2.2 移动通信信道的多径传播特性
2.2.1 移动通信信道中的电波传播损耗特性
无线电信号通过移动通信信道时会经受不同类型的衰减损耗。以陆地为例，若用公式表示，接收信号功率可表示为
式中，
为移动台与基站的距离
式（2-31）是信道对传输信号作用的一般表达式，这些作用有三类。
1）传播损耗，又称为路径损耗。它是指电波传播所引起的平均接收功率衰减，其值由
决定。
与
的n次方成反比，其中n为路径衰减因子，自由空间传播时n=2，一般情况下n=3～5。
2）阴影衰落，用
表示。这是由于传播环境中的地形起伏、建筑物及其他障碍物对电波遮蔽所引起的衰落。
3）多径衰落，用
表示。这是移动通信传播环境的多径传播而引起的衰落。多径衰落是移动通信信道特性中最具特色的部分。
上述三种效应表现在不同距离范围内，如图2-6所示为典型的实测接收信号场强，其规律如下：
图2-6 陆地移动传播特性
1）在数十米波长的范围内，接收信号场强的瞬时值呈现快速变化的特征，这就是多径衰落引起的，有些文献称这种衰落为小尺度衰落。在数十波长范围内对信号求平均值，可得到短区间中心值。
2）在数百米波长的区间内，信号的短区间中心值也出现缓慢变动的特征，这就是阴影衰落。在较大区间内对短区间中心值求平均值，可得长区间中心值（又称中值）。
3）在数百米或数千米的区间内，长区间中心值随距离基站位置的变化而变化，且其变化规律表明接收信号的平均功率与信号传播距离d的n次方成反比。有些文献称后两种衰落为大尺度衰落。
从工程设计的角度看，传播损耗和阴影衰落合并在一起反映了无线信道在大尺度上对传输信号的影响，它们主要影响到无线覆盖范围，合理的设计总可以消除这种不利的影响（详见第11章）；而多径衰落严重影响信号传播质量，并且是不可避免的，只能采用抗衰落技术（分集、均衡和扩频等）来减小其影响（详见第5章）。
2.2.2 移动环境的多径传播
陆地移动通信信道的主要特征是多径传播：传播过程中会遇到各种建筑物、树木、植被以及起伏的地形，引起电波的反射、散射，如图2-7所示。这样，到达移动台天线的信号不是由单一路径来的，而是多路径电波的合成。由于电波通过各个路径的距离不同，因而各条路径电波信号到达时间不同，相位也就不同。不同相位的多个信号在接收端叠加，有时同相叠加而增强，有时反相叠加而减弱。这样，接收信号的幅度将急剧变化，即产生了衰落。这种衰落是由于多径传播引起的，称为多径衰落。
图2-7 移动通信信道环境
通常在移动通信系统中，基站用固定的高天线，移动台用接近地面的低天线。例如，基站天线通常高30m，可达90m；移动台天线通常为2～3m以下。移动台周围的区域称为近端区域，该区域内物体的反射是造成多径效应的主要原因。离移动台较远的区域称为远端区域，在远端区域，高层建筑、较高的山峰等反射会产生多径衰落，并且，这些路径要比近端区域中建筑物所引起的多径的长度要长。
2.2.3 多普勒频移
当移动台在运动中通信时，接收信号频率会发生变化，称为多普勒效应。由此引起的附加频移称为多普勒频移（Doppler Shift），可用下式表示：
式中，α是入射电波与移动台运动方向的夹角，如图2-8所示；v是运动速度；λ是波长。
式（2-32）中，
与入射角度无关，是fD的最大值，称为最大多普勒频移。
图2-8 入射角α
【例2-2】 若载波fc=900MHz，移动台速度v=50km/h，求最大多普勒频移。
解：
2.2.4 多径接收信号的统计特性
1．瑞利分布
考虑到多普勒频移，移动台接收到传播路径长度为l的信号可以表示为
式中，al为信号幅度；fD是多普勒频移；φl为电波到达相位，可表示为
式中，l为传播路径长度。
