1.4　冲积床面阻力关系分析比较⁽⁵⁾

王士强

摘要：本节进一步验证和分析了作者早先提出的动床阻力关系，总结并提出了新的沙垄高度变化规律图，分析了它们与沙波阻力变化的关系，比较系统地揭示了不同水深、粒径条件下过渡区阻力变化规律。文中比较了作者及国内外其他五个重要的动床阻力关系，明确了这些公式的适用范围及限制条件。Einstein和钱宁的两个阻力关系只能用于过渡区，且后者只适用于粉细沙河床。李昌华的阻力关系可用于过渡区及低能态区。Engelund的阻力关系可用于一般沙质河床的低能态和高能态条件，但缺乏过渡区规律，对粉沙河床预报将系统偏小而对沙卵石河床则反之。Hayashi的阻力关系不适用于比降平缓的平原沙质河流。经验证和比较，作者的阻力公式适用于三个能态区各种水流强度及不同水深、粒径的情况，适用范围广泛，预报精度较高。

1.4.1　引言

冲积床面阻力包括沙粒和沙波阻力，后者随水沙条件及相应的床面形态变化很大。对于一般沙质河流，沙波阻力系数最大值为沙粒阻力系数的2～5倍，床沙越细，此比值越大。沙波阻力随水流强度增大，经历低能态、过渡态和高能态三个变化规律完全不同的阶段，且随床沙粒径和水深而变。沙波阻力变化幅度之大以及变化规律之复杂，使正确预报动床阻力相当困难。然而，水流阻力预报精度直接影响河流、水库的计算洪水位，同时影响计算挟沙力及河床冲淤，使其成为防洪、泥沙设计中的一个关键问题。

迄今，国内外对于动床阻力的研究成果^[1-7]很多，但各种阻力关系或公式缺乏互相比较、未明确适用范围及限制条件。本节选取了国内外几个重要的动床阻力关系，将它们化为相同的表达形式，根据三个能态区的不同规律对它们进行相互比较，确定其各自适用的能态区及范围，而不采取简单的肯定或否定，有利于研究设计者从宏观规律上认识和选用阻力关系。此外，国内外对于阻力过渡区的变化规律的研究至今还十分缺乏，本节根据作者新近得出的及其他的阻力与沙垄高度实测资料，比较系统地分析并揭示了过渡区的阻力变化规律。

1.4.2　动床阻力关系比较

笔者新近提出的包括不同能态区的阻力公式^[1]如下。

低能态区（对天然河渠，包括过渡区）：

式中无量纲床面剪切力

无量纲沙粒剪切力

其中，γ、γ_s为水和泥沙的容重；R'_b、R_b为沙粒和床面水力半径；S为能坡；D₅₀、D_∗分别为床沙中径和无量纲床沙中径；ν为水的运动黏滞系数；g为重力加速度。当D_∗≥80以后，θ_∗与θ'_∗关系变化甚微，系数k₁、k₂、k₃不变。

高能态区：

其中，A=1.4/lg（θ'₁/0.04）

过渡态区：

θ_∗c和θ'_∗c为过渡区与高能态区交界点即动平整床面相应的临界θ_∗及θ'_∗值，可由式（1b）及下列判断式确定。

在文献[1]中，D_n=D₅₀，k_n=2.8，m=0.3，R_b/D₅₀≥10000后，临界流速V_c值不变。据笔者最新研究，若取D_n=D₃₅，R_b为水深H，k_n及m值取如下值则预报判别将更为精确，适用范围更大。

当D_gr≥20以后，k_n=1.436，m=0.4706，若H/D₃₅≥11000D^{（-0.074-0.041D}gr）且D_gr≤20或H/D₃₅≥740且D_gr≥20后，则V_c不再随H/D₃₅而变化，式中D_gr与前列D_∗相同，算式仅以D₃₅代替D₅₀。

文献[1]还得出了相对水深H/D₅₀>10000的天然沙质河流的床面阻力系数f与θ'_∗及D_∗的关系式（3），该式与式（1a）及式（1b）在大水深时及D₅₀<1mm情况下的预报值是很接近的。

