1.3 声波辐射_数字音频原理与检测技术-QQ阅读男生科幻网

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1.3 声波辐射

在1.2节讨论声波的基本性质时曾指出，物体在弹性媒质中振动时会在周围媒质中产生声波，但是没有涉及声波与振动体之间的关系，本节主要讨论振动体的声辐射问题。

讨论声波的辐射主要涉及两个方面：一是研究当声源振动时，辐射声场的各种规律，例如声场中声压与声源的关系，声压随距离的变化以及声源的指向性等；二是研究由声源激发起来的声场反过来对声源振动状态的影响，也就是由于辐射声波而附加于声源的辐射阻抗。

实际声源的形状是多种多样的，例如人的嘴、扬声器的纸盆、各种机器等，要想从数学上严格求解这些形状不规则的具体声源产生的声场是十分困难的，因此在理论处理时通常将它们理想化，即在一定条件下把它们近似看作平面、球面等理想化的声源，这样既避免了数学上的烦琐计算，所得结果又可揭示出声辐射的基本规律。

1.3.1 脉动球源与点声源

脉动球源是产生声波的一种最简单的声源，它只是在球源表面上的各点沿着径向做同振幅、同相位的振动。

1.声场特性

设有一半径为r₀的球体，在r₀附近沿径向以微小量dr做简谐振动，如图1.3.1所示。它向空间辐射的显然是均匀球面波，即沿径向球面对称的声波。理论上可算得声波的波动方程为

图1.3.1 球面声波辐射示意图

对做简谐振动的球面对称声源，解式（1.3.1）可得简谐球面波的声压复数形式为

式中右边的第一项代表向外辐射的球面波，第二项代表向球心会聚的球面波。如果考虑球面波是向各向同性均匀的无限大媒质中传播，因而无反射波，常数B=0，所以式（1.3.2）就可简化为

由此可见，声压振幅随径向距离成反比减小，即在球面声场中，离声源愈远的地方声音愈弱（如图1.3.2所示），这是球面声场的一个重要特征。距离r1和r2之间的声压级差值为

L_p₁−L_p₂=20lg(r₂/r₁)　（1.3.4）

图1.3.2 球面波辐射声压振幅与距离关系

例如人嘴，当讲话频率较低时可近似看成一个球源，所以距离较近时，听起来声音较响，离得愈远，声音听起来就愈弱，这已是众所周知的事实。如果用声压级来表示，设在离嘴4cm处的声压级为94dB（约相当于一般人在打电话时送到传声器的声压级），则在离嘴40cm的地方声压级就是74dB，而在离嘴4m处就只有54dB了，更远的地方声压级将更低，过低声压级的声音容易被环境噪声所掩蔽，以至无法听清。由于球面声场的这一特征，人们常利用它来作为鉴定消声室是否符合自由声场的依据。

与式（1.2.10）类同，对简谐球面波求其相应的质点振动速度为

式中的常数A取决于边界条件，也就是取决于球面的振动情况。设球源表面的振动速度为

u=u_Aej(ωt−kr0)（1.3.5）

式中：u_A为振幅幅值。

在球源表面处的媒质质点速度应等于球源表面的振动速度，即满足下面的条件

(v_r)_r-r₀=u（1.3.7）

将式（1.3.5）代入上式即可求得A为

式中

将式（1.3.8）代到式（1.3.3）中，当球源半径较声波波长小得多时，即kr₀<<1，则θ≈π/2，可将球面波声压表示成

式中：Q₀=4πr₀2u_A，称为小脉动球源的体积速度幅值，通常称为点源强度。

从式（1.3.9）可知，球面声源的声压幅值不仅与球源的振动速度u_A有关，而且还与辐射声波的频率、球源半径等有关。

当kr₀<<1，即球源半径较小或声波频率较低时，

当kr₀>>1，即球源半径较大或声波频率较高时，

比较上面两式可知，当球源以恒定速度v_A振动时，。这说明球源半径小、振动频率低比球源半径大、振动频率高所辐射的声压小得多。

求出p和v_r后，就可根据式（1.3.13）求得球面声波的声强I。

式（1.3.13）说明，球面波的声强与声压幅值的关系形式上仍与平面声场一样。但因为现在p_A与r成反比，所以声强不再处处相等，而是随距离r的平方增大成反比地减小。