为了便于对多径信号做出数学描述，首先给出下列假设：
1）在发信机与收信机之间没有直射波通路。
2）有大量反射波存在，且到达接收天线的方向角及相位均是随机的，且在0～2π内均匀分布。
3）各个反射波的幅度和相位都是统计独立的。
一般说来，在离基站较远、反射物较多的地区，上述假设是成立的。在这种情况下，接收信号可以表示为
令
则
其中，
式中，Tc（t）和Ts（t）分别为Sr（t）的两个角频率相同的相互正交分量；φi为电波到达相位；θi是入射角；ai为信号幅度。它们都是随机变量。当N很大时，Tc（t）和Ts（t）是大量独立随机变量之和。根据中心极限定理，大量独立随机变量之和接近于正态分布。因而，Tc（t）和Ts（t）是高斯随机过程。
若用Tc和Ts分别表示某时刻t对应于Tc（t）和Ts（t）的随机变量，则Tc和Ts服从正态分布，其概率密度为
式中，σc和σs分别为Tc和Ts的方差。
Tc和Ts的均值为零，方差相等，即
可以证明Tc和Ts相互独立。由此可推出，Tc和Ts的联合概率密度等于两者概率密度之积，即
为了求出接收信号幅度和相位的概率分布，需将式（2-41）由直角坐标形式变换成极坐标形式。由式（2-41）可求出接收信号的幅度r和相位θ的联合概率密度，即
在（0，+∞）区间内对r积分，可得θ的概率密度，即
在[0，2π]区间内对θ积分，可得r的概率密度，即
由式（2-43）和式（2-44）表明，接收信号的相位服从[0，2π]的均匀分布，接收信号的幅度（包络）服从瑞利分布。图2-9给出了瑞利分布概率密度曲线。
图2-9 瑞利分布概率密度曲线
由式（2-44）可得出有关接收信号包络的一些统计量。
信号包络r的累积分布函数为
一阶矩（即均值）为
二阶矩为
满足P（r≤rm）=0.5的rm值称为信号包络样本区间的中值。由式（2-44）可求出
上述分析表明，在多径传播条件下，接收信号的包络服从瑞利分布。
2．莱斯分布
上述分析的前提是假设N个多径信号相互独立，且没有一个信号占支配地位。这在接收机离基站较远，直射波由于扩散损耗较大而很弱，或者由于遮蔽而没有直射波，仅有大量反射波的情况下是成立的。然而，在离基站较近的区域中，通常存在着占支配地位的直射波信号，此时上述假设不能成立。理论上可以推出，此时接收信号包络服从莱斯分布（Rician Distribution）。莱斯分布的概率密度函数为
式中，r是衰落信号的包络；rs和σ为莱斯分布的两个参数；σ2为r的方差；rs为直射波信号的幅度；I0（·）为零阶修正贝塞尔函数。当
时，式（2-49）表示的莱斯分布的概率密度函数可以表示为
上述结论已经通过对在微蜂窝环境中进行电波传播测试的结果进行统计分析得到证实。当rs→0，即无直射路径时，由式（2-49）可见莱斯分布退化为瑞利分布。
3．Nakagami-m分布
Nakagami-m分布是由Nakagami于20世纪60年代提出的。他通过基于现场测试的实验方法，用曲线拟合得到近似分布的经验公式。研究表明，Nakagami-m分布对于无线信道的描述有很好的适应性，其对于一些实验数据的拟合比瑞利、莱斯或者高斯分布都要好。
若信号包络r服从Nakagami-m分布，则其概率密度函数为
式中，m为不小于1/2的实数，
；Ω=E（r2）；Γ（m）为伽马函数，Γ（m）=
。
对于功率s=r2/2的概率密度函数，则有
式中，
为信号的平均功率，
。
当m=1时，有
则Nakagami-m分布退化为瑞利分布。
当m较大时，Nakagami-m分布接近高斯分布。
2.2.5 衰落信号幅度的特征量
工程应用中，常常用一些特征量表示衰落信号的幅度特点。这样的特征量有衰落率、电平通过率和衰落持续时间。
