2.4.2 认知不确定性理论

在武器装备体系对抗过程中，对抗双方零和博弈充满了不确定性，这些不确定大多属于认识不确定性（主观不确定性）的范畴。由此，认识不确定性在武器装备体系中具有非常重要的地位和作用。目前对于认识不确定性研究过程中，基于概率理论，Liu[7-9]建立了不确定理论，形成了基于规范性、对偶性、次可列可加性和乘积公理的数学系统。该理论可用于对武器装备体系的认知不确定性进行测度，本节主要介绍该理论。

与概率论类似，不确定理论中的不确定测度、不确定变量及不确定分布也是三个最基本的概念。首先，给出不确定测度[7]的定义。

设Γ是一个非空集合，L是Γ上的σ-代数，其中的每个元素Λ称为事件。如果从L到实数集ℜ的一个集函数M满足以下条件：

公理2.1：（规范性公理）对于全集Γ，有M{Γ}=1；

公理2.2：（对偶性公理）对于任意的事件Λ∈L，有M{Λ}+M{Λc}=1；

公理2.3：（次可列可加性公理）对于可数的事件序列，有

则称集函数M为Γ上的不确定测度，此时称三元组（Γ，L，M）为一个不确定空间。

公理2.4：（乘积公理）设（Γ_i，L_i，M_i），i=1，2，…为一列不确定空间。乘积不确定测度M定义为

其中，事件Λ_i∈L_i，i=1，2，…。

称三元组（Γ，L，M）为乘积不确定空间，其中Γ=Γ₁×Γ₂×···，L=L₁×L₂×···和M=M₁×M₂×···。

定义2.1：从不确定空间（Γ，L，M）到实数集ℜ的可测函数τ称为不确定变量，即对于任意的Borel实数集B，集合：

{τ∈B}={γ∈Γ|τ(γ)∈B}

是L中的一个事件。

不确定变量的定义是由抽象的不确定空间和Borel集描述的。如果仅从定义出发，在理解和应用不确定变量时都会遇到困难。为了更好地理解不确定变量，给出如下的不确定分布的概念。

定义2.2：对于不确定变量τ，它的不确定分布Υ定义为

Υ(x)=M{τ≤x},∀x∈ℜ

定理2.1：函数Υ：ℜ→[0,1]是一个不确定分布，当且仅当它是一个不满足Υ≡0或Υ≡1的增函数[10]。

正则的不确定变量是一类特殊的不确定变量，定义如下：

定义2.3：对于不确定变量τ，如果它的不确定分布的反函数Υ-1（α）在α∈（0，1）上存在且唯一，那么称τ是正则的。此时，称Υ-1为τ的逆不确定分布。

不确定变量的分布函数是单调递增的，它在直观上给出了不确定变量在ℜ上的分布情况。

常见的不确定变量的分布有线性不确定分布、之字形不确定分布和正态不确定分布等。

下面是不确定变量独立性的定义。

定义2.4：设τ₁，τ₂，…，τ_n是n个不确定变量，如果对于实数集ℜ中任意n个Borel集B₁，B₂，…，B_n都有

成立，那么称不确定变量τ₁，τ₂，…，τ_n是相互独立的。

下面给出n元实值函数单调性的定义。

定义2.5：设f（x₁，x₂，…，x_n）是一个n元实值函数，当s_i≤t_i（i=1，2，…，n）时，有f（s₁，s₂，…，s_n）≤f（t₁，t₂，…，t_n）；当s_i＜t_i（i=1，2，…，n）时，有f（s₁，s₂，…，s_n）＜f（t₁，t₂，…，t_n），称f为严格单调增函数。

定义2.6：类似地，设f（x₁，x₂，…，x_n）是一个n元实值函数，当s_i≤t_i（i=1，2，…，n）时，有f（s₁，s₂，…，s_n）≥f（t₁，t₂，…，t_n）；当s_i＜t_i（i=1，2，…，n）时，有f（s₁，s₂，…，s_n）＞f（t₁，t₂，…，t_n），称f为严格单调减函数。

如果函数f满足严格单调条件，且不确定变量_iξ是正则的，则有下面的运算法则。

定理2.2：如果τ₁，τ₂，…，τ_n是一列独立的正则的不确定变量，且不确定分布分别为Υ₁，Υ₂，…，Υ_n，那么τ=f（τ₁，τ₂，…，τ_n）为一个正则的不确定变量。如果f（x₁，x₂，…，x_n）是关于x₁，x₂，…，x_m严格单调递增的，关于x_m+1，x_m+2，…，x_n严格单调递减的，那么τ的逆不确定分布为

例：令τ₁，τ₂是两个独立的正则的不确定变量，且不确定分布分别为Υ₁，Υ₂，根据定理2.2，不确定变量τ=τ₁-τ₂的逆不确定分布为

不确定变量τ=τ₁∧τ₂的逆不确定分布为

定理2.3：τ₁，τ₂，…，τ_n是一列独立的不确定变量，它们的不确定分布分别为Υ₁，Υ₂，…，Υ_n，如果函数f（x₁，x₂，…，x_n）关于x₁，x₂，…，x_m是严格增加的，关于变量x_m+1，x_m+2，…，x_n是严格减少的，那么不确定变量τ=f（τ₁，τ₂，…，τ_n）的不确定分布为

与概率论中的随机变量类似，不确定变量也有一些重要的数字特征期望和熵。不确定变量的期望值是指不确定变量的平均取值的大小。

定义2.7：设τ是一个不确定变量，它的期望值定义为

上式中的两个积分至少有一个是有限的。

用不确定变量的不确定分布函数计算它的期望值，有如下的定理：

定理2.4：设τ是一个不确定变量，其分布函数为Υ。如果τ的期望存在，那么：

而对于正则的不确定变量，其期望值可以利用它的逆不确定分布来计算，有如下的定理。

定理2.5：设不确定变量τ有正则的不确定分布Υ。如果不确定变量τ的期望存在，那么：

根据不确定变量的独立性可以推导出不确定变量期望的线性性质。

定理2.6：设τ₁和τ₂是相互独立的不确定变量。对于任意的a，b∈ℜ，都有

E[aτ₁+bτ₂]=aE[τ₁]+bE[τ₂]

熵是对一个不确定变量的不确定程度的度量，给出了如下熵的概念。

定义2.8：设τ是一个不确定变量，其不确定分布函数为Υ，不确定变量τ的熵定义为

其中，S（t）=-tlnt-（1-t）ln（1-t）。

互熵是指两个不确定变量的分布函数的分歧程度，给出了如下互熵的概念[11]。

定义2.9：设τ₁，τ₂是两个不确定变量，其分布函数分别为Υ₁，Υ₂，不确定变量τ₁，τ₂的互熵定义为

其中，，0≤t≤1，0≤s≤1。