Engelund利用Guy等床沙粒径0.19～0.93mm的水槽试验资料，得出了如下阻力关系：

低能态：

高能态：

日本Hayashi根据大量水槽及一些河流资料，总结提出了如下阻力公式⁽⁶⁾：

低能态：

其中

高能态

其中

图1绘出了阻力公式（1）、（4）、（5）几种典型情况的比较。A、B、C、D四条线为作者低能态阻力公式中D₅₀=0.018mm，0.19mm，0.70mm及≥3.2mm的阻力关系，E线为Engelund的低能态阻力关系，H₁、H₂两线为S=0.005和0.001时Hayashi的低能态阻力关系。B'、E'和H'₁分别为三个高能态阻力公式的典型情况。一般细、中、粗沙床天然河流资料都在B、C两线内或附近以及B'线周围。在低能态区，粒径越细，相同θ'_∗时θ_∗越大，即床面阻力越大，在高能态区则反之。由图及公式比较可见，Engelund的E线大部位于作者的B、C两线之间，说明其低能态阻力关系为D₅₀=0.15～1.0mm的平均情况，在此粒径范围内，其低能态阻力预报值将与实际及作者公式计算成果接近，但若用其预报粉沙河床床面阻力，则将系统偏小，若预报沙卵石河床，则反之。由公式（4b）看出，对于θ'_∗≥1.96时的高能态情况，其计算θ_∗将为无穷大，说明该阻力关系不适用于θ'_∗很大的情况。况且在高能态区，θ'_∗越大，不同粒径时θ_∗的差别越大，此时应用（4b）式的误差可能越来越大。Hayashi的低能态阻力关系在S=0.001～0.005且θ'_∗>0.1时与作者的B、C两线相近。对于水槽资料，落在这一范围内的实际能坡与Hayashi公式是一致的，而实际粒径则与作者公式是一致的。说明对于水槽资料，作者在θ_∗-θ'_∗关系中引入D_∗变量及Hayashi引入s变量的式（1）和（5）式都比较符合实际，因为粒径越大相应能坡也越大。但是对于天然河流资料，由于不同河型河宽的自动调正，在θ_∗和θ'_∗关系中，D_∗比S是一个好得多的自变量。例如大量长江中下游阻力资料落在B线周围，实际床沙中径0.15～0.25mm与公式（1a）吻合，实际能坡均小于0.0001，比公式（5a）的H_2a线计算能坡小10倍。又如黄河下游床沙比长江中下游细，而比降却反而大，点绘两条河实际的θ_∗-θ'_∗关系，低能态时黄河的点子普遍位于长江的点子上方而高能态时则反之，这与公式（1）完全一致而与公式（5）相反。这些分析比较说明，Hayashi的公式（5）不适用于比降平缓的平原沙质河流，若用于预报该种条件，预报值将系统偏大。

