一、计划速率法[5]，[9]

对给定的溶液系统，若k0＜1，随着生长的进行，在固液界面前沿不断地排泄出溶质，故剩余溶液中的溶质浓度CL（z′）逐渐增加。另一方面，任一时刻生长的晶体，其中的溶质浓度CS（z′）=k有效·CL（z′）。而k有效可以通过改变工艺参量v，ω来调节，参阅式（2-24）和式（2-27）。于是，就可以通过改变拉速v、转速ω来调节k有效的大小，使它和CL（z′）的乘积不变，这样就能保持CS（z′）不变。例如由于CL（z′）逐渐增大，我们可使拉速v按一定的计划程序逐渐减少，这样可以获得溶质均匀分布的晶体。

现在我们将指出，生长条件应按怎样的规律变化，才能获得溶质均匀分布的晶体。如果溶液的初始体积为V，初始平均浓度为CM，则初始的溶质总量为CMV。当凝固的体积分数为g时，溶液中溶质的余量为CL（g）（1-g）V。由于要求长入晶体的浓度CS保持不变，故长入晶体中的溶质总量为gVCS＝gVk0CL（0）。由于直拉法为保守系统，长入晶体的溶质总量与溶液中溶质的余量之和不变，等于初始的溶质总量，故有

CL（g）（1-g）+gk0CL（0）=CM

或

其中CL（g）是凝固体积分数为g时溶液中的平均浓度，CL（0）是该时刻溶质边界层中溶质在固液界面处的浓度。而凝固体积分数为g时长入晶体的溶质浓度为CS（g）。

根据定义有，。故，将k有效的表达式（2-24）代入，可得

由于CS（g）＝k0CL（0），故欲得均匀晶体，要求CL（0）不变。由于CL（g）是逐渐增加的，由式（2-34）可知，若在生长过程中使逐渐减少，就有可能使CL（0）保持不变。而当为零时，就给出了可能得到的均匀晶体的最大体积分数gmax，由式（2-34）得

将式（2-35）代入（2-33）式，并令g=gmax，则得

故在均匀晶体区间内，即0≤g≤gmax，由式（2-33）与（2-36）得

于是，由式（2-37）与（2-34）可得在均匀晶体的区间内，生长条件必须满足的条件

gmax是用计划速率法可能获得的最大体积分数。gmax的大小决定于开始按计划速率生长时的拉速与转速。如果进入等径生长阶段，开始用计划速率来生长，如果此时的拉速为vi，转速为ωi，通过（2-27）式可求得δi，并令此时的gi＝0，根据（2-38）式可得

随着晶体生长，即随着g的增加，如果我们根据（2-38）式制定的程序来改变拉速，这样就能长出溶质分布均匀的晶体，这就称为计划拉速方法。同样，我们根据（2-38）式和（2-27）式制定的程序来改变转速ω，这样也可长出浓度均匀的晶体，这就称为计划转速方法。

伯顿等人[9]用直拉法生长了以砷为溶质的锗单晶体。采用了计划拉速方法，生长时转速为60 r/min，gmax＝0.5，根据式（2-38）求得的拉速的减速程序如图2-18的曲线所示。实验所得的结果如图2-19，图中表示了电阻率（与砷浓度成反比）沿锗晶体轴向的分布。可以看出，上述理论与实验结果基本一致。

图2-18　提拉的减速程序（1 in=2.54cm）

图2-19　电阻率沿Ge晶体轴向的分布[9]