直接代入法

不定方程组，求x＋y＋z＝？

【例1】【国考】甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件，需花3.15元；如果购买甲4件、乙10件、丙1件，需花4.20元。购买甲、乙、丙各1件，需花多少钱（ ）

A.1.05元

B.1.4元

C.1.85元

D.2.1元

【解析】A。不定方程组求x＋y＋z＝？时用赋0法。设甲、乙、丙每件分别为x、y、z元，则，令y＝0，原方程组化简为，解得。因此，x＋y＋z＝1.05＋0＋0＝1.05元。

故正确答案为A。

【习题1】【国考、黑龙江】甲购买3签字笔、7支圆珠笔、1支铅笔共花费32元，乙购买同样价格的笔，其中签字笔4支，圆珠笔10支，铅笔1支，共用去43元，问：单独购买签字笔、圆珠笔、铅笔各一支共需多少钱（ ）

A.21

B.11

C.10

D.17

【解析】C。不定方程组求x＋y＋z＝？时用赋0法。设签字笔、圆珠笔、铅笔每支分别为x、 y、 z元，则，令 y＝0，原方程组化简为，解得。因此，x＋y＋z＝11＋0＋（－1）＝10元。

故正确答案为C。

【习题2】【联考】木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张，共需多少个小时（ ）

A.47.5

B.50

C.52.5

D.55

【解析】C。

方法一：设加工桌子、凳子和椅子每张分别用时x、y、z小时，则，令y＝0，解得。因此，（5＋0＋0.25）×10＝52.5。

方法二：4张桌子和8张凳子共20小时、4张桌子和8张椅子共22小时，所以8张桌子、8张凳子、8张椅子共42小时。因此，10张桌子、10张凳子、10张椅子一共需要 ×10＝525小时。

故正确答案为C。

直接代入法＋数字特性法

【例1】【安徽】一个最简分数，分子和分母的和是50，如果分子、分母都减去5，得到的最简分数是2。这个分数原来是多少（ ）

A

B

C

D

【解析】B。由“分子和分母的和是50”知，只有B选项符合。

故正确答案为B。

【例2】【国考】一个小于80的自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这个自然数最大是多少（ ）

A.32

B.47

C.57

D.72

【解析】C。问最大从最大的选项开始代入。代入D选项，72－3＝69，不是6的倍数，排除D；代入 C选项，57＋3＝60，是5的倍数，57－3＝54，是6的倍数，符合题意。

故正确答案为C。

【例3】【河北】三个连续的奇数，后两数之积与前两数之积的差为2004，则这三个数中最小的数为多少（ ）

A.497

B.499

C.501

D.503

【解析】B。

方法一：代入排除法。问最小从最小的选项开始代入。代入A选项，三个连续的奇数依次为497、499、501，后两数之积与前两数之积的差不等于2004，排除A；代入B选项，三个连续的奇数依次为499、501、503，后两数之积与前两数之积的差恰好等于2004，符合题意。

方法二：设中间的奇数为x，最小的数为x－2，最大的数为x＋2，则有x（x＋2）－x （x－2）＝2004，解得x＝501。因此，最小的数为501－2＝499。

故正确答案为B。

【习题1】【北京社招】某校的学生总数是一个三位数，平均每个班35人，统计员提供的学生总数比实际总人数少270人，原来他在记录时粗心地将三位数的百位与十位数字对调了。该学校学生总数最多是多少人（ ）

A.748

B.630

C.525

D.360

【解析】B。由“平均每个班35人”知，总人数应为35的倍数，只有BC符合。问学校总人数最多是多少，则先代入B选项验证，630－360＝270，符合条件。

故正确答案为B。

【习题2】【山东】某工厂生产的零件总数是一个三位数，平均每个车间生产35个，统计员在记录时粗心地将该三位数的百位与十位数字对调了，结果统计的零件总数比实际总数少270个。问该工厂所生产的零件总数最多可能有多少个（ ）

