω∈Ω, p}和L₂= {{y_ω}_ω∈Ω, p}, L₁≥L₂的充要条件是：U（L₁）≥U（L₂），其中U（L₁）= E[u（x）]=∫_Ωu（x_ω）dp（ω）, U（L₂）= E[u（y）]=∫_Ωu（y_ω）dp（ω）, U（·）被称为冯·诺伊曼-摩根斯坦期望效用，u（·）被称为冯·诺伊曼-摩根斯坦效用函数。

在金融资产定价的研究中，通常选择一种消费品或无风险资产作为币制，效用函数u（·）是以此币制计算的财富的函数，而不是上段所提及的“彩票”，也不是金融资产的数量。我们知道，一般商品（消费品）是效用的最终载体，人们直接消费它而获得效用，且获得效用的大小与商品数量密切相关。因此，在研究一般商品的市场定价中，消费以数量形式直接进入效用函数。金融资产不是效用的最终载体，投资者通过金融资产来跨期分配他的财富，而后考虑每一期消费什么样的商品。如果将金融市场和商品市场作为一个整体研究，那么可能的选择是将“彩票”作为效用函数的自变量，来统一考虑金融资产和一般商品。但是，这样将会使模型变得异常复杂而难以处理。因此，在研究金融资产的定价时，通常的做法是将其作为独立的对象来实施研究，即研究财富的跨期分配问题，而不考虑投资者进一步的具体消费选择。另一方面，金融资产也不会以数量的形式进入效用函数。原因在于，和一般商品相比，金融资产本身不能带来效用，而金融资产的绝对价格并不能决定其“好坏”程度，其相对“价格”——跨期的收益率才是问题的核心。金融资产是人们获取财富的交易工具，一般来讲，随财富的增加，人们的效用是递增的。在考虑金融资产定价时，研究的问题是未来不确定的“钱”今天的价格是多少，而不是将未来可能具体消费的商品直接纳入考虑的范围。因此，金融经济学常用的效用函数u（·）是以财富为自变量的一元函数，而则是行为人持有的各类金融资产的支付之和。那么，行为人的期望效用就等于。

明确了不确定性条件下的偏好关系可以用期望效用表示后，理性行为人的决策目标就是追求期望效用最大化。除此之外，冯·诺伊曼-摩根斯坦效用函数u（·）的形式具有更加丰富的内涵，原因在于效用函数的形式还反映了行为人对风险的态度，即所谓的“风险偏好”。通常情况下，人们都是“贪财”的，其效用函数是财富的增函数，即u′（·）＞0，但对待风险的态度却大相径庭。如何度量人们对待风险的态度呢？如果一个人喜欢参与“公平”的赌局，则称之为风险喜好的（risk loving）；如果他（她）持不情愿或无所谓的态度，则称之为风险厌恶的（risk averse），或将无所谓态度单列为风险中性。所谓“公平”的赌局，是指期望收益为零（不赔不赚）的赌局。例如，考虑以概率p获得正收益d₁、以（1-p）的概率获得负收益d₂的公平赌局，pd₁+（1-p）d₂=0，那么，如果交易者初始财富为z₀，则风险厌恶的交易者的效用函数u（·）应满足：

u（z₀）≥pu（z₀+d₁）+（1 -p）u（z₀+d₂）或等价地

u（p（z₀+d₁）+（1 -p）（z₀+d₂））≥pu（z₀+d₁）+（1 -p）u（z₀+d₂）

这表明风险厌恶的交易者的效用函数是凹函数（u″（·）＜0），不等号成立时称交易者为严格风险厌恶。

阿罗-普拉特（Arrow-Pratt）绝对风险厌恶度 R_A（·）（R_A（·）=-u″（·）/u′（·））是度量个体风险厌恶程度的指标之一，其数值越大说明要诱使个体将全部财富用来购买风险资产，所要求的风险升水越大。如果R_A（·）作为财富的函数是递增的，则称个体表现为绝对风险厌恶递增，说明随财富的增加，个体反而更不愿意投资于风险资产；如果R_A（·）为减函数，个体表现为绝对风险厌恶递减，即随着财富的增加，个体用于购买风险资产的投入也在增加；如果R_A（·）为常数，则称个体表现为常系数绝对风险厌恶，说明用于购买风险资产的货币与个体拥有的财富无关。