因为所考虑的球面声场是各向均匀对称的，所以平均声功率应等于声强乘上半径为r的球面面积，即

可见，球面声源所辐射的声波的平均声功率是与距离无关的常数，这是符合能量守恒定律的。

2.脉动球源的辐射阻抗

脉动球源在媒质中振动时，媒质中发生了疏密交替的形变，从而辐射了声波；另一方面，声源本身也必然受到媒质中声场对它的反作用力，这个反作用力等于

将式（1.3.3）及式（1.3.8）代入上式，即得

式中的负号表示这个力的方向与声压的变化方向相反。

式（1.3.16）是媒质中声压对球体的反作用力计算公式，显然球体对媒质的作用力F_f应等于式（1.3.16），只是符号相反。同时，考虑到对于简谐波有关系式，所以

显然，式（1.3.17）的右边第一项具有“损耗”阻力的意义，表示球体对媒质所做的功。不过它不是把能量转化成热，而是代表着能量以声波的形式辐射。可以用下式计算辐射的声功率

式中：u*为u的共轭数。

此式与所求得的声功率表示式（1.3.14）是等效的。

于是，我们可引入一个辐射力阻R_r，则辐射的声功率可写成

把上式与式（1.3.18）进行比较，可得脉动球源的辐射力阻R_r等于

同样，式（1.3.17）中右边的第二项表示的是力的惯性，可以写成

式中的du/dt是加速度，所以其前面的系数相当于一个质量。这个质量是由声源的辐射引起的，称为辐射质量M_r。它附加于振动的声源上，随球源一起振动，因此这部分附加的辐射质量也称同振质量，其值为

为了使球源表面振动，需要克服这部分附加惯性力而做功。但这部分能量不是向外辐射声能而是储藏在系统中。

下面引入参数辐射抗X_r，则X_r应等于

X_r=ωM_r

对于脉动球源，其辐射抗为

R_r和jX_r之和称为声源的辐射阻抗Z_r，即

Z_r=R_r+jX_r（1.3.23）

从式（1.3.20）、式（1.3.21）、式（1.3.22）可知，如果球源比较小或者振动频率比较低，于是有kr₀<<1，则得

因而平均辐射声功率与频率的平方成正比，而kr₀<<1，所以总的平均辐射声功率是很小的。这时同振质量相当于球源排开的同体积媒质质量的3倍。

如果球源的半径较大或者频率较高，即kr₀>>1，则

此时球源的辐射阻抗达到极大值。

图1.3.3所示为脉动球源辐射力阻抗随kr₀值的变化情况。

图1.3.3 球源辐射阻抗与kr₀的关系

1.3.2 偶极声源

偶极声源辐射就是两个相距很近（与波长相比），并以相同的振幅而相位相反的小脉动球源（即点源）组成的声源所产生的辐射。例如，没有安装在障板上的纸盆扬声器在低频时就可以近似看作这种声源。

1.声压特性

设有两个小脉动球源Ⅰ和Ⅱ，相距d，它们以相同的频率振动，并且振动的振幅相等而相位相反，如图1.3.4所示。因为我们考虑的是小振幅声波，声波动方程是线性的，所以可分别求出每个球源在空间产生的声压，然后把它们叠加起来。

根据1.3.1小节中对脉动球源的计算，可直接写出源Ⅰ在（r）,θ处的声压为

图1.3.4 推导偶极声源辐射特性的几何图形

同样对源Ⅱ有

式中的r是两个源连线的中点到场点（r）,θ的距离，于是可求得（r）,θ点处的总声压为

如果仅考虑离声源较远的声场，即考虑远场情况，r>>d，从图1.3.3中可求得

而且

因此，式（1.3.28）可简化为

考虑到两个小球源相距很近，当声源的频率满足kd<<1，式（1.3.29）可进一步简化为

式（1.3.30）表示了一个声压振幅为

的球面发散波。它与脉动球源一样，振幅都是随距离的增大成反比地减小。但与脉动球源辐射特性的一个重要区别是偶极源辐射与θ角有关，即在声场中同一距离不同方向的位置上，它的声压是不同的。偶极声源的指向性如图1.3.5所示。

