2.5　床壁对颗粒沉速及悬移质浓度垂线分布的影响⁽⁷⁾

王士强

摘要：床壁附近的颗粒，沉降时的阻力系数比在水深上部要大。离床壁越近，颗粒沉速越小。沉速不仅为粒径和容重而且也为离床壁距离的函数。本文据此推导得出了新的悬移质扩散方程近似解。新的悬移质浓度垂线分布公式表明，床壁影响使含沙浓度垂线分布趋向均匀。无量纲水流剪切力越小，则推移层厚度与粒径之比越小，床壁影响也就越大。悬浮指数为z的新的悬移质浓度垂线分布公式，可以近似地以原来的扩散方程第一近似解的分布公式结构来表达而采用新的悬浮指数z₁。本文提出了z₁/z的计算公式。z₁/z小于1且随z增大及粒径D减小而减小。计算结果及结论与实际资料符合。

2.5.1　前言

平衡状态的悬移质含沙量垂线分布，是决定水流的悬移质挟沙力的基础。Rouse等根据悬移质扩散方程早就得出了被称为第一近似解的悬移质浓度垂线分布公式

式中，z称为悬浮指数（=ω/（κu_∗））；ω为颗粒沉速；u_∗为剪切流速（=）；κ为卡门常数；h为水深；a为推移层高度或某一参照高程与床壁之距离；S_y、S_a分别为y高程及y=a处的含沙浓度。自20世纪30年代以来，很多研究工作者对此问题进行了大量研究。大多数研究认为，公式（1）的结构基本正确，但实际的z值比理论计算值偏小；^[2-6]而且z值越大，实际的悬浮指数z₁比理论值z偏小越多，即浓度垂线分布比（1）式的理论结果更为均匀。

对于理论悬浮指数与实际值发生上述这种偏差的原因，以往进行了很多研究。Vanoni认为这是因为泥沙扩散交换系数ε_y大于水流动量交换系数ε_m，据此假定ε_y=βε_m，β大于1，则z=ω/（βκu_∗）这样就使实际的悬浮指数与理论值一致了。但是Brush的三组不同粒径的试验却得到了β≤1.0的结果，推翻了Vanoni的假定。Jobson和Sayre则认为，β大于1或小于1都可能，且ε_y的垂线分布形式对浓度的垂线分布影响并不很大。

Einstein和钱宁认为，掺混长度及垂直脉动分速均是随机变量。据此他们得出了扩散方程的悬移质浓度垂线分布第二近似解，形式与式（1）相同，但悬浮指数z₁代替z，z₁/z随z增大及B·κ的增大而减小。B称为比例常数，但并未给出具体数值，故无法定量计算z₁值。钱宁本人指出^[9]，这个方法是“属于轮廓勾画性质的，许多假定实际上都还属于设想性质，系数B也尚未能给出明确的变化范围”。钱宁还希望，“若能够有一个理论正确说明床壁附近地区的悬移质分布，则把这个理论引伸到含沙量低、梯度小的地区”（指沿水深上部），“所造成的误差就不会很大”。

综上所述，迄今尚无一个理论能够令人信服地明确指出公式（1）中实际与原理论z值差别的物理原因并定量地给出计算方法。本节作者认为，发生这种差别的主要原因是床壁附近的颗粒沉速比上部（接近无限流场情况）要小得多。Francis和付晓的颗粒跃移轨迹的高速摄影照片表明，跃移颗粒达到最高以后下沉过程中的跃长比一般计算值要长得多，本节作者在推导跃长时考虑了床壁附近颗粒下沉时阻力系数的急剧增大，计算结果就与实际比较符合。Lorentz，Altricher和Lustig及McNown等早就提出和验证了水平底面附近圆球沉速的修正计算公式。也许有人会认为床壁影响范围很有限，其实，由于床壁附近的悬移质浓度垂线分布梯度较大，故此区颗粒沉速的减小使分布梯度显著减小，虽然离床壁越远，沉速减小越少，但底部浓度向上部逐渐累积增大，从而不仅显著改变了床壁附近的悬沙分布而且也影响了沿水深整个的浓度分布及平均挟沙能力。

