数学探秘 竖式乘法“变变变”

竖式乘法对于我们来说并不陌生，可是你们知道吗？现在的这种竖式乘法形式是经过千百年的演变才形成的！今天，让我们一起去探秘竖式乘法的演变过程吧！

1.翻倍法

早在约3000年前，古埃及纸草书上就记载了一种乘法——翻倍法，就是将一个数逐次扩大2倍后，再进行加法计算，它与现代笔算乘法的形式并没有多少相似之处。比如，32×13的计算过程，如图1所示。

你能看懂图中的算法吗？原来，要算32×13，先逐步翻倍算出32×2、32×4、32×8的结果，乘数13可以分解成1+4+8，计算的时候，先把1、4、8标在左侧，然后把右侧对应的积相加，即可算得32×13的结果。到了1564 年，我们仍然可以从德国数学家施蒂费尔的著作中看到这种算法的痕迹，如图2所示。翻倍法很容易理解，但是，当数目比较大的时候这样算就显得较麻烦了。

2.筹算法

2000多年前，我国古代劳动人民发明了乘法的计算方法，这种计算方法是使用算筹来进行计算的。现在我们熟知的竖式乘法极有可能是由筹算乘法演变而来的。

筹算乘法分为三层——上位、中位和下位，上位表示一个乘数，中位表示积，下位表示另一个乘数。计算原理和我们现在惯用的竖式乘法完全一致，只是计算和书写的顺序有差别。

以183×26为例。

（1）把一个乘数26摆在上位，另一个乘数183摆在下位，中间留有空位，准备摆乘得的积，如图3所示。

（2）从高位乘起，用上位数十位上的2乘下位数183，得3660，摆在中间，积的数位与下位数对齐，如图4所示，积的个位0用空位表示。

（3）去掉已乘过的上位数十位上的数字2，把上位数个位6移至与下位数的个位对齐的位置，如图5所示。

（4）用上位数的个位6乘下位数183，所得的积与3660相加，最后得积为4758，如图6所示。

3.拆分法

古印度著名数学家、天文学家婆什迦罗大约在900年之前给出了一种乘法运算形式，这种运算形式后来被意大利数学家帕乔利记载在他于1494年出版的著作《算术、几何、比与比例集成》中，此种方法已经较接近现在的竖式乘法（如图7、图8所示）。

以计算175×13为例，书中给出了以下两种运算形式。

随着人们对乘法的进一步研究，到了文艺复兴时期，便出现了与现代的竖式乘法最接近的形式，此种形式也被记载在帕乔利的《算术、几何、比与比例集成》一书中，如图9所示。

同学们有没有发现，在之前的竖式乘法中，一直没有乘号“×”的身影，那是因为乘号从早期用语言描述到后来用符号表示，经过了许多年的发展，直到17世纪，“×”才作为乘法符号被广泛使用。

4.格子法

15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何、比与比例集成》一书中介绍了一种两数相乘的计算方法——格子算法，这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”。这种算法形式与现代竖式乘法的写法略有差异，但计算顺序和计算原理是完全相同的，如图10所示。

以计算934×31为例，先画一个矩形，把它分成3×2个小格，在小格边上依次写下乘数、被乘数的各位数字，再用对角线把小格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数，把这些乘积由右到左，沿斜线方向相加，相加满十时要向前进一。最后得到934×31的结果为28954。

同学们，这么多形式不一的乘法算式，你们看出其中的计算奥秘了吗？