*第七节　非稳温场和温度波

如前所述，温场中的温度不仅是空间坐标的函数而且也是时间的函数，这样的温场称为非稳温场，可以记为T（x，y，z，t）。在非稳温场中一固定点，其温度随时间而变化，因此不同的时刻有不同的温度。在某一时刻过此固定点可作一等温面，在下一时刻又可作另一等温面。对于同一点不同时刻的等温面，不仅等温面的温度不同（该点温度在不同时刻有不同值），而且一般说来，等温面的形状也不同（因空间各点的温度随时间变化的速率不同）。当然非稳温场中温度梯度矢量的大小和方向都将随时间变化。

能量守恒的微分方程（1-25）式，实际上是在非稳温场中推导出来的。因为在推导过程中考虑了闭合曲面中单位时间内因温度变化所吸收或放出的热量，因而要了解非稳温场，只需求满足给定边值条件和初始条件的偏微分方程（1-25）的解。

求解非稳温场是比较复杂的。我们这里只讨论一个特殊的非稳温场问题，即温度波的问题。

温度起伏（或振动）以有限速率在介质中的传播过程，叫温度波。由于温度波（transport of temperature wave）普遍地存在于晶体生长过程中，因而关于温度波的讨论是十分重要的。

如果是感应加热，坩埚就是发热体，加热功率的起伏将产生坩埚温度的起伏，由此而产生的温度波是如何通过熔体传到固液界面的?如果是硅碳棒电阻加热，则温度波如何穿过气流、坩埚、熔体传至固液界面邻近?如果由于籽晶杆中冷却水的流量起伏，造成晶体籽晶端的温度起伏，则温度波是如何穿过晶体影响固液界面的?如果环境温度起伏（如实验室中气流起伏），则温度波又是如何穿越炉壳、保温层……影响固液界面的？显然这些问题是十分复杂的，我们不可能精确地讨论，但对其中的某些问题作一定的近似处理后，我们就能将其简化为一维模型，这样就能对某些重要现象作出定性的说明。

如果一等径生长的晶体，籽晶端为平面，使坐标原点固定于此端面中心，z轴平行于晶体生长轴且指向熔体。如果晶体中的等温面是平面，且平行于x-y面，则热流的迹线平行于z轴。如果在晶体籽晶端的端面上（即z＝0），其温度周期性起伏（例如由冷却水流量的起伏所致），可表示为

当晶体的长度较长时，我们就可将这个问题看作一维半无限长杆上的温度波的传播问题。后面我们将说明，只要晶体的长度大于温度波的波长，用这样的近似来定性地说明问题还是可以的。

于是根据式（1-27）可得晶体中一维非稳温场所满足的方程为

因此温度波在晶体中的传播（晶体中的非稳温场）可以通过求解偏微分方程（1-67）及边值条件（1-66）而获得。可以看出，满足式（1-67）和边值条件（1-66）的解具有下列形式

将式（1-68）代入（1-67）中可导出T0（z）所满足的微分方程

此为常系数二次齐次方程的最简单形式，其解为

由于，故有

于是将式（1-70）代入（1-68）得到式（1-67）的解为

其中具有正弦形式的解不满足边值条件式（1-66），故其解为

其中，式（1-71-b）是振幅随传播距离z而衰减的温度波的波动方程。波之振幅是A0exp（-αz），α愈大，温度波衰减得愈快，故α称为温度波的衰减系数。若令z=1cm，此处温度波的振幅为A1，则A1=A0exp（-α），故，故温度波的衰减系数在数值上等于温度波在原点的振幅A0与传至1cm处振幅A1之比值的对数。由此可以通过实验的方法求得材料的温度波的衰减系数，由于，故又能进一步得到材料的热扩散系数κ。另外还可以看出，频率愈高，衰减系数愈大。

式（1-71）中的（ωt-αz）是温度波传播至z处的位相角，αz称为位相延迟，即在z处的位相角和在原点的位相角之差值。如果温度波的波长为λ，则亦为位相延迟，故有αz=，于是可求得温度波的波长

其中ω是角频率，温度波的频率，故有

我们写出温度波传至z处的振幅表达式

可知z=λ处，A=A0exp（-2π）=0.0019A0，即温度波传播到一个波长处，其振幅只有其原振幅的0.19%。因此我们可以定义温度波的波长为该温度波的穿透深度。显然温度波的穿透深度（或波长）决定于材料的热扩散系数κ以及温度波的频率ν，我们估计了在不同材料中温度波的穿透深度（或波长），其数据列于表1-3。

