3.4.3　平面中心线线形拟合

由于施工的误差、高速公路经过多年的运营存在路基变形，高速公路的中心线线位和原设计存在一定的偏差，在进行拓宽时，必须对既有高速公路的中心线进行拟合。

1.平面中心线的计算模型

公路中心线是由一系列直线、圆曲线、缓和曲线首尾相连组合而成。用数学语言可以这样表述：集合A=｛直线，缓和曲线，圆曲线｝，令ai∈A（i=1，2，3，…，n），对于任意线形设计单元ai，可以用状态描述方程来表述其几何特性。

中心线任一线形单元上任一点的状态描述值（x，y），可以采用如下方程进行描述：

式中：（x0，y0）——线形单元起点的坐标；

φ0——线形单元起点的方位角；

S——线形单元任一点到线形单元起点的长度；

k（S）——线形单元的曲率方程。

直线、圆曲线、缓和曲线的坐标方程计算模型分别如下：

（1）直线：

（2）圆曲线：

式中：sign=｛1，-1｝，sign=1——圆曲线逆时针转，反之表示圆曲线顺时针转；

R——圆弧半径。

（3）缓和曲线：

式中：Rb——缓和曲线起点的半径；

Re——缓和曲线终点的半径；

A——缓和曲线参数。

sign1=｛1，-1｝，sign2=｛1，-1｝。

式中：sign1=1——缓和曲线逆时针转，反之表示顺时针转。

sign2=1——缓和曲线Rb＞Re并且sign1=1或缓和曲线Rb＜Re并且sign1=-1；

sign2=-1——缓和曲线Rb＜Re并且sign1=1或缓和曲线Rb＞Re并且sign1=-1。

2.平面线形拟合技术

高速公路改造，平面设计需要了解原平面线形的设计资料以及竣工资料，然后需要对现状的公路进行测量，在此基础上，可以进行平面线形拟合。

（1）平面拟合设计的流程。

第一步：输入原设计的竣工资料，生成竣工图的平面设计中心线。

第二步：检查平面坐标散点数据，剔除突变点。

第三步：划分点位段落。可据各点对应的曲率半径的变化，确定点位所处的曲线类型。点位在直线段内则ρ=∞；点位在缓和曲线段内则ρ均匀变化；点位在圆曲线段内则ρ=R。

第四步：求解曲线参数。对于直线段内的散点，利用直线拟合技术求出平曲线的交点坐标；对于圆曲线内的散点，利用圆曲线拟合技术求出半径R；对于缓和曲线内的散点，利用缓和曲线拟合技术求出要素A或缓和曲线长度L。

第五步：进行控制点校核。

经过上述各个步骤，已经得出由散点数据能得到的效果最好的拟合线位数据，其误差最小。通过进一步调整线位数据得到满足条件的平面线位数据。

（2）平面拟合设计模型。

公路平面线形通常由直线、圆曲线和缓和曲线组成。下面分别讨论各个线形拟合的理论依据：

1）直线拟合。

根据最小二乘法原理：数据在使各个误差平方和最小的意义下，拟合函数与观测值将达到最佳拟合效果。

如果点位（x，y）在直线段内，则变量间存在线性关系，可用y=ax+b来拟合它们之间的变化关系，由最小二乘法，应使

得：

式中：

利用上述公式可求出散点所在的直线方程式：y=ax+b

则相邻两直线的导线交点坐标为即为所求平曲线的交点坐标。

拟合线位与原路线的吻合程度由相关系数来检验：

当|γ|越接近1表明拟合线位相关性越理想。

2）圆曲线拟合。

圆曲线的圆弧方程的一般形式为：？

式中：x0，y0——拟合圆弧的圆心坐标；

R0——拟合圆弧的半径。

将上式展开：

令：

则：x 2+y 2+Ex+Fy+G=0

用原公路上已测得的各点坐标（xi，yi）代替上式中的x和y，显然上式计算结果不会等于0，即：

这时，可用最小二乘拟合法来确定E，F，G，于是偏差平方的总和为：

使上式为最小值，有

其中

相应方程的矩阵形式为：

式中：∑Lx=∑Lxi；∑Ly=∑Lyi。

求解方程组：

依次可以求得：

拟合圆曲线半径的偏差：

3）缓和曲线的拟合。

求出直线和圆曲线的参数方程后，可以依次求得为直线与圆弧的垂直切线长度LL，由公式：

通过二分法可求出缓和长度Ls。

3.平面线形拟合标准

既有高速公路中心线应依据现场实测数据进行拟合，并应以工程竣工资料进行线形校验，平面拟合线形应由直线、圆曲线、缓和曲线组成，线形拟合设计应符合下列规定：

（1）两侧拼宽路段宜独立进行平面线形拟合设计。

1）拟合设计应依据平面线形，按左、右幅中央分隔带边缘线实测点位的平面坐标进行拟合，左、右幅两侧测点资料应进行相互校核。

2）应合理选择拟合控制点，控制点宜为桥梁的跨中与桥台、互通式立体交叉和分离式立体交叉的交叉点等。

3）平面线形拟合的技术标准主要采用测设点到拟合中心线垂直距离的标准误差作为评价指标。

假定平面中心线有N个线形单元组成，第i个线形单元的坐标拟合点有Ki个，其中第j个坐标点到对应的拟合线形单元的垂直距离是Lij，则平面线形拟合的标准误差计算式为：

高速公路经过多年的运营，尽管存在一定程度的路基变形，但一般不大，以沪宁高速公路（上海段）为例，路基变形在0～0.40m，平均为0.28m，因此，高速公路的拟合中心线的标准误差不会过大，一般控制在0.20m以内。面线形拟合精度标准应符合表3-1的规定。

4）对于较长曲线，可采用多元复曲线进行拟合设计。

5）拟合后圆曲线半径与原设计值之差小于3%时，可采用原设计值计算其他指标。

（2）单侧拼宽路段，宜以既有公路平面线形为基础，在满足中央分隔带设置要求的前提下进行拼宽部分的平面线形设计。

（3）整体式扩建路段的超高设计应符合下列规定：

1）应对既有高速公路超高段及超高渐变段的横坡进行拟合，计算超高渐变率。

2）应根据拟合的平面中心线和超高值，按现行《路线设计规范》合理确定超高值。

3）超高渐变率宜和拟合值一致，当拟合值小于1/330时，应按1/330进行设计。

4）超高旋转轴应和既有高速公路保持一致。

5）对于利用既有路面，但行驶方向发生改变的路段，应根据实际的线形指标，分析确定是否改建或采取相应管理措施。