1.6　逻辑代数理论

布尔代数由英国数学家乔治·布尔于1849年创立，是数字电路设计理论中重要的组成部分。逻辑变量之间的因果关系，以及依据这些关系进行的布尔逻辑推理可用代数运算表示，这种代数称为逻辑代数，它是一个由逻辑变量集合、常量“0”和“1”，以及逻辑与、逻辑或和逻辑非三种运算所构成的代数系统。

1.6.1　逻辑代数中的运算关系

参与逻辑运算的变量叫作逻辑变量，用字母A、B等表示，每个变量的取值非0即1。0和1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。

1.正、负逻辑规定

（1）正逻辑体制。当采用正逻辑体制时，规定高电平为逻辑“1”，低电平为逻辑“0”。

（2）负逻辑体制。当采用负逻辑体制时，规定低电平为逻辑“1”，高电平为逻辑“0”。

除非有特殊说明，本书采用正逻辑体制。

2.逻辑函数

如果有若干个逻辑变量（如a、b、c、d）按逻辑与、逻辑或和逻辑非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L，对逻辑变量的任意一组取值（如0000、0001、0010），L都有唯一的值与之对应，则称L为逻辑函数。由逻辑变量a、b、c、d所表示的逻辑函数记为

L=f（a，b，c，d）

3.逻辑运算与其性质

两个主要的二元运算的符号定义为∧（逻辑与）和∨（逻辑或），把单个一元运算符号定义为（逻辑非），并且还使用“0”（逻辑假）和“1”（逻辑真）。逻辑代数有下列性质。

1）结合律

a∧（b∧c）=（a∧b）∧c

a∨（b∨c）=（a∨b）∨c

2）交换律

a∨b=b∨a

a∧b=b∧a

3）吸收律

a∨（a∧b）=a

a∧（a∨b）=a

4）分配律

a∨（b∧c）=（a∨b）∧（a∨c）

a∧（b∨c）=（a∧b）∨（a∧c）

5）互补律

6）幂等律

a∨a=a

a∧a=a

7）有界律

a∨0=a

a∨1=1

a∧1=a

a∧0=0

8）德·摩根定律

9）对合律

为了兼容目前各种数字逻辑/数字电路教科书的表示方法，本书后面将逻辑与表示成“·”、逻辑或表示为“+”、逻辑非表示为“-”、逻辑异或表示为“⊕”。

4.逻辑代数的基本规则

1）代入规则

任何一个含有变量X的等式，如果将所有出现变量X的位置都用一个逻辑函数F进行替换，此等式仍然成立。例如，等式：

B·（A+C）=B·A+B·C

将所有出现变量A的地方都用函数E+F代替，则等式仍然成立：

B·[（E+F）+C]=B·（E+F）+B·C=B·E+B·F+B·C

2）对偶规则

设F是一个逻辑函数式，如果将F中的所有的符号“·”变成“+”、符号“+“变成符号“·”、“0”变成“1”、“1”变成“0”，而变量保持不变，那么就得到了一个逻辑函数式F′，这个F′就称为F的对偶式。如果两个逻辑函数F和G相等，则它们各自的对偶式F′和G′也相等。例如：

F=A+B

使用对偶规则将等式改写为

F′=A·B

吸收律成立，则它们的对偶式：也是成立的。

3）反演规则

当已知一个逻辑函数F求时，只要把F中的所有符号“·”变成“+”、符号“+”变成“·”、“0”变成“1”、“1”变成“0”、原变量变成反变量、反变量变成原变量即得。例如，等式：

使用反演规则，得到表示为

反演规则也可通过德·摩根定律得到。

1.6.2　逻辑函数表达式

所有的逻辑函数表达式，不管逻辑关系多复杂，一定可以使用“与或”表达式或者“或与”表达式表示。由于在逻辑函数表达式中，逻辑与关系用符号“·”表示，逻辑或关系用符号“+”表示。所以，“与或”表达式也称为积之和（Sum of Product，SOP）表达式，“或与”表达式也称为和之积（Product of Sum，POS）表达式。

1.“与或”表达式

“与或”表达式是指由若干“与项”进行“或”运算构成的表达式。每个“与项”可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相“与”组成。例如，均为“与项”。“与项”又被称为“乘积项”。将这3个“与项”相“或”便可构成一个3变量函数的“与或”表达式，表示为

用真值表准确地表示“与或”表达式如表1.20所示。

对于SOP表达式来说：

（1）对于包含3个输入变量A、B和C的真值表，可以使用3输入变量的逻辑与门。对于真值表中Y输出为“1”的每一行，要求一个3输入的逻辑与门。

（2）如果该行中某个输入变量的输入为“0”，则表示对该输入变量取反。

（3）所有的逻辑“与项”连接到具有一个M个输入的逻辑或门（M为Y输出为“1”的行的个数，此处M=3）。

（4）逻辑或门的输出是该逻辑函数的输出。

所以，Y的输出用下面的逻辑等式表示：

2.“或与”表达式

“或与”是指由若干“或项”进行“与”运算构成的表达式。每个“或项”可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相“或”组成。例如，A+B、B+C、、D均为“或项”，将这4个“或项”相“与”便可构成一个4变量函数的“或与”表达式，表示为

用真值表准确地表示“或与”表达式如表1.21所示。

对于POS表达式来说：

（1）对于包含3个输入变量A、B和C的真值表，可以使用3输入变量的逻辑或门。对于真值表中Y输出为“0”的每一行，要求一个3输入的逻辑或门。

（2）如果该行的某个变量的输入为“1”时，表示对该输入取反。

（3）所有的逻辑“或项”连接到一个具有M输入的逻辑与门（M为Y输出为“0”的行的个数，此处M=5）。

（4）逻辑与门的输出是该逻辑函数的输出。

所以，最后Y的输出用下面的逻辑等式表示：

通常，逻辑函数表达式可以表示成任意的混合形式。例如：

该逻辑函数既不是“与或”式也不是“或与”式。但不论什么形式，都可以变换成SOP或者POS这两种最基本的形式。

3.最小项和最大项

在上面的SOP表达式中，每个乘积项包含所有3个输入变量。同样，在POS表达式中，每个和项包含所有3个输入变量。包含3个输入变量的乘积项称为最小项，包含3个输入变量的和项称为最大项。如果将一个给定行上的输入“1”或者“0”当作一个二进制数，则最大项或者最小项的数字可以分配到真值表中的每一行。因此，上面的SOP等式包含最小项1、3和5；POS等式包含最大项0、2、4、6和7。在SOP等式内的最小项中，输入变量为“1”表示取输入变量的原值，而输入变量为“0”表示对该输入变量取反。如表1.22所示，为上面的真值表加入完整的最小项和最大项。

对最小项和最大项编码，这样将SOP和POS等式用简化方式表示。SOP等式使用符号∑，表示乘积项求和；POS等式使用Π，表示和项求积。真值表内输出为“1”的一行定义了一个最小项，输出为“0”的一行定义了最大项。下面给出使用最小项和最大项的简单表示方法：

F=∑m（1，3，5）

F=ΠM（0，2，4，6，7）

思考与练习1-25：请画出下面等式所表示的逻辑电路。

F=∑m（1，2，6）

G=ΠM（0，7）

思考与练习1-26：请画出下面等式所表示的逻辑电路。

F=∑m（1，5，9，11，13）

G=ΠM（0，4，7，10，14）