*表中列出的是室温下的物理常数，但不影响对穿透深度的半定量估计。

由表1-3可知，由于金属、半导体、氧化物的热扩散系数依次减少，故给定频率的温度波波长（穿透深度）亦依次减小，例如：对频率为1 Hz的温度波在铜中穿透到3.8cm处，其振幅衰减到原振幅的0.19%，而在LiNbO3中只穿透到0.42cm。同时可以看出，频率稍高的温度起伏，穿透深度更小，故只需晶体的长度大于几个波长，把这种情况作为无限长处理是许可的。

还有一点，我们特别感兴趣的，就是一般非正弦式的温度波，总可以展开成傅里叶级数，而其中只有频率较低的温度波才有可能传至固液界面邻近。

一般单晶炉（如硅碳棒电阻炉、硅钼棒电阻炉以及感应加热的单晶炉）都有耐火材料的保温层。这些耐火材料如氧化铝、氧化锆、氧化镁，其热扩散系数的数值与表1-3中的Y3Al5O12（YAG），LiNbO3相近，只要保温层有一定厚度，温度起伏特别是高频温度起伏是不能传至固液界面的。

当加热功率起伏时，如为感应加热，则直接产生坩埚温度的起伏；如为电阻加热，加热功率的起伏也可以近似地看作坩埚温度的起伏。因而问题归结为因坩埚温度起伏而产生的温度波是如何在熔体中传播的。这显然比较复杂，不过如果坩埚足够大，坩埚底和固液界面间的等温面又近于平面，我们同样可把这一问题近似看作一维的温度波传播。不过我们此时将坐标原点固定于坩埚底部的中心，z轴平行于坩埚的对称轴且指向晶体。于是由（1-27）式得到非稳温场所满足的微分方程

其边值条件为

式中v是熔体的流动速率。在一维近似的情况下，若固液界面的位置不变，则v等于晶体的提拉速率，故通常可将v看作常数。因而在熔体中的非稳温场，就是温度波在熔体中的传播。可通过求解满足边值条件（1-75）的微分方程（1-74）式得到。

同样的数学运算，可知式（1-74）的解，仍然是振幅随z的增加而指数衰减的温度波。其振幅的表达式和（1-73）相同，为

不过其衰减系数α较为复杂，其表示式为[15]

其中v是流速在z方向的分量，在流体强烈对流的条件下，有v2≫4ωκ，则式（1-77）可表示为

如果熔体中传导占优势，则v很小，或对流的速率v≈0，即没有对流，此时

在这种情况下，则方程（1-74）就退化为（1-67），而α的表达式（1-79）就和固体中传播的衰减系数全同。这种情况我们在前面已经详细地讨论过了。

对比式（1-78）和式（1-79），流体中在对流占优势的区域，v较大，故α较小，而传导占优势的区域α较大。这表明，熔体中的宏观对流，有利于温度波的传播。而温度波在无宏观对流的区域衰减较快。

---

参考文献

[1]Scott R A M．J Cryst Growth，1971，10：39.

[2]Brice J C．J Cryst Growth，1968，2：395.

[3]Bridgers H E，Scarf J H，Shive J N．Transistor Technology[M]．Van Nostrand，1958，1：Chapter 6.

[4]Brice J C，Hill O F，WhiffIn P A C，et al．J Cryst Growth．1971，10：133.

[5]Vojdani S，Dabiri A E，Ashoori H．J Cryst Growth．1974，24/25：374.

[6]Runyan W G．Silicon Semiconductor Technology[M]．McGraw-Hill，1965: 38-49.

[7]Bird R B，Stewart W E，Lightfoot E N．Transport Phenomena[M]．Wiley，1960: Chapter 10.

[8]Brice J C．J Cryst Growth，1977，42：427.

[9]Brice J C．J Cryst Growth，1970，7：9.

[10]Arizumi T，Kobayashi N．J Cryst Growth，1972，13/14：615.

[11]Brice J C，Whiffin P A C．Solid state Electron，1964，7：183.

[12]Turovskii B M，Cheremin K D．Inorgan Mater，1968，4：712.

[13]Mil'vidskii M G，Bochkarew J．J Cryst growth，1978，44：61.

[14]Милъвидски М Г，Освенскии B B．Пробдеми Современныи Кристаддоrрафии[M]．Наука，1975: 79.

[15]Hurle D T J，Pike E R．J Cryst Growth，1968，3/4：633.