1．衰落率
衰落率是指信号包络在单位时间内以正斜率通过中值电平的次数。简单地说，衰落率就是信号包络衰落的速率，是对衰落特征的最简洁描述。衰落率与发射频率、移动台的行进速度、方向及多径传播的路径数有关。测试结果表明，当移动台的行进方向朝着或背着电波传播方向时，衰落最快。此时，平均衰落率可用下式表示：
式中，速度v的单位为km/h；频率f的单位为MHz，平均衰落率FA的单位为Hz。
【例2-3】 若f=800MHz，v=50km/h，移动台沿电波传播方向行驶，求接收信号的平均衰落率。
解：
FA=1.85×10-3×50×800Hz=74Hz
也就是说，接收信号包络低于中值电平的衰落次数在1s之内可达74次。
2．电平通过率
观察实测的衰落信号可以发现，衰落速率与衰落深度有关。深度衰落发生的次数较少，而浅度衰落发生得相当频繁。例如，电场强度从
衰减20dB的概率约为1%，衰减30dB和40dB的概率分别为0.1%和0.01%。
定量地描述这一特征的参量就是电平通过率（Level Crossing Rate, LCR）。电平通过率NR被定义为信号包络在单位时间内以正斜率通过某规定电平R的平均次数。前面讨论的衰落率只是电平通过率的一个特例，即规定电平为信号包络的中值。图2-10解释了电平通过率。
图2-10 电平通过率和平均电平持续时间
在图2-10中，信号包络在时刻1、2、3、4以正斜率通过规定电平R=A，也就是在T期间内，信号电平4次衰落至电平A以下。这样，电平通过率为NR=NA=4/T。
对于瑞利衰落，电平通过率在数学上可以表示为
式中，
为信号包络r对时间的导数；
为R和
的联合概率密度函数。可以求出电场分量Ez的NR表达式为
式中，fm是最大多普勒频移，ρ为
式中，Rrms为信号包络的均方根电平，
。
【例2-4】 已知车辆速度为60km/h，工作频率为1000MHz，求瑞利信道中信号包络均方根电平为Rrms的电平通过率。
解：由题R=Rrms，所以
，由式（2-56）计算出NR=0.915fm，而fm=
=55.5Hz，所以NR=45.75Hz。
3．衰落持续时间
接收信号电平低于接收机门限电平时，就可能造成语音中断或误比特率突然增大。因此，了解接收信号包络低于某个门限的持续时间的统计规律，就可以判断语音受影响的程度，或者可以确定是否会发生突发错误及突发错误的长度，这对工程设计具有重要意义。由于每次衰落的持续时间也是随机的，所以只能给出平均的衰落持续时间（Average Fade Duration）。
平均衰落持续时间被定义为信号包络低于某个给定电平值的概率与该电平值所对应的电平通过率之比，可用下式表示：
τR的意义可由前面图2-10看出。在T时间内，信号包络低于给定电平R的次数为NT（图中NT=4），设第i次衰落的持续时间为τi，衰落持续时间的平均值为
对于平稳随机过程，在整个时间T内r≤R的概率为
又因为NR=NT/T，由式（2-59）得
所以τR表示的是衰落持续时间的平均值。对于瑞利衰落可以求出电场分量的平均衰落持续时间为
式中，fm是最大多普勒频移；
；
为信号包络的均方根电平。如果设
可以得到归一化的平均衰落时间为
可以看出，式（2-64）等号的右端已经与工作频率和车速无关。工程上往往根据式（2-64）制成图表来进行有关的计算。
【例2-5】 设移动台速度为24km/h，工作频率为850MHz，已知接收信号包络服从瑞利分布。求接收包络低于接收信号包络中值电平的平均衰落持续时间。
解：由f=850MHz，v=24km/h，可以求得
本题给定电平为接收信号包络中值，则有
由此可以计算出
所以
τR=1.2τ0≈0.025s=25ms