当个体表现为绝对风险厌恶递减时，个体用于购买风险资产的货币随财富的增加而增长，但是哪一方增加得比较快呢？阿罗-普拉特用相对风险厌恶度R_R（z）≡R_A（z）z来表明这些事。R_R（z）为增函数，说明随财富的增加，用于购买风险资产的货币的比例在下降；R_R（z）为常数，说明财富和购买风险资产倾向同比例增加；R_R（z）为减函数，则说明随财富的增加，用于购买风险资产的货币的比例在上升。

在不确定条件下，以期望效用表示的是个体的“总体”选择偏好（choice preference），它已经包含了个体对不确定性环境和风险的考虑，可以称为广义的偏好；对风险的态度又称为个体的风险偏好（risk preference），这是狭义的偏好概念。

1.3 均衡定价

金融资产的均衡定价思想是：首先为投资者对金融资产的偏好建模——期望效用最大化，然后考虑投资者跨时期的消费-投资决策，最后利用均衡条件确定金融资产的价格。这一节中，我们用一个例子来说明均衡定价的建模思想。

这里我们假定一个两期模型^[1]，即只有现在和未来两个时刻，现在是确定的，未来是不确定的。假定市场中有n种风险资产，其未来价格是n个随机变量x₁, x₂, …, x_n；第0种资产是无风险资产，其未来价格x₀是确定值；这n+1种资产的当前价格为p（x₀）, p（x₁）, p（x₂）, …, p（x_n）。这n+1种资产的投资组合可用n+1维向量θ=（θ₀, θ₁, …, θ_n）来表示。那么投资组合的当前价格为

y=θ₀p（x₀）+θ₁p（x₁）+…+θ_np（x_n）

而投资组合的未来价格为

y=θ₀x₀+θ₁x₁+…+θ_nx_n

假设有一个投资者，他在当前的财富禀赋为 ω⁰，未来的财富禀赋为ω¹。投资者在现在时刻还持有一个初始资产组合 。他的效用是用当前消费z⁰和未来消费z¹的期望效用函数u（z⁰, z¹）来衡量的。投资者可以用禀赋购买金融资产，也可以卖掉初始的投资组合，构造新的投资组合，从而跨期分配消费，达到效用最大化。因此，他面临的最优资产选择问题如下：求当前消费 z⁰和投资组合，使得E[u（z⁰, z¹）]达到最大。更确切地说，问题可表述为：求资产组合θ¹，使得

这里第一个等式是确定量的等式，第二个等式是随机量的等式。我们用ω¹取代。我们由此出发来推导著名的资本资产定价模型（CAPM）。

为导出CAPM，还需要假定E[u（z⁰, z¹）]=v（z⁰, E[z¹], Var[z¹]），即效用函数只与现在消费以及未来消费的均值和方差有关（均值-方差形式）。^[2]Markowitz在他的资产组合选择理论中（Markowitz,1952），开始时没有使用期望效用函数，而仅以组合收益率的均值和方差来衡量组合收益的优劣，即所谓“均值-方差准则”。Tobin（1958）发现在以下两个假设下，都可使期望效用函数变为均值-方差形式，即（1）运用二次效用函数；（2）假定随机变量服从正态分布。

在这样的假定下，如果再假定ω¹是常数，那么问题（1-1）可以表达为均值方差效用的形式。由于,。这样，问题（1-1）变为：求资产组合θ¹，使得

为简化表述，我们记v=v（x, y, z），它对三个变量的偏导数分别记为v_x, v_y, v_z。要求v_x＞0, v_y＞0, v_z＜0，它们分别意味着：“现在时刻消费越多效用越大”; “未来时刻消费越多效用越大”; “未来消费的风险越小越好”。

问题（1-2）的拉格朗日函数为

根据一阶条件，问题（1-2）的解满足以下条件：

其中，, 为对应的z⁰, z¹; r₁, …, r_n分别为各金融资产的收益率。

如果市场上有I个这样的“同质”投资者，即他们各自有禀赋ωⁱ⁰，资产组合θ ⁱ⁰和效用函数vⁱ；每个投资者面临着金融资产的选择问题：

投资者各自做出最优选择，如果市场上资产价格使得资产的需求等于供给，即,k = 0,1, …, n，那么称市场达到均衡。为简单起见，我们直接假设在这种情况下均衡存在。