2.5.2　考虑床壁影响的悬移质扩散方程近似解

作者利用Lorentz^[12]提出的并经其他人初步验证的水平底面附近颗粒沉速修正计算的公式

式中，ω₀、ω分别为无限流场及受水平底面影响的颗粒沉速；D为粒径；y为颗粒中心距水平底面的距离。公式（2）完全可以利用来计算床壁对颗粒沉速的影响。沉降颗粒离床壁越近，所受水流阻力系数越大，沉速越小。

当悬移质浓度垂线分布达到平衡状态时的悬移质扩散方程为

与扩散方程第一近似解相同，取ε_y=ε_m=κu_*，今与以往的差别在于沉速ω沿y不再是常数而是y的函数，将式（2）代入式（3）则得

令，对式（4）进行积分，则

对比计及床壁影响的式（5）与不计及床壁影响的式（1）可以看出，式（5）比式（1）多乘上了一项F₁（y）=[（1+0.56D/a）/（1+0.56D/y）]^z，当y=a时，两式之S_y均等于S_a，F₁（a）=1。当y>a时，F₁（y）>1，即考虑床壁影响的S_y/S_a将大于不计床壁影响的结果，使浓度分布趋向均匀，a/D越小，床壁影响越大。公式（5）中最小的a值即为推移层高度a_m，即悬移层底部离床壁的距离。a_m/D随着无量纲水流剪切力增大而增大。根据作者的研究^[14,15]，a_m/D可按方程（6）计算确定。

式中C_D=0.45

k_*由确定。

上列方程组是针对各种不同容重 γ_s的颗粒的。对于泥沙来说，a_m/D可据作者提供的大为简化的近似关系式计算确定，如图1所示。

式中，m₃=-0.0941-0.02/Y_∗+1.045×10^-3Y_∗^-2-3.8×10^-5Y_∗^-3

根据公式（5）即可求得新的考虑床壁影响的悬移质浓度相对值S_y/S_a沿垂线的分布变化。由式（6）或式（7）（对于泥沙）计算确定a_m/D代替式（5）中的a/D，即可求得推移层以上整个水深的考虑床壁影响的悬移质浓度相对值的垂线分布。分析式（5）及式（7）可知，Y_∗及D越小，则a_m/D越大及D越小，F₁（y）就越大，床壁影响越大。

图（2）绘出了计算的床面附近z=4.3及1.56（相应D均为0.25mm）两种情况下不考虑（式（1））和考虑（式（5）及式（7））床壁影响的悬移质相对浓度垂线分布的对比。当z=4.3时，计及床壁影响的悬移质挟沙力要比不计床壁影响的计算挟沙力增大约40%（图2中y/a_m>1以上）。在此S_a两者视为相等，实际上不计床壁影响的由推移质输沙率得出的S_a比计及床壁影响的S_a要小得多。当z=1.56时，床壁影响虽然较小，但沿水深向上累积影响的结果，两者挟沙力的差别也是不可忽视的。

2.5.3　床壁对浓度垂线分布影响的分析

考虑床壁影响的悬移质浓度垂线分布公式（5）也可以化为通常应用的扩散方程第一近似解的形式（式（1））而仅将悬浮指数由z变换为z₁，即将式（5）变换为

—般h≫a。因床壁的直接影响主要在床壁附近区域，且z较大时悬移质浓度垂线梯度变化很大，离床壁较高处浓度很低，故式（5a）可简化为

同时式（5）可简化为

今取S_y/S_a=0.1处（相应y=k₁·a）以下区域的z及z₁值代表沿水深整个的浓度分布规律，经分析这样处理差别是不大的，尤其对于z大的情况，误差是很小的，以S_y/S_a=0.1及y=k₁·a_m代入式（5b）及式（5c）并合并，则可分别得出下列两式

