二、旋转圆盘下的温场和浓度场

根据图3-18及vr，vφ，vz与F，G，H的关系，可精确地求得流体中任一点的速度场。根据已知速度场，由热传输和质量传输方程就可求出旋转圆盘下的温度场和浓度场（temperature field and concentration field of flow under rotating desk）。

根据式（1-25）、（2-7）可得柱坐标下具有旋转对称的稳态温场、稳态浓度场中的热传输和质量传输方程

流体速度仍然应用冯卡曼的参量变换

这些是无量纲坐标和无量纲速度分量。与第五节中类似，引入无量纲温度T*与无量纲浓度C*

其中T0，C0为参考温度和参考浓度，可以选取流体的平均温度和平均浓度T0，C0。T1，C1为盘面温度和盘面浓度。进行参量变换后，可简化为无量纲温度T*、无量纲浓度C*的常微分方程

其中P为普兰托数，S为斯密特数。而边值条件为

可以看出，若流体的普兰托数与斯密特数相等，则流体内的温场和浓度场不仅有相同的无量纲方程，而且有相同的无量纲边值条件，则该流体中的温场和浓度场完全相似。一般说来，温场与普兰托数有关，而浓度场决定于斯密特数。不过我们可将方程（3-78）及边值条件（3-79）归结为

以及

若N=P，则θ=T*，若N=S，则θ=C*；因而只需在数学上解满足边值条件（3-81）的微分方程（3-80）就能得到流体中的温场和浓度场。值得注意的是，我们虽然通过参量变换得到了普通的微分方程，但仍然必须用数值解。斯帕罗（Sparrow）和格雷格（Gregg）[22]对N为0.01、0.1、1、10和100已分别求得了θ，而他们对式（3-80）进行数值计算时，对式中H的数值是取自图3-18中的H曲线。他们所获的结果表示于图3-20中。图中的结果是根据式（3-80）、（3-81）求解的，故当N为普兰托数时，曲线代表无量纲温度T*关于ξ的分布，而当N为斯密特数时，曲线代表无量纲浓度分布。从图中不同的N的曲线形状可以看出，旋转圆盘下的温场和浓度场的性质与流体本身的物理性质（以普兰托数和斯密特数表征）的关系十分密切。

图3-20　不同普兰托数（N=P）和不同斯密特数（N=S）的流体中温场的温度（θ=T*）和浓度场（θ=C*）[22]