由式（1-4），可得

其中，由式（1-3），可得

把式（1-6）写成矩阵形式，则可得

其中E[r]=（E[r₁], …E[r_n]）^T, e=（1, …,1）^T, , …,,，V=（V_jk）_{j, k=1, …, n}=（Cov[r_j, r_k]）_{j, k=1, …n}。因此

上式右端与i无关，从而可得

令

这是第i个投资者的最优组合中的第k种风险资产的价值在其持有资产总价值中所占的比重。那么由式（1-6）可得

由上式可得

但是

由此即得

代入式（1-9），我们有

对于固定的k，所有都相等，并且都等于市场组合相应的比例系数。事实上，由式（1-7），我们可得

其中 。但是由式（1-8）, 与i无关。因此，wⁱ与i无关，即对于固定的k，所有都相等。另一方面，

这样，对于任何资产i, -，因而可得

这就是资本资产定价模型（CAPM）的经典形式。

以上用均衡定价的思想构造模型，推出了资本资产定价模型。我们从研究单个投资者的消费-投资决策出发，在市场均衡的条件下获得了均衡的定价关系：风险溢价是定价的核心，投资者对不可分散的风险要求相应的回报，风险暴露程度高（β值高）的金融资产期望收益也高。

需要注意的是，以上CAPM的建模主要包括如下假设：第一，完全竞争的市场，即市场上存在着大量的投资者，每个投资者的财富相对财富总和来说均微不足道。投资者是价格的接受者，单个投资者的交易行为对股票价格不产生影响；第二，两时期的决策模型，即只有现在和未来两个时期，投资者根据对未来的预期来形成现在的决策；第三，不考虑交易成本和税收的影响；第四，投资人追求期望效用最大化，效用函数需要是“均值-方差效用函数”；第五，同质性信念假设，即投资者关于股票收益率的概率分布预期是一致的。

金融学理论研究不断进步发展，在拓展一个或多个CAPM假设的基础上形成了新的资产定价理论。跨时期资本资产定价模型（ICAPM; Merton, 1973）就是其中的一个拓展。跨时期资本资产定价模型将CAPM的两时期扩展为多时期的动态决策模型，投资者的效用函数也不需要是“均值-方差”效用函数而是基于消费选择的效用函数。在CAPM中，由于投资者的效用是“均值-方差”的，因此其投资决策中唯一关心的风险来源于股票的方差，因而在分散化个体风险之后，只有与市场组合的敏感程度所代表的系统风险才得到定价。ICAPM环境下，投资者考虑的问题是如何在生命周期内分配收入来实现消费的效用最大化，由于模型是多时期的决策模型，随着时间的变化，投资者所面临的投资可行集也会发生变化，对于投资者来说，其关心的风险不仅来源于市场的波动，而且来源于其他影响投资可行集变化的状态变量。投资者会产生对所有这些风险因素进行套期保值的需求，并对风险暴露程度高的股票要求溢价。按照ICAPM的思想，股票预期收益的决定因素应该与多种风险因素相关，而这些风险因素应该是可以描绘投资可行集变化的变量。

1.4 无套利定价

套利是金融学的重要概念之一，套利行为是“在两个不同的市场中，以有利的价格同时买进和卖出同种或本质相同的金融资产或资产组合的行为”（Sharpe and Alexander,1990）。套利行为之所以可以获利，是因为市场上存在套利机会。如果同种或本质相同的金融资产具有不同的价格，那么就会出现套利机会。

直观来讲，无套利就是指市场上不存在套利机会。如果将无套利具体化为资产定价的前提条件，那么可以将其分解为多个层次的含义。史树中（2004）将无套利假设分为五个层次：

第一，未来价值一样的金融资产（或组合），当前应该有一样的定价。这个条件也称为可定价法则；

第二，金融资产（或组合）的若干倍的当前价值应该等于该资产的当前价值的同样倍数，简单地说就是“批发价”和“零售价”相等；

第三，金融资产（或组合）的买价与卖价应该相同，没有买卖价差等交易成本；

第四，金融资产（或组合）的当前价值应该等于其组合成分的当前价值之和，即若干份A资产与若干份B资产在一起的资产组合的总价值，应该等于A资产价格的同样倍数与B资产价格的同样倍数之和；

第五，未来价值为正的组合，当前价值也为正。

对金融资产定价就体现了第一层次的无套利假设。否则，如果对于未来有不确定价值的金融资产来说，其当前价值也不确定，那么它在市场上就不可能交易；或者说，在市场上同一种资产可能有多种价格，从而就有人可以进行“低买高卖”的套利活动。无套利假设的第四层次也被称为“线性定价法则”。这条“线性定价法则”如果不成立也意味着存在某种套利机会，即我们有可能利用“合起来”买卖一个资产组合与“分开来”买卖一个资产组合的差价，来构造一个盈利的套利策略。

