第二节 余弦定理

一、课标导航

二、概念辨析

1.余弦定理的证明

问题1：

叙述并证明余弦定理.

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝a2＋c2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

【分析】从余弦定理的内容来看每个公式涉及三条边和一个角四个量，对于三角形，可以考虑用向量的加减法将三条边联系起来，再根据向量求模以及向量的数量积将向量问题转化为数量问题来解决，故可以用向量法来证明.

【证明】证法一如上图

即a2＝b2＋c2－2bccosA

证法二已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），

2.余弦定理的应用

问题2：

在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.

【分析】利用余弦定理，可以解决以下几类解斜三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.（3）对于已知两边一个角的问题也可以选择余弦定理解决问题。此题对于条件sinAcosC＝3cosAsinC，我们可以利用正余弦定理将等式转化为边的等式，从而将问题转化为边来处理.

【解答】在△ABC中∵sinAcosC＝3cosAsinC，

则由正弦定理及余弦定理有：化简得：2（a2－c2）＝b2又a2－c2＝2b∴4b＝b2.解得b＝4或b＝0（舍）.

解法二：由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0.

所以b＝2ccosA＋2 ①

又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC

sin（A＋C）＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC

由正弦定理得sinB＝sinC，故b＝4ccosA ②

由①，②解得b＝4

三、全能突破

基础演练

1.在△ABC中，若a2＋b2＜c2，则△ABC的形状是（ ）.

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

2.在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于（ ）.

A.

B.

C.

D.

3.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED则sin∠CED＝（ ）.

A .

B.

C.

D.

4.已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，又23 cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（ ）.

A.10

B.9

C.8

D.5

5.在△ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a＝2，B＝，c＝2，则b＝_____.

6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝，则sinB＝_____.

7.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，则角C＝_____.

8.在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为_____.

9.设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，若A＝60°，b＝2，c＝1，D为BC的中点，则AD的长为_________.

10.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为_______.

11.圆内接四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝6，则cosA＝_____.

能力提升

12.在△ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边，且2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于（）.

A .

B.1＋

C.

D.2＋

13.在△ABC中，（a，b，c分别为A、B、C的对边）则△ABC的形状为（ ）.

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

14.设一个三角形的三边长分别为a、b、，则最长边与最短边的夹角为（ ）.

A.30°

B.45°

C.120°

D.60°

15.锐角三角形的三边分别为2，3，x，则x的取值范围是_________.

16.已知△ABC中，三边a，b，c满足，则△ABC的内角B＝_____.

17.在△ABC中，a＋b＝10cos，C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，则△ABC周长的最小值_____.

18.在△ABC 中，sinA＝，则这个三角形的形状为__________.

19.在△ABC 中，A，B，C对应的边长为a，b，c若a·cos2 ＋c·cos2 ＝b，则b2 与ac 的大小关系是_________.

20.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若＝k（k∈R）若c＝，则k的值为_____.

21.已知△ABC的周长为＋1，且sinA＋sinB＝sinC.

（Ⅰ）求边AB的长；

（Ⅱ）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数.

22.若a，b，c是三角形的三边长，证明长为的三条线段构成锐角三角形.

23.在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且（2a＋c）cosB＋bcosC＝0.

（1）求角B的值；

（2）若a＋c＝4，求△ABC面积S的最大值.

24.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知sinA＋sinC＝psinB（p∈R）且ac＝b2.

（1）当p＝，b＝1时，求a，c的值；

（2）若角B为锐角，求p的取值范围.

高考链接

25.（2012年北京理）在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b ＝_____.

26.（2013天津理）在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3则sin∠BAC＝（ ）.

A.

B.

C.

D.

27.（2013江西理）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋（cosA－sinA）cosB＝0.

（1）求角B的大小；

（2）若a＋c＝1，求b的取值范围.

巅峰突破

28.△ABC的三边a，b，c满足a＋b≥2c，A，B，C为△ABC的内角，求证：C≤60°.

29.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若9a2＋9b2－19c2＝0则，值为____________.

30.是否存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角为最小角的三倍。若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由.