知识点学习
在《图解数学思维训练课：建立孩子的数学模型思维（数字与图形·加法与减法应用训练课）》与《图解数学思维训练课：建立孩子的数学模型思维（乘法与除法应用训练课）》中我们分别学习了加法、减法、乘法和除法的画图方法，它们都可以通过“部分-整体”画图法或者“比较”画图法来进行画图。
通过画图的方法来解数学题目，你们是不是觉得数学变得简单啦？
其实啊，我们之前只是讲了简单的画图方法，要么是加减法，要么是乘除法，通常只需要一步计算就能得出结果。
可是我们遇到的应用题往往比这些难很多。这一章，我就要给你们带来一点新的挑战哟！需要解决的问题呢，也不是一步就能算出来的，而是需要把我们前面学到的画图知识都用上。
怎么样，敢不敢接受挑战呢？
1 两步加减
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让我们先来看一道题目：
小朋友们都很喜欢恐龙吧？恐龙在2亿年前是地球的统治者。
你知道哪种恐龙最厉害吗？
对了，是霸王龙！
不过有一种草食性恐龙也很厉害，头上长着3只尖角，它们叫三角龙。三角龙的防御能力很强，敢于和霸王龙战斗。
在一片沼泽地里，9只三角龙碰到了一群霸王龙，三角龙比霸王龙多3只。
请问这片沼泽地里一共有多少只恐龙？
我们可以用“比较”画图法来画图：
根据图形，写出已知量和未知量。
已知量：三角龙9只，三角龙比霸王龙多3只
未知量：恐龙总数量
我们需要计算恐龙的总数量，但问题是我们不知道霸王龙的数量是多少只，因此在计算恐龙总数量之前，首先得计算霸王龙的数量才行。
所以，这道题目我们可以分两步来做：
① 第一步，算出霸王龙有多少只：
9 − 3 = 6（只）
② 第一步，算出三角龙和霸王龙的总数：
9 + 6 = 15（只）
答：这片沼泽地里一共有15只恐龙。
2 两步乘除之一
下面再来加大一点儿难度吧！
你知道吗？有一种目前已知的最长的肉食性恐龙叫棘（jí）龙，它们很喜欢吃鱼。
有一天棘龙妈妈带着小棘龙到河里抓鱼，棘龙妈妈抓了15条鱼，是小棘龙抓到的鱼的5倍。
你知道棘龙妈妈比小棘龙多抓了多少条鱼吗？
画出图形：
我们可以根据图形，写出已知量和未知量。
已知量：棘龙妈妈抓了15条鱼，是小棘龙抓到的鱼的5倍
未知量：棘龙妈妈比小棘龙多抓了多少条鱼
从图上可以看出，棘龙妈妈对应5个方框，因此，1个方框代表的数量是：
15 ÷ 5 = 3（条）
再仔细观察图形，棘龙妈妈的方框比小棘龙多出来多少个？
答案是4个！
因此，可以列出算式：
3 × 4 = 12（条）
答：棘龙妈妈比小棘龙多抓了12条鱼。
上面这道题是问棘龙妈妈比小棘龙多抓了多少条鱼，那如果问棘龙妈妈和小棘龙一共抓了多少条鱼呢？
我们再把问题变一下：
问：棘龙妈妈和小棘龙一共抓了多少条鱼？
画图：
我们可以根据图形，写出已知量和未知量。
已知量：棘龙妈妈抓了15条鱼，是小棘龙抓到的鱼的5倍
未知量：棘龙妈妈和小棘龙一共抓了多少条鱼
从图上可以看出，棘龙妈妈对应5个方框，因此，1个方框代表的数量是：
15 ÷ 5 = 3（条）
再仔细观察图形，棘龙妈妈和小棘龙加起来对应多少个方框呢？
答案是6个！
因此，可以列出算式：
3 × 6 = 18（条）
答：棘龙妈妈和小棘龙一共抓了18条鱼。
3 两步乘除之二
我们再把题目变换一下吧，看这道题：
阿根廷龙是一种草食性恐龙，它可能是地球上曾经生活过的最长的动物，长度可达到30多米。
马普龙是阿根廷龙的天敌。
在一块空地上，一群阿根廷龙遭遇了一群马普龙，阿根廷龙比马普龙多9只，阿根廷龙的数量是马普龙的4倍。
请问有多少只阿根廷龙？
我们在《图解数学思维训练课：建立孩子的数学模型思维（乘法与除法应用训练课）》中学习过类似的问题，而这道题要稍微难一点儿，需要两步才能解决。
画出图形：
我们可以根据图形，写出已知量和未知量。
已知量：阿根廷龙比马普龙多9只，阿根廷龙的数量是马普龙的4倍
未知量：阿根廷龙的数量
阿根廷龙比马普龙多了3个方框，对应的9只，所以1个方框代表的数量是：
9 ÷ 3 = 3（只）
而阿根廷龙对应4个方框，所以：
3 × 4 = 12（只）
答：有12只阿根廷龙。
如果再问个问题，阿根廷龙和马普龙一共有多少只？
其实也很简单了，来数一数，阿根廷龙和马普龙一共有多少个方框呢？
答案是5个！
所以，列出算式：
3 × 5 = 15（只）
答：阿根廷龙和马普龙一共有15只。
小贴士
这种类型的题目可以叫“差倍”问题，意思是知道两个数的差和倍数关系，可以求出这两个数分别是多少。
那如果知道两个数的和与倍数关系，能不能求出这两个数分别是多少呢？
答案是当然可以，这就是“和倍”问题啦！