Modigliani and Miller（1958）第一次用无套利假设作为“公理”来作为金融资产定价的出发点，推出了著名的MM原理。自此以后，金融学家在资产定价的研究工作中，尝试将无套利单独拿出来，而不使用均衡定价的复杂框架，直接对金融资产定价，并逐渐发展成为一套“套利定价论”，或称“相对定价论”。

Black-Scholes期权定价理论（Black and Scholes,1973）是无套利定价的经典范例。股票买入期权是指以某一约定的执行价格在一定的期限内买入某种股票的权利。如果执行期是固定的，则称为欧式期权；如果执行期可以是到期前的任何时候，则称为美式期权。期权在它被执行时，如果股票的市价高于期权的执行价格，那么期权的价格就是市价与执行价格之差；如果股票的市价低于期权规定的执行价格，那么期权价格为零。由于股票未来的价格是不确定的，期权到期执行的价格也是不确定的。我们用一个简单的模型来演示无套利定价的思想。^[3]这个模型是一个两时期模型，有“现在”和“未来”两个时刻，并且“未来”时刻就是期权的执行时刻。股票“现在”的股价S₀是已知的，而“未来”的股价只有两种可能，即aS₀或bS₀，其中a≠b。为简单起见，这里还假定没有通货膨胀和无风险利息，即“现在”与“未来”的货币价值是一样的。如果期权的执行价格为K，那么期权在“未来”时刻的可能价格为 C_a= max（aS₀- k,0）和 C_b=max（bS₀-k,0），其中max表示括号内两个数中的大者。在这个模型框架下，我们求期权的“现在”的价格。

根据无套利假设，期权定价问题可以从不同的思想出发来得到解决。其中主要的三种是：

第一，风险对冲的思想。由于卖出股票与买入期权的风险方向相反，用这两种资产构造组合，可以达到完全保值的作用。设C₀为“现在”的期权价格，投资者卖出一份股票，买进x份期权，而这两种投资行为的组合使风险完全对冲，即不管未来出现哪一种情况，它的价值不变。于是就有方程：

-aS₀+xC_a= -bS₀+xC_b

根据该方程可以求出购买期权的份数x，并由“线性定价法则”，金融资产（或组合）的当前价值应该等于其组合成分的当前价值之和，即：

-S₀+xC₀= -aS₀+xC_a= -bS₀+xC_b

由此可解得期权的“当前”价格为：

第二，“复制”的思想。期权的“未来”价值虽然是不确定的，但是它完全依赖于股票的不确定的价格，以至期权本身可以通过股票交易和银行存款的组合来“复制”。这就是说，一份期权相当于y元银行存款与z份股票的组合。于是由这种组合的“未来”价值与期权价值一致，就得到两个方程

y+zaS₀=C_a, y+zbS₀=C_b

由此可解得

再由“线性定价法则”，有

第三，等价概率鞅测度的思想。我们假定“未来”可能有两种情况，但并未规定这两种情况的可能性（概率）各有多大。投资者可以根据自己所掌握的信息对这两种可能做出评估（主观概率）。在第五层次的无套利假设下，要求a与b中必然有一个大于1，另一个小于1，即股市的两种情况只能是一涨一跌。否则在都上涨时，投资者可通过“现在”买进，“未来”卖出，稳能得利；在都下跌时，投资者可采用相反的策略，同样稳能得利。^[4]在这种假定下，就存在有一种对未来的可能性估计，使得“未来”的股价的平均值恰好就等于“现在”的股价。这是因为a和b中必然有一个大于1，另一个小于1，从而存在0与1之间的数q（概率）使得aq+（1-q）b=1，即。而“现在”的期权价格应该就是在这种可能性估计下的“未来”的期权价格的平均值，即

这三种观点所得到的期权价格虽然完全一样，但是第三种观点在模型的假定上要比前两种观点更强。具体地说，在前两种观点中，只要求a≠b，而在第三种观点中还要求1在a, b之间，否则q就不在0,1之间，不可能解释为一种状态发生的概率。也就是说，在第三种观点中，对无套利假设的要求最高。