图1.3.5 偶极声源的指向性

2.辐射声功率

对于做简谐振动的偶极声源，可求得其相应的质点振动速度为

由式（1.3.29）和式（1.3.31）可求得偶极声源辐射声强为（1.3.31）

于是可求得通过以r为半径的球面的平均声功率为

下面对式（1.3.33）作几点讨论。

①当kd<1，从式（1.3.33）可知因子很小，辐射声功率也很小。这时偶极声源是一个很差的辐射声源。

因kd<1，可以把展开，得到

把式（1.3.34）代入式（1.3.33），并忽略高次项，可得低频时的偶极声源的辐射平均声功率为

把脉动源的|A|代入上式，并令kr₀<<1，便得到

式（1.3.36）表明平均声功率与r无关，这也恰好符合能量守恒定律，并可知偶极声源的辐射声功率与ω4成正比。由式（1.3.14）可知小脉动球源辐射声功率与ω2成正比。两者之比为

因kd<<1，所以在低频时偶极声源的辐射本领比小脉动球源要差得多。

②当kd≥π时，亦即时，令kd=π，代入式（1.3.33），并令kr0<<1，得到此时的平均声功率为

式（1.3.37）与单个脉动球源的平均声功率的计算公式（1.3.14）比较，说明当偶极声源振动的频率比较高或偶极声源中两个脉动球源的距离时，偶极声源辐射的平均声功率相当于脉动球源所辐射平均声功率的两倍。

③障板尺寸的计算。一个没有安装在障板上的扬声器，其纸盆振动时，纸盆一面压缩媒质使媒质稠密，而另一面就稀疏。这就好比一个偶极声源，因而无障板的扬声器低频时的辐射本领是很差的。为了提高扬声器低频时的辐射本领，亦即消除媒质两面因疏密引起的抵消现象，必须把扬声器安装在障板上或箱体中。理想的障板当然是无限大的好，但实际上是不可能，也没有必要。

根据②的讨论，偶极声源只要满足kd≥π或就能获得好的辐射特性，可得障板的最小尺寸为

式中：λ为希望辐射的最低频率所对应的波长，通常该频率取在扬声器的共振频率附近。

1.3.3 无限大障板上的活塞辐射

无限大障板上的圆形活塞声源，即指在无限大刚性平面障板上嵌进一个圆形振动板。该圆形板的振动像活塞一样，沿平面的法线方向，整体以同振幅同相位振动。这种声源有许多现实意义，如安装在大障板上的扬声器，在低频时，其振膜的振动就可以近似地看作活塞振动。另外，低频时带有边缘的管子的声辐射现象，也可近似地将这种管子视为活塞声源。

1.无限大障板上的点源辐射

在讨论活塞声源之前，先讨论无限大障板上或离障板非常近的点源辐射（如图1.3.6所示），对于计算无限大障板上活塞声源的辐射是很有用的。

图1.3.6 无限大障板上的点源辐射

当脉动球源的半径与频率满足kr₀<<1的条件，就可把它作为点源来处理，可直接由式（1.3.10）写出点源表示式

假设该点源置于无限大（障板的线度比波长大得多）且具有刚性的障板前（或在障板上），离开障板的距离l满足条件l<<λ。于是，点源辐射的声波经障板反射后，反射波的声压相位和振幅都与入射点的声源声压相同，在障板前的半空间中由点源所产生的声压，应该是点源在空间所产生的声压再加上由障板反射产生的声压，即

2.无限大障板上活塞辐射的近声场特性

设在无限大平面障板上嵌有一个半径为a的圆形平面活塞，静止时活塞表面与障板在同一平面上。当活塞以u=u_Aejωt振动时，就向障板前面的半空间辐射声波。活塞的几何图形和坐标如图1.3.7所示。