式中，

当已知粒径D及水流强度u_∗，即可求得z值，据式（7）算得a_m/D，据式（8）求得k₁，代入式（9）即可求得F₂（z，D）及z₁/z或z₁值。因k₁总大于1，故式（9）中F₂（z，D）必大于0，故据式（9）求得的z₁/z必小于1。z₁/z为z及D的函数。

图（3）绘出了据式（7）～式（9）三式计算得到的粒径D为0.4，0.25及0.1mm三种不同情况的z₁和z的关系曲线。这些曲线很清楚地表明，在相同D时，z₁/z随z增大而减小；而在相同z时，z₁随D的减小而减小。前者是因为z的增大伴随着u_∗及Y_∗的减小，伴随着a_m/D的减小；后者D的减小而保持z不变，这样也是伴随着a_m/D的减小。这样都使F₂（z，D）增大而z₁/z减小，床壁影响增加。图（3）中也绘出了众多的实测z₁值与计算z值关系的点子。由图可见，本节计算得到的z₁和z关系曲线与实际点据基本符合。另外，Ismail由D=0.1mm及0.16mm两组不同粒径泥沙的浓度垂线分布试验早就得出结论，认为D=0.1mm时z₁/z接近0.67，而较粗的D=0.16mm时的z₁/z则较大，接近0.77。另外，分析Vanoni的粒径为0.103mm和0.16mm的试验资料时可看出，明显地相同z时粒径较细的z₁小于较粗的z₁（平均情况），这些试验结论与本节的理论结论完全一致。对比图（3）上钱宁的试验点群与Ismail及Vanoni的试验点群（包括延长趋势），钱宁的点群明显偏高（相同z时），而其试验沙粒径恰恰都比0.16mm要粗，这进一步说明，相同z时粒径越细z₁越大的结论符合实际。

床壁附近的泥沙运动是十分复杂的，对于本节推导中引用的Lorentz的水平底面附近沉速修正公式，McNown^[13]曾经指出，根据Altrichter和Lustig的试验验证说明，当y/D>15时，式（2）与试验结果相当符合。但当y/D<15时，试验结果的床壁影响比公式（2）的计算要更大，即据式（2）求得的修正沉速在y/D<15时比实际仍然偏大。因此本节据此推导得出的式（9）及图3显示的z₁/z关系曲线还可能偏大、偏高些。

床壁附近泥沙浓度比水深上部要高得多，在高浓度情况下，颗粒间的相互影响使颗粒沉速也要减小，本节推导尚未包括高浓度情况。

式（11）为常用的悬移质不平衡输沙微分方程，

式中，S_cp为沿垂线平均含沙浓度；S_∗为沿垂线平均挟沙力；q为单宽流量；α为沿程恢复饱和系数。在推导得到式（11）的过程中，沉速ω明显地是指床壁（y=0）处颗粒沉速，但迄今一般都将此沉速与水深上部沉速视为相等，这种计算ω值比实际床壁附近ω值偏大很多，在高含沙量情况下相差更甚。为了使沿程含沙量变化计算值接近实际，结果调节得到的经验性α值远小于1。除了非均匀沙河床冲淤、床沙级配变化使α值减小以外，使用不计及床壁影响的远为偏大的ω值也是使调节α值很小的一个重要原因，换言之，天然河道中实际的不平衡输沙距离所以很长，即dS_cp/dx所以很小的原因，除了非均匀沙原因以外，离床壁越近泥沙沉降越慢也是重要原因。

2.5.4　结语

（1）床壁附近颗粒沉速因阻力系数增大而减小，离床壁越近，沉速越小。床壁的这一影响不仅使颗粒跃移长度增大、推移质输沙率增大，而且使悬移质垂线分布趋向均匀、悬移质输沙率增加，也影响含沙量沿程恢复饱和的快慢。

（2）本节推导出的公式（5）为包括床壁影响的悬移质浓度垂线分布公式。无量纲水流剪切力越小并粒径越小，则推移质运动层厚度越小，床壁影响越大，含沙量垂线分布越趋均匀。

（3）包括床壁影响的悬移质浓度垂线分布公式可以近似地以经典的扩散方程第一近似解的形式来表达，只是悬浮指数以z₁代替原来的z值，z₁/z为z及D的函数。对于相同的粒径D，z₁/z随z增加而减小；对于相同的z值，z₁随D的减小而减小。水流强度越小，床壁影响越大。

参考文献

[1] Rouse H Experiments on the Mechanics of Sediment Suspension[C]. Proc. 5th Intern. Cong, for Applied Mech., 1938.