真正的Black-Scholes模型要比上面的例子复杂得多，核心的原因是模型必须更加接近于现实。Black-Scholes模型假设时间的变化是连续的，股价的变化也是连续的。股价变化用几何布朗运动来表示；同时，还假定有一种无风险资产来作为股价的参照物。Black and Scholes（1973）的原始论文中用的是风险对冲的方法，由此推出一个偏微分方程，该偏微分方程的解就是Black-Scholes期权定价公式。

Black-Scholes模型之后，一些金融学学者应用第二种和第三种观点来研究衍生金融工具的定价，从而使得无套利定价理论更为丰富。第二种观点隐含着一种“完全市场”的概念。在完全市场中，每一种衍生金融资产都可以应用其他资产组合来“复制”，从而衍生金融资产的价格也就可以应用其他资产的价格并根据线性定价法则来决定。第三种观点表达为严格的数学形式后，称为资产定价基本定理。它可以表述为：（完整的）无套利假设等价于存在对未来的不确定性的一种估计（数学上称为“等价鞅测度”），在考虑折现之后，使得金融资产的价格等于未来价格的平均值。

1.5 均衡与无套利

传统的经济学定价理论都是根据行为人的需求和供给，在一般经济均衡框架中形成的。金融学家则直接从无套利的假设出发，也可以得到金融资产的价格。那么，均衡框架和无套利之间有什么样的逻辑关系？这一节中，我们用一个简单的投资-消费模型^[5]来说明无套利假设其实只是“均衡定价”的推论，即达到一般均衡的价格体系一定是无套利的。

模型仍然是两时期的，只有“现在”与“未来”两个时刻，“现在”的股价S₀是已知的，而“未来”的股价可能有两种情况，或是变成aS₀，或是变成bS₀，其中a≠b。“现在”与“未来”的货币价值是一样的，既无通货膨胀，也无银行利息。投资者A所追求的目标是他的消费期望效用最大。因此，首先有一个描述其效用的冯·诺伊曼-摩根斯坦效用函数u（c），且u是c的递增函数。在此模型中，当A要对自己的投资消费行为进行决策时，需要根据他所掌握的信息，对“未来”有一个估计。于是他估计股票价值为aS₀（以后我们称这一状态为状态a）的概率为p，而为bS₀（以后我们称这一状态为状态b）的概率为1-p。这个（p,1-p）可能是确实要发生的“客观概率”，也可能是A根据自己掌握的信息来判断的“主观概率”。根据冯·诺伊曼-摩根斯坦的期望效用函数理论，A的未来不确定消费的效用就等于其不确定效用的数学期望。也就是说，如果A在状态a的消费价值为c_a，在状态 b 的消费价值为 c_b，那么其未来消费的效用就是 pu（c_a）+（1-p）u（c_b）。这里，我们假定投资者的冯·诺伊曼-摩根斯坦效用函数不随时间变化，A的总消费效用函数就是他的当前消费效用与未来消费效用之和，那么他的总效用就是

U（c₀; c_a, c_b）=u（c₀）+pu（c_a）+（1-p）u（c_b）

其中c₀是当前消费价值，c_a和c_b分别是两种未来消费价值。^[6]

现在我们要讨论的问题是：A怎样通过他对银行和股市的投资，来使他的总消费效用最大。这里还需假定A在现在有禀赋资金e₀，在未来两个状态下分别有禀赋资金e_a和e_b，于是如果A在当前向银行存款x_d（如果x_d＜0意味着贷款），在股市买入股票x_s（如果x_s＜0意味着“卖空”），在未来从银行取款，在股市卖出股票，那么我们就有

c₀=e₀-x_d=S₀x_s; c_a=e_a+x_d+aS₀x_s; c_b=e_b+x_d+bS₀x_s

这样，对A来说，最优投资-消费决策问题就是

max U（c₀; c_a, c_b）=u（c₀）+pu（c_a）+（1-p）u（c_b）

s. t. c₀= e₀-x_d-S₀x_s≥0

c_a= e_a+x_d+aS₀x_s≥0

c_b= e_b+x_d+bS₀x_s≥0

事实上，只要假设u是递增函数，如果a和b不在1两边，那么这个问题一定没有解。这是因为此时就会出现套利机会，A只需要通过当前向银行借款，低价买入股票，未来高价卖出股票（或者现在高价卖空股票，把钱存入银行，未来低价买入股票来平仓）就能增加他的总效用，并且这样做是无止境的。也就是说，我们可以在变量的约束范围内使u趋向于无限大。另一方面，如果这一问题有解x-_d, x-_s，那么作为上述结论的逆否命题，（完整的）无套利假设一定成立。