图2比较了作者的式（3）及钱宁、李昌华、Einstein的三个阻力关系。图中绘出了作者的式（3）中D₅₀=0.076mm及0.25mm两种情况（A、B两线）。按式（3）反映规律，在D₅₀<1mm，相对水深H/D₅₀>10000以后，粒径越细，在低能态区f-θ'_∗图上曲线越高，而在高能态区则反之。Einstein和Barbarossa的原关系为V/V'_∗与ψ'₃₅（=（γ_s-γ） D₃₅/（γ R_b'S））的关系曲线。因f'=8V'²_∗/V²，f″=8V″²_∗/V²，f=f＇+f″，ψ＇=1/θ'_∗，设f＇=0.009及D₃₅/D₅₀=0.84，这是一般平均情况。这样就将Einstein阻力关系转换成了图2上的f-θ'_∗关系（D线）。钱宁在Einstein原图上绘出了两组粗沙资料转绘于图2呈D'线。钱宁、麦乔威等根据黄河下游资料总结得出了阻力关系。据黄河下游多数平均情况，设D₆₅=0.09mm，H=3m，则由f=8gn²/H^1/3即可将此关系转换于图2呈E线。李昌华、刘建民总结了长江、黄河、赣江等资料，得出了lg（1/α）与lg（V/V_c）的关系。因α=k_s/D₅₀，V/V_c=V'_∗/V_∗c=（θ'_∗/θ_∗c）^0.5，取θ_∗c=0.04，对黄河、长江，H/D₅₀取平均为50000，对赣江、抚河则取20000。因f与V²_∗/V²成正比，据Engelund等采用的对数流速公式，V=2.5V_∗1n（11R_b/k_s），可求得α与f的转换关系f=0.242/[lg（11H/D₅₀）+lg（l/α）]²，据此可将李-刘阻力关系转换成图2上的C'线和C线，两线在过渡区合一。对比图2上四个阻力关系可以看出，在f随θ'_∗增长而减小的过渡区，四者比较接近，钱宁的E线仅反映粉细沙河床，位于作者的A线附近是很自然的。钱宁原阻力关系图上θ'_∗<0.3以后点据很少而θ'_∗>2以后糙率是明显增大的，说明该关系只反映了θ'_∗=0.3～2之间过渡区粉沙河床的阻力规律，没有反映低能态和高能态区的阻力变化规律。Einstein原关系D线适用于过渡区一般沙质河床。李-刘关系的适用范围比前二者要广，不仅能用于过渡区，也能用于低能态区中粗沙河床（C线）。这三者都未反映出高能态时f随θ'_∗增大而增大的规律。作者的阻力关系适用于不同粒径及各种水流强度。

笔者利用Acop、Chop及美国的三条渠系180组资料^[3]对公式（1）进行了验证，计算水深平均误差为0.07，标准偏差为0.25。利用Missouri河的23组资料验证结果是，计算水深平均误差仅0.03，标准偏差为0.12。说明公式（1）～（3）的预报精度较高。张仁等利用长江荆江河段279组资料及黄河下游788组资料对公式（1）进行了进一步的验证计算⁽⁷⁾。对于长江资料，计算水深平均误差为0.01，标准差为0.424。对于黄河资料，考虑了卡门常数对高含沙水流流速分布的修正，结果平均误差为0.025，标准差为0.533。根据1000多组长江、黄河资料验证说明，公式（1）的计算预报系统误差很小，标准差比较大的原因，主要是计算中利用的实测水面比降往往与河段代表性能坡相差较大，另外实测床沙粒径代表性问题以及沙波变化滞后于流量变化等因素也使验证成果分散。文献[8]应用式（1）计算黄河下游各级流量水面线时采用平均间距约10km的较长河段的能坡，结果与实际比较符合。

1.4.3　沙波高度及过渡区阻力变化规律

沙波高度是影响沙波阻力系数最主要的因素，根据文献[2]、[9]及⁽⁸⁾的水槽沙垄测验资料及长江、黄河的沙波资料，点绘得出了Δ/D₅₀与θ'_∗及H/D₅₀的关系图（图3）。Δ为沙垄高度。由图3可见，对于相对水深相近的资料，Δ/D₅₀与θ'_∗形成上凸型抛物线。对于不同的H/D₅₀资料，形成一系列的抛物线。其左翼（低能态阶段）相互很靠近，其右翼（过渡态阶段）近似平行，其峰顶Δ_max随H/D₅₀增大而増大，但H/D₅₀大约大于10000以后，Δ/D₅₀仅与θ'_∗有关而基本不随H/D₅₀变化。

图4绘出了D_∗=1.9，5及19（相应D₅₀=0.076mm，0.2mm及0.76mm）三种粒径时公式（1）的关系曲线，其中不同水深过渡区的阻力关系都得到了满意的验证^[2]。对比分析图3与图4可见，在低能态阶段，相同粒径不同水深时θ_∗-θ'_∗呈单一关系而Δ/D₅₀-θ'_∗也甚为接近。在过渡态阶段，在θ_∗-θ'_∗阻力关系图上，相同粒径不同水深时呈一系列平行线，相同θ'_∗时，H/D₅₀越大，θ_∗越大，即沙波阻力越大，这与图3抛物线右翼变化规律相似；随着粒径减细，θ_∗-θ'_∗图上过渡区平行线的斜率越来越大，即-dθ_∗/dθ'_∗越大，这是因为颗粒越细，沙波阻力与沙粒阻力之比越大，最大沙波阻力也越大。