4 两步乘除之三
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有一大一小两只阿根廷龙正在产蛋，它们一共产了48个恐龙蛋，大龙产蛋的数量是小龙产蛋数量的3倍。
请问大龙产下了多少个蛋？
还是先画图：
我们可以根据图形，写出已知量和未知量。
已知量：大龙和小龙产蛋的总数是48个，大龙产蛋的数量是小龙产蛋数量的3倍
未知量：大龙产蛋的数量
我们在《图解数学思维训练课：建立孩子的数学模型思维（乘法与除法应用训练课）》中已经学习过，大龙和小龙一共对应4个方框，一共是48个蛋，所以1个方框代表的数量是：
48 ÷ 4 = 12（个）
而大龙对应3个方框，所以：
12 × 3 = 36（个）
答：大龙产了36个蛋。
如果再问个问题，大龙产的蛋比小龙多了多少个？
其实也很简单了，大龙比小龙多了多少个方框呢？
答案是2个！
所以，列出算式：
12 × 2 = 24（个）
答：大龙产的蛋比小龙产的蛋多了24个。
小贴士
这种类型的题目被称为“和倍”问题，意思是知道两个数的和与倍数关系，可以求出这两个数分别是多少。
5 混合运算
前面学习的是两步加减或者两步乘除问题，还比较简单，只要画好图然后一步一步去算就行了。
接下来呢，让我们提高点难度吧！
①
弯龙和剑龙经常生活在一起，它们会共同抵抗敌人的进攻。
有一群弯龙和剑龙，一共有15只，弯龙比剑龙多7只。
请问弯龙有多少只？
这道题目有点奇怪，以前好像没见过。你是不是有种感觉，题目读完，却好像不知道该如何下手？
别急，我有方法，咱们还是先来画图。
我们可以根据图形，写出已知量和未知量。
已知量：弯龙和剑龙一共15只，弯龙比剑龙多7只
未知量：弯龙的数量
我们仔细地看上一页的图，弯龙比剑龙多了7只。
那么如果再增加7只剑龙会怎么样呢？
那我们的图就会变成这样：
图上的阴影部分，代表了增加的7只剑龙，也就是弯龙比剑龙多出来的部分，数量是7只。
这个时候弯龙和剑龙加起来是多少只呢？肯定不是15只了，因为剑龙增加了7只。
是不是应该在原来的总数15只上再加上7只呢？
所以我们可以这样写：
15 + 7 = 22（只）
那么图形就变成了：
从上图可以看出来，两个方框长短是一样的，而它们相加等于22。
那么一个方框代表多少只呢？
这就很简单啦，只要用除法就能算出来了：
22 ÷ 2 = 11（只）
而弯龙的数量就是用一个方框代表的，因此弯龙是11只。
这就是使用画图方法的好处，这么难的题目一下子就做出来了，你理解了吗？
上面这么多步骤讲的都是思考的过程。
其实在解题的时候，只需要画出下面的图形，然后在脑海中完成上面的过程就行啦。
画图后可以直接列出算式：
15 + 7 = 22（只）
22 ÷ 2 = 11（只）
答：弯龙有11只。
同样还是这道题目，如果我们把问题变一下：请问剑龙有多少只呢？
其实聪明的你已经想到了，弯龙比剑龙多7只，因此可以列出下面的算式计算剑龙的数量：
11 - 7 = 4（只）
答：剑龙有4只。
② 上面的解法是不是很巧妙啊？不过，你先别激动，因为我还有另外一个绝招要教给你。
还是同样的题目：
问：剑龙有多少只？
先画图：
我们可以根据图形，写出已知量和未知量。
已知量：弯龙和剑龙一共15只，弯龙比剑龙多7只
未知量：剑龙的数量
我们仔细观察图形，剑龙比弯龙少了7只。如果减少7只弯龙会怎么样呢？
我们来看图：
图上的阴影部分相当于我们减去的7只弯龙，也就是剑龙比弯龙少的那一部分，数量是7只。
被减去之后，这个时候弯龙和剑龙加起来是多少只呢？肯定不是15只了，因为弯龙少了7只。
是不是应该在原来总数15只的基础上再减去7只呢？
所以列出算式如下：
15 − 7 = 8（只）
那么图形就变成了：
从上图可以看出来，两个方框大小一样，而它们相加等于8。那么一个方框代表多少只呢？
这就简单啦，可以用除法来计算：
8 ÷ 2 = 4（只）
而剑龙的数量就是一个方框代表的数量，因此剑龙的数量是4只。
当然，我们也可以根据剑龙的数量算出弯龙的数量，因为弯龙比剑龙多7只。也就是：
4 + 7 = 11（只）
上面就是解答这种问题的另外一个方法，你理解了吗？
其实在解题过程中，只需要画出下面的图形就行啦。
画图后可以直接列出算式：
15 - 7 = 8（只）
8 ÷ 2 = 4（只）
答：剑龙有4只。
最后总结一下啊，我们上面讲了两种方法，一种是增加剑龙的数量，另一种是减少弯龙的数量，但是得到的结果都是一样的。
小贴士
对于这种类型的题目，我们就叫它“和差”问题，意思是已知两个数的和与差，求这两个数各是多少。
怎么样，你们都会了吗？