A.525

B.630

C.855

D.960

【解析】B。由“平均每个车间生产35个”知，零件总数为35的倍数，排除CD；问零件总数最多可能有多少个，则先代入B选项验证，630－360＝270，符合条件。

故正确答案为B。

【习题3】【湖北、内蒙古、河北村官】某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人。原校人数最多可以达到多少人（ ）

A.900

B.936

C.972

D.990

【解析】C。首先，原校人数为36的倍数，显然可以排除D。问学校总人数最多是多少，则先代入C选项验证，972－792＝180，符合条件。

故正确答案为C。

【习题4】【广州】几个朋友相约游泳，男士统一戴白色泳帽，女士统一戴红色泳帽。每位男士看到的白色泳帽数量与红色泳帽数量一样多，每位女士看到的白色泳帽数量都是红色泳帽数量的倍数。女士最少有几人（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】B。设男士有x人，女士有y人。由“每位男士看到的白色泳帽数量与红色泳帽数量一样多”知，x－1＝y；由“每位女士看到的白色泳帽数量都是红色泳帽数量的倍数”知，x＝n（y－1）。联立两式消掉x得，。问女士最少有多少人，则从最小数据开始代入，当y＝1时，解得n不存在，当y＝2时，解得n＝3，满足题干要求。

故正确答案为B。

常识代入法＋数字特性法

【例1】【湖北、新疆】一菜店有大白菜和萝卜共147筐，取出大白菜的和3筐萝卜送给某学校，剩下的大白菜和萝卜的筐数相等。问菜店原有大白菜和萝卜各有多少筐（ ）

A.85、80

B.80、67

C.75、65

D.70、57

【解析】B。由“大白菜和萝卜共147筐”知，只有B选项符合。

故正确答案为B。

【例2】【河南选调】某大学新建了一栋10层楼的图书馆，进出这栋大楼共有8道门，其中4道正门大小相同，4道侧门大小也相同。安全检查中，对8道门进行了测试：当同时开启2道正门和4道侧门时，2分钟内可以通过720名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，3分钟内可以通过390名学生。问平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生（ ）

A.100和80

B.80和50

C.200和150

D.180和100

【解析】B。由“当同时开启1道正门和1道侧门时，3分钟内可以通过390名学生”知，1分钟内可以通过130名学生，只有B选项符合。

故正确答案为B。

【例3】【联考】甲、乙两种商品的价格比是3∶5。如果它们的价格分别下降50元，它们的价格比是4∶7，这两种商品原来的价格各为（ ）

A.450元、750元

B.375元、625元

C.300元、500元

D.525元、875元

【解析】A。

方法一：直接代入法，只有A选项符合题干所有条件。

方法二：根据甲减去50后是4份即为4的倍数，验证四个选项可知，只有A选项中450减去50后是4的倍数。

故正确答案为A。

【例4】【联考】甲乙两人共同投资一件收藏品，约定好费用支出均分，利润也均分。某次甲给了乙500元用于支付专家鉴定费，结果专家只向乙收取了300元鉴定费，但乙忘记将余下的钱给甲。后收藏品以20000元的价格转手，问此时甲乙应该各拿走多少钱（ ）

A.甲10050元，乙9950元

B.甲10200元，乙9800元

C.甲10150元，乙9850元

D.甲10350元，乙9650元

【解析】D。收藏品以20000元的价格转手，均分后甲乙各得10000元；专家鉴定费300元，每人应出150元，甲实际出500元，甲多出500－150＝350元，所以甲应得10000＋350＝10350元，乙应得10000－350＝9650元。

故正确答案为D。

【例5】【国考】某汽车厂生产甲、乙、丙三种车型，其中乙型产量的3倍与丙型产量的6倍之和等于甲型产量的4倍，甲型产量与乙型的2倍之和等于丙型产量的7倍。则甲、乙、丙三型产量之比为（ ）