也就是说，如果我们需要用均衡框架来讨论金融问题，无套利假设的成立其实也是必要条件。如果假定函数的可导性，那么我们还可以从问题解的一阶条件得到

即

其中

由上可以得到，

与上节的第三种观点相比较，令，那么，这就得到了前面的“等价概率鞅测度”。也就是说，这其实就是另一种特殊方式的资产定价基本定理的证明。后一等式在假定未来股价aS₀和bS₀已知的条件下，给出了现在股价的定价公式。

以上模型说明，如果我们要从行为人的最优投资-消费的问题出发，在得到股价定价关系的同时，同样可以得到资产定价基本定理，即最优投资-消费问题有解的必要条件是无套利假设成立，或者资产定价基本定理成立。

均衡定价给出了行为人“理性”条件下金融资产的“绝对”价格。这个绝对价格也可以称为金融资产的基本价值。无套利作为金融市场的基本原则更易于理解并具有实际的意义，因为套利行为是促使市场回到基本价值的力量。由Friedman（1953）对套利行为的分析就证明了这种情形。

假定有一种金融资产，由于非理性的投资者相互关联的抢购“哄抬”，其价格已经超过基本价值。察觉到这种价格高估，聪明的投资者或套利者将卖出甚至卖空这种高价资产，同时买进本质相似的其他资产进行风险对冲。如果能找到这种可替换的资产，套利者又能对之进行买卖的话，他们一定有利可图，因为他们在卖出高价资产后，同时又买进了同样或相似的价格偏低的资产。这样买卖的结果是使得被高估的资产价格回到其基本价值上。事实上，如果可替代资产存在，套利者之间的逐利竞争又使得他们的行动非常迅速高效的话，资产价格是不可能较大地偏离其基本价值的，套利者自己也无法获得多少超额收益。这同样适用于价值被低估的资产。为了获取利润，套利者在买进价格低估资产的同时会卖出本质相同的其他资产来对冲风险，这样就阻止了资产价格或大幅度或长期的低估。

套利行为还含有更多的意思。在某种意义上说，由于非理性投资者买进价格高估的资产而放弃价格低估的资产，所以，他们所获收益要低于套利者。相对于他们的同类来讲，缺乏理性的投资者总在亏钱。像Friedman（1953）指出的那样，他们不可能永远在亏损，这些人的财产会一天天减少，最终他们会从市场中消失。即使套利者不能及时消除这些人对资产价格的影响，市场力量也会减少他们的财富拥有量。从长期来看，因为竞争的选择和套利的存在，市场会保证金融资产的价格保持在其基本价值上。

1.6 小结

“理性”行为人假设是经典金融学中均衡定价理论的核心假设，在“理性”行为人假设中，行为人的期望效用偏好构成“理性”的必要条件之一。均衡定价理论首先为投资者对金融资产的偏好建模——期望效用最大化，然后考虑投资者跨时期的消费-投资决策，最后在均衡条件中确定金融资产的价格。这个价格就是所谓的“绝对”价格，或者称为基本价值。因此，期望效用的“理性”偏好是经典金融学中绝对定价的出发点。

无套利是市场均衡的必要条件。作为定价方法，无套利定价只能够确定资产的相对价格。虽然这种定价方法在实际中被广泛地应用，但如果需要更深入地理解金融资产价格的形成机制，均衡定价理论仍处于核心的地位。

参考文献

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[11]Tobin, J. ,1958, Liquidity preference as behavior toward risk, Review of Economic Studies,25,65—86.

[1] 该模型选编自史树中（2004）第七讲。

[2] 在均衡定价的框架下，CAPM的导出仍然与“均值-方差准则”密切相关，其中特别是效用函数需要是“均值-方差效用函数”。

[3] 该例子引自史树中（2004）。

[4] 这里同样还要假定投资者总有一定的资金可支配，并且股市允许“卖空”，即允许卖出你并不拥有的股票，只要你能在“未来”交割时，有资金到市场去把股票买回。

[5] 该模型引自史树中（2004）。

[6] 这里实际上还假定A对当前和未来的重视程度一样。如果他重当前，轻未来，在这个效用函数的后两项前乘一个0与1之间的“折现因子”。