图1.3.7 无限大障板上的平面圆形活塞

设想将活塞表面分成无限多个小面元，每个小面元都看成一个点源，每个点源的体积速度为dQ₀=u_Ads，则该面元在观察点P产生的声压根据式（1.3.39）可写为

则整个活塞在P点的辐射总声压为

因活塞上不同部分的声辐射在离活塞比较近的区域，其振幅和相位都不一样，因而干涉图像比较复杂，数学处理也比较困难。如果只考虑沿活塞中心轴线上的声场，那么数学计算就比较容易，在实际应用上也很有意义，如扬声器、传声器的频率响应都是沿中心轴线测量的。下面主要讨论沿活塞中心轴线上的声场情况。

考虑在轴线上离活塞表面距离为r的观察点上的声压。设想在活塞上取出一个内径为σ、外径为σ+dσ的环元，由于dσ极其微小，因此可以认为环元上所有点到观察点的距离为，将所有环元对P点的贡献叠加起来，即得总声压为

因

将上面的关系式代入式（1.3.41），积分后即得

上式可重新写成

于是得到沿活塞中心轴线上的声压振幅为

从式（1.3.43）得知，轴上的声压振幅随着离开活塞中心的距离，从o（极小值）到2ρcu_A（极大值）有规律性变化。

当

声压幅值为零。如果令幅值为零的点的距离为rn，并令，则式（1.3.44）可简化为下式

解式（1.3.45）可求得ξn(min)

同样，当

声压幅值为最大值2ρcu_A，同样可求得

因为ξn为正值才有意义，所以当ka<<2πn，由式（1.3.46）可知在轴向上声压幅值的第n个零值不出现。进一步说，当ka<2π，亦即声波波长大于或等于活塞半径时，则声压幅值在整个轴向上都不会出现零值。

对给定的a值（假定a>λ），则由式（1.3.46）得最后一个零点的ξ₁为

式（1.3.49）表明，当离活塞中心的距离超过a2>2λ时，轴上的声压幅值就不出现零值；当超过ξ₁，声压幅值开始增大，至最后一个达到极大。

极大位置之后，声压幅值就单调地下降。

由式（1.3.50）可求得最后一个最大声压的距离为

通常把此距离作为活塞辐射从近场过渡到远场的分界线，从式（1.3.51）可知，当时就不存在近场区。

当r比较大，以至，则

把上式代到式（1.3.43）中，则得到

如果r又满足，上式最后简化为

这说明声压振幅像球面波一样随距离r增大而减小。

3.无限大障板上活塞辐射的远场特性

现在进一步考虑无限大障板上活塞辐射在远场区的特性，所谓远场区即指r>>a的空间区域。

因为r>>a，所以从活塞上各面元发出的声波到达观察点的振幅可认为相等，而相位有较大的差异。

根据计算，对r>>a有

因而在用式（1.3.40）计算半无限空间中的声压时，积分中的分母可视为r′≈r，并提到积分号外，于是得到

对上式积分时，使用了下面两个贝塞尔函数的性质

最后积分结果，得到无限大障板上活塞辐射的远场声压表示式为

式（1.3.54）的声压振幅为

上式说明，在离活塞中心相同距离r不同方向的位置上，由于活塞上各面元的声波到达观察点的相位不同而引起干涉，造成声压的不均匀。

为了描述声源辐射随方向不同的这种特性，定义任意θ方向的声压幅值与θ=0轴上的声压幅值之比为该声源的辐射指向特性，即

根据式（1.3.56），求得活塞声源的指向性为

图1.3.8所示为与kasinθ的关系曲线。

从图1.3.8可知：θ=0°时，D(0)=1，辐射最大；超过0°后指向性小于1，辐射变小。当ka一定时，则必存在角度θm，使得D(θ_m)=0。从图1.3.8可知，当ka较大时，会出现多个零点。如令kasinθ_m=j_1m，则存在J₁(j_1m)=0，此时的j_1m称1阶贝塞尔函数的根值。第一根值m=1,j₁₁=3.83，因而算得在的方向，D(θ₁)=0。超过这个角度，辐射又逐渐增加，并在某个角度达到次极大，此后辐射又逐渐减小，从而在指向图上就表现为除主瓣以外，还会出现一些副瓣。如用极坐标画出其指向性，就如图1.3.9所示。