1.4.4　结语

（1） Einstein、钱宁及李昌华的三个阻力关系均为天然沙质河流阻力关系，前两者只可用于过渡区而后者还可用于低能区。日本Hayashi的阻力关系不适用于比降平缓的平原沙质河流。Engelund的阻力关系是除粉细沙以外的一般沙质河床的平均情况，在低能态阶段，对粉沙河床其预报值将系统偏小而对沙卵石河床则反之，在高能态θ'_∗>1.8以后完全不符实际。笔者的阻力关系适用于不同粒径、水深、比降及流量的所有三个能态区，预报精度较高。

（2）相对沙垄高度Δ/D₅₀与θ'_∗关系以H/D₅₀为参数呈一系列上凸型抛物线，其右翼过渡态阶段近似平行。在θ_∗-θ'_∗阻力关系图上，在过渡区呈突然转折，粒径越细，转折越陡，对于相同粒径不同水深情况，θ_∗-θ'_∗在过渡区呈一系列平行线，相同θ'_∗时水深越大，θ_∗也越大。θ_∗-θ'_∗变化规律与Δ/D₅₀随θ'_∗的变化有相当的相似性。

参考文献

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[4] Engelund F. Hydraulic resistance of alluvial streams[J], J. Hy div, 1966, 92：315, 93: 287.

[5] 钱宁，万兆惠.泥沙运动力学[M].北京：科学出版社，1983：219-220.

[6] William R B. Flow depth in sand-bed channels[J]. J. Hy Eng, ASCE, 1983, 109：959.

[7] White W R, Bettess R, Wang Shiqiang. Frictional characteristics of alluvial Streams in the lower and upper regimes[J]. Proc. Instn. Civ. Engrs, Part2, 1987: 685-700.

[8] 王士强.黄河下游河床变形一维数学模型[C].全国泥沙基本理论研究学术讨论会论文集，1992：613-622.

[9] Guy H P, et al. Summary of alluvial channel data from flume experiments[R]. 1956-61, U S Geo. Survey, Professional Paper 462-I, 1966：162-180.

Analyses and comparisons of the relationships of alluvial resistance

Wang Shiqiang

Abstract: The new relationship of the height of dunes on alluvial bed is presented. The law of alluvial resistance in the transition regime is found. The comparisons among six important relationships of alluvial resistance are made. Einstein's and Ning Qian's relationships are suitable for sandy rivers only in transition regime. Changhua Li's relationship can be applied to sandy rivers in the lower and transition regimes. Engelund's equations are a mean situation for sandy channels except for very fine sand and gravel bed and the transition regimes, it is not suitable for θ'_∗>1.96. Hayashi's equation is not suitable for sandy rivers with smaller slope. The author's resistance equations can be used in all of the three regimes, various sediment diameter and flow depth, its verification shows that the average error of calcalated flow depths is very small.

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(1) 本文得到“三峡二维数学模型”研究基金的资助。参加本项目试验的有刘继祥、任裕民、翟秀玲、郭家超、王立祥等，张仁教授提出了宝贵意见。
水利学报，1990（12）：18-29。

(2) 原文式（4）印刷有误。

(3) Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, 1993, 119(6):725-741.

(4) Proc. Instn Civ. Engrs, Part 2, 1987, 83：685-700.

(5) 水科学进展，1993（2）：113-119。

(6) Hayashi Taizo. Alluvial bed forms and roughness. NSF Sediment Research Workshop, San Francisco, USA 1986

(7) 张仁，邵学军，谢树楠。对长江实测阻力资料的验证，对黄河实测阻力资料的验证。清华大学水电系研究报告，1990.

(8) 阎颐，冲积床面形态及阻力水槽试验研究。清华大学硕士学位论文，1989.