A.5∶4∶3

B.4∶3∶2

C.4∶2∶1

D.3∶2∶1

【解析】D。由“乙型产量的3倍与丙型产量的6倍之和等于甲型产量的4倍”知，4甲＝3乙＋6丙，等式右边为3的倍数，故甲必为3的倍数，只有D选项符合。

故正确答案为D。

【例6】【河南政法干警】小明、小强和小亮是同班同学。今年小明15岁，小强和小亮的年龄之和是小明年龄的两倍，小亮比小强大两岁。再过10年，小亮和小强的年龄之和也是小明的年龄的两倍。请问他们两人的现在年龄分别是多少岁（ ）

A.11岁和19岁

B.12岁和18岁

C.13岁和17岁

D.14岁和16岁

【解析】D。由“小亮比小强大两岁”知，只有D选项符合。

故正确答案为D。

【例7】【国考】小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁（ ）

A.25，32

B.27，30

C.30，27

D.32，25

【解析】B。

方法一：小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁，即王哥＝王＋2＝李＋5，说明小王比小李大3岁，只有B选项符合。

方法二：王哥＝王＋2＝李＋5＝李弟＋7，说明小王比小李的弟弟大5岁。1994年两人的年龄和为15，可得小王1994年为10岁，故小王在2014年为30岁。

故正确答案为B。

【习题1】【山东】卫育路小学图书馆一个书架分上下两层，一共有245本书。上层每天借出15本，下层每天借出10本，3天后，上下两层剩下图书的本数一样多，那么，上下两层原来各有图书多少本（ ）

A.108、137

B.130、115

C.107、113

D.122、123

【解析】B。

方法一：由题意知，原来上层书本总数大于下层，只有B选项符合。

方法二：设原来上层有x本书，则x－15×3＝245－x－10×3，解得x＝130，原来下层有245－130＝115本。

故正确答案为B。

【习题2】【政法干警】某医院门诊大楼最多容纳1500人，进出大楼有4个门，其中2个大门大小一致，2个小门大小一致。大楼安全员对4个门的通行能力进行测试，同时打开1个大门和2个小门，2分钟内可通过600人；同时打开1个大门和1个小门，3分钟内可通过720人。当紧急情况发生时，出门效率降低30％。根据安全标准，紧急情况下大楼所有人员须在5分钟内撤离，那么发生紧急情况时这4个门最多能够通过多少人（ ）

A.1440

B.1500

C.1600

D.1680

【解析】B。由“同时打开1个大门和1个小门，3分钟内可通过720人”知，同时打开1个大门和1个小门，1分钟内可通过720÷3＝240人，5分钟内可通过240×5＝1200人，那么同时打开4个门，5分钟内可通过1200×2＝2400人。但是当紧急情况发生时，出门效率降低30％，即同时打开4个门，5分钟内可通过2400×（1－30％）＝1680人。注意，虽然计算结果是1680人，但是前提已知大楼最多容纳1500人，因此，最多能够通过1500人。

故正确答案为B。

【习题3】【政法干警】甲乙两人进行围棋对弈，当盘面上乙的棋子数目比甲多一倍时，乙再次发起进攻，下了5手后，吃了甲10枚棋子。此时，盘面上乙的棋子数目恰好比甲多2倍。那么，现在棋盘上甲、乙各有几枚棋子（ ）

A.15枚、45枚

B.17枚、51枚

C.25枚、75枚

D.12枚、36枚

【解析】B。

方法一：代入A选项，即乙下了5手，甲下了4手后，二人分别有棋子45枚和15枚，那么乙原来有棋子45－5＝40，甲原来有15－4＋10＝21，乙不是甲的2倍，排除；代入B选项，乙原来有棋子51－5＝46，甲原来有17－4＋10＝23，乙是甲的2倍，B选项符合题干所有条件。

方法二：设开始棋面上甲有棋子x枚，则乙为2x枚，乙下了5手，那么甲下了4手，此时乙的棋子变成了2x＋5枚，而甲本应该变成x＋4，但被吃了10枚棋子，所以甲现在棋面上的棋子有x－6枚。因此，2x＋5＝（x－6）×3，解得x＝23。所以，现在棋盘上甲、乙各有17、51枚棋子。

