1.1 有限单元法简介

有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法是20世纪50年代首先在连续力学领域——飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。

1.1.1 CAE软件简介

传统的产品设计流程往往都是首先由客户提出产品相关的规格及要求，然后由设计人员进行概念设计，接着由工业设计人员对产品进行外观设计及功能规划，之后再由工程人员对产品进行详细设计。设计方案确定以后，便进行开模等投产前置工作。由图1-1所示可以发现，各项产品测试皆在设计流程后期方能进行。因此，一旦发生问题，除了必须付出设计成本，相关前置作业也需改动。发现问题越晚，重新设计所付出的成本将会越高，若影响交货期或产品形象，损失更是难以估计，为了避免此情形的发生，预期评估产品的特质便成为设计人员的重要课题。

计算力学、计算数学、工程管理学特别是信息技术的飞速发展极大地推动了相关产业和学科研究地进步。有限元、有限体积及差分等方法与计算机技术相结合，诞生了新兴的跨专业和跨行业的学科。CAE作为一种新兴的数值模拟分析技术，越来越受到工程技术人员的重视。在产品开发过程中引入CAE技术后，在产品尚未批量生产之前，不仅能协助工程人员做产品设计，更可以在争取订单时，作为一种强有力的工具协助营销人员及管理人员与客户沟通；在批量生产阶段，可以协助工程技术人员在重新更改时，找出问题发生的起点。在批量生产以后，相关分析结果还可以成为下次设计的重要依据。图1-2所示为引入CAE后产品设计流程图。

研究人员往往耗费大量的时间和成本，针对产品做相关的质量试验，最常见的如落下与冲击试验，这些不仅耗费了大量的研发时间和成本，而且试验本身也存在很多缺陷，表现如下。

试验发生的历程很短，很难观察试验过程的现象。

测试条件难以控制，试验的重复性很差。

试验时很难测量产品内部特性和观察内部现象。

一般只能得到试验结果，而无法观察试验原因。

引入CAE后可以在产品开模之前，透过相应软件对电子产品模拟自由落下试验（Free Drop Test）、模拟冲击试验（Shock Test）以及应力应变分析、振动仿真、温度分布分析等求得设计的最佳解，进而为一次试验甚至无试验可使产品通过测试规范提供了可能。

CAE的重要性如下。

1.CAE本身就可以看作一种基本试验。计算机计算弹体的侵彻与炸药爆炸过程以及各种非线性波的相互作用等问题，实际上是求解含有很多线性与非线性的偏微分方程、积分方程以及代数方程等的耦合方程组。利用解析方法求解爆炸力学问题是非常困难的，一般只能考虑一些很简单的问题。利用试验方法费用昂贵，还只能表征初始状态和最终状态，中间过程无法得知，因而也无法帮助研究人员了解问题的实质。而数值模拟在某种意义上比理论与试验对问题的认识更为深刻、更为细致，不仅可以了解问题的结果，而且可随时连续动态地、重复地显示事物的发展，了解其整体与局部的细致过程。

2.CAE可以直观地显示目前还不易观测到的、说不清楚的一些现象，容易为人理解和分析；还可以显示任何试验都无法看到的发生在结构内部的一些物理现象。如弹体在不均匀介质侵彻过程中的受力和偏转；爆炸波在介质中的传播过程和地下结构的破坏过程。同时，数值模拟可以替代一些危险、昂贵的甚至是难于实施的试验，如反应堆的爆炸事故，核爆炸的过程与效应等。

3.CAE促进了试验的发展，对试验方案的科学制定、试验过程中测点的最佳位置、仪表量程等的确定提供更可靠的理论指导。侵彻、爆炸试验费用是昂贵的，并存在一定危险，因此数值模拟不但有很大的经济效益，而且可以加速理论、试验研究的进程。

4.一次投资，长期受益。虽然数值模拟大型软件系统的研制需要花费相当多的经费和人力资源，但和试验相比，数值模拟软件是可以进行复制移植、重复利用，并可进行适当修改而满足不同情况的需求。据相关统计数据显示，应用CAE技术后，开发期的费用占开发成本的比例，从80％～90％下降到8％～12％。

1.1.2 有限单元法的基本概念

1.有限元分析

有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究者在20世纪50年代到20世纪60年代创立的。

有限元分析理论已有100多年的历史，现已成为悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。

2.有限元模型

有限元模型如图1-3所示：图中左边的是真实的结构，右边是对应的有限元模型，有限元模型可以看作是真实结构的一种分格，即把真实结构看作是由一个个小的分块部分构成的，或者在真实结构上划线，通过这些线真实结构被分离成一个个的部分。

3.自由度

自由度（Degree of Freedom，DOF）用于描述一个物理场的响应特性。如图1-4所示。不同的物理场需要描述的自由度不同，如表1-1所示。

4.节点和单元

节点和单元如图1-5所示。

每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。

整体结构的数学模型的规模与结构的大小有关，尽管图1-1中的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25000000个刚度系数。

早期ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布的，运行在价格为＄1000000的CDC、由Univac和IBM生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。

单元之间的信息是通过单元之间的公共节点传递的，但是分离节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理），具有公共节点的单元之间存在信息传递，单元传递的内容是节点自由度，不同单元之间传递不同的信息。以下列出常用单元之间传递的自由度信息。

三维杆单元（铰接）UX，UY，UZ；

二维或轴对称实体单元UX，UY

三维实体结构单元UX，UY，UZ

三维梁单元UX，UY，UZ，ROTX，ROTY，ROTZ

三维四边形壳单UX，UY，UZ，ROTX，ROTY，ROTZ；

三维实体热单元TEMP。

5.单元形函数

FEA（Finite Element Analysis—有限单元分析）仅仅求解节点处的DOF值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。

DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。这些平均意义上的典型解是从单元DOF推导出来的（如结构应力，热梯度）。如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOF，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。

当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。在选定单元类型并随之确定了单元形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。