[2] Vanoni V A. Transportation of Suspended Sediment by Running Water[J]. Trans., ASCE, Vol. 111, 1946.

[3] Vanoni V A, Brooks N H, Kennedy J F. Lecture Notes on Sediment Transportation and Channel Stability[R]. Rep. KH-R-1, W. M. Keck Lab. of Hyd. & Water Resources, Calif. Inst. Tech., 1960.

[4] Ismail H M. Turbulent Transfer Mechanism and Suspended Sediment in Closed Channels. Trans.[J], ASCE, Vol. 117, 1952.

[5] Einstein H A, Ning Chien. Second Approximation to the Solution of the Suspended Load Theory. M. R, D Sediment Series No 3, Missouri River Div. U. S Corps Engrs, 1954.

[6] Ning Chien. The Present Status of Research on Sediment Transport[J]. Trans., ASCE, Vol 121, 1956

[7] Brush L M Jr. Exploratory Study of Sediment Diffusion[J]. J. Geophys. Res., Vol. 67, No. 4, 1962.

[8] Jobson H E, Sayre W W. Predicting Concentration Profiles in Open Channels[J]. J. Hyd. Div., Proc. ASCE, Vol. 96, HY 10, 1970.

[9] 钱宁，万兆惠.泥沙运动力学[M].北京：科学出版社，1983.

[10] Francis J R D. Experiments on the Motion of Solitary Grains along the Bed of a Water Stream. Proc. R. Soc. London, 1973.

[11] 付晓.水中推移质颗粒跃移规律的试验研究.北京：清华大学水利系硕士研究生学位论文，1988.

[12] Lorentz H A. Ein Allgemeiner Satz die Bewegung Einer Reibenden Flüssigkeit Betreffend, Nebst Einigen Anwendungen Desselben[J]. Abhand. über Theret. Physik, Vol. 1, Leipzig, 1907.

[13] McNown J S. Particles in Slow Motion[J]. La Houille Blanche, Vol. 6, No. 5, 1951.

[14] Wang Shiqiang, Zhang Ren. A New Equation of Bedload Transport[C]. Proc. 22nd Congress IAHR, 1987.

[15] 王士强，张仁.颗粒比重对水流挟沙力的影响[J].泥沙研究，1990（3）.

[16] Wang Shiqiang, Zhang Ren. Sediment Transpont Rate for Non-Uniform Sand[C]. Proc. Intern. Sym. on Sedim. Trans. Modeling, New Orleans, USA, 1989.

[17] Wang Shiqiang, Zhang Ren. Experimental Study on Transport Rate of Graded Sediment[C]. Proc. Intern. Conf. on River Flood Hydraulics, published by John Wiley & Sons Ltd, 1990.

Effect of the bed on the fall velocity of particles and the concentration profile of suspended sediment

Wang Shiqiang

Abstract: The fall velocity of the particle near the bed bottom is less than that without the effect of the bed boundary, and it is the function of distance above the bed. The new formula (5) of the concentration profile in equilibrium is got by author. It shows that the vertical distribution of the concentration is more uniform than that excluding the effect of the bed boundary. The formula (5) also can be changed into the formula (5) a which has the same form as the previous known formula only substituting the exponent by new exponent z₁ which is the function of z and particle diameter D. The ratio of z₁/z is lass than unit, and it decreases with the increase of z and the decrease of D. Fig. 3 shows that the theoretical relationship calculated by Equation (9) provides a good agreement with the observed data.