故正确答案为B。

【习题4】【吉林】已知赵先生的年龄是钱先生年龄的2倍，钱先生比孙先生小7岁，三位先生的年龄之和是小于70的素数，且素数的各位数字之和为13，那么，赵、钱、孙三位先生的年龄分别为（ ）

A.30岁、15岁、22岁

B.36岁、18岁、13岁

C.28岁、14岁、25岁

D.14岁、7岁、46岁

【解析】A。由“钱先生比孙先生小7岁”知，只有A选项符合。

故正确答案为A。

【习题5】【安徽】社区活动中心有40名会员，全部由老人和儿童组成。第一次社区活动组织全体老年会员参加，第二次活动组织全体女性成员参加。结果共有12人两次活动全部参加，6人两次活动全未参加。已知老人与儿童的男女比例相同，且老人数量多于儿童，问社区活动中心的会员中，老人，儿童各多少名（ ）

A.30、10

B.18、22

C.28、12

D.25、15

【解析】A。

方法一：由“老人数量多于儿童”排除B。由题意知，12人为女性老年会员，6人为男性儿童会员。代入A选项，可知男性老年会员有30－12＝18人，男女比例为3∶2，由“老人与儿童的男女比例相同”知，女性儿童会员有4人，那么儿童会员一共10人，A选项符合题干所有条件。

方法二：由题意知，12人为女性老年会员，6人为男性儿童会员。设男性老年会员为x名，则女性儿童会员有（40－12－6－x）人，则x∶12＝6∶（40－12－6－x），解得x＝18或x＝4，若x＝4，则与条件“老人数量多于儿童”矛盾，不合题意，舍去，故x＝18。因此，老人、儿童分别有30、10人。

故正确答案为A。

函数画图问题用代入排除法

【例1】【国考】某学校组织学生春游，往返目的地时，租用可乘坐10名乘客的面包车，每辆面包车往返的租金为250元，此外，每名学生的景点门票和午餐费用为40元。如果要求尽可能少租车，则以下哪个图形最能反映平均每名学生的春游费用支出与参加人数之间的关系（ ）

【解析】B。代入特殊值观察。门票和午餐费固定40元不变，变化的就是每人平摊的车费，结合图形，代入人数等于1、10、11时大致判断图形变化趋势。

故正确答案为B。

【习题1】【国考】某集团三个分公司共同举行技能大赛，其中成绩靠前的X人获奖。如获奖人数最多的分公司获奖的人数为Y，问以下哪个图形能反映Y的上、下限分别与X的关系（ ）

【解析】C。容易知道Y的上限为X，即Y＝X，排除A。判断下限时，代入特殊值观察，当X取1、2时，Y最小均为1，即Y的走势应与X轴平行，排除BD。

故正确答案为C。

【习题2】【联考】如右图，正方形ABCD边长为10厘米，一只小蚂蚁E从A点出发匀速移动，沿边AB、BC、CD前往D点。问哪个图形能反映三角形AED的面积与时间的关系（ ）

【解析】A。三角形AED的面积＝×AD×AE，其中底AD＝10，只有高AE在变化。从A点到B点的过程中，高AE在变大；从B点到C点的过程中，高AE为10，不变；从C点到D点的过程中，高AE在变小。因此，三角形AED的面积先逐渐增加，接着不变，最后逐渐变小，只有A选项符合。

故正确答案为A。

【习题3】 【国考】一正三角形小路如右图所示，甲乙两人从A点同时出发，朝不同方向沿小路散步，已知甲的速度是乙的2倍，问以下哪个坐标图能准确描述两人之间的直线距离与时间的关系（横轴为时间，纵轴为直线距离）（ ）

【解析】D。如图所示，当甲在AB段运动时，甲行走的路程是乙的2倍，又∠A＝60°，则甲、乙所在的位置与A点构成一个直角三角形。因S甲＝v甲×t，甲乙之间距离为60°角所对的直角边＝槡32 ×v甲×t，其中甲的速度v甲 是定值，故甲乙之间距离与时间t呈线性关系：当甲在AB段行走时，甲乙距离线性增加，直至最远；当甲在BC段行走时，甲乙距离线性减少，直至为